第八章  数学教学原则
名词解释。
1、数学教学原则：根据数学教学目标为反映数学教学规律的制定的指导数学教学工作的基本要求。作为一种特殊的学科数学，必然有其自身的一些特殊要求，即抽象性与具体性相结合的原则；严谨性与量力性相结合的原则；培养“双基”与策略创新相结合的原则；精讲多练与自主建构相结合的原则。
2、抽象性：抽象就是从事物中把某一方面的特性抽取出来而舍弃所有其他方面给的特性的思维过程。它是形成数学概念，得到数学原理的必要手段，任何科学都有抽象的一面，但数学的抽象性有其自身的特殊性。数学抽象是对事物的空间形式和数量关系的抽象，它舍弃了构成事物的质的规范性。数学的抽象是逐渐形成的，具有不同的层次，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为具体背景的。数学的抽象性还表现为它使用了大量的数学符号。数学的抽象性还表现为它的高度概括性。
3、严谨性：严谨性是数学学科的基本特点之一，表现在数学概念的定义，数学结论的阐述，推理论证的进行，运算的要求，体系的建构等各方面。表现在以下几个方面：（1）数学概念包括原始概念和被定义的概念；（2）真命题也分为两类即公理和定理。公理是这个学科中挑选出来作为证明其他命题的真实性的原始依据，它们本身的真实性不加逻辑证明而被承认，但是，它们作为一个体系，必须满足相容性、独立性和完备性；而定理都是经过逻辑证明为真的命题。任何未得到逻辑证明为真的命题都不能作为正确的结论而被承认和使用，至多只是一种猜想。（3）公理化的体系  在该体系中，每个被定义的概念必须用前面已知的概念来定义，每个定理必须由前面已知其真实性的命题推到出来。绝对不容前后颠倒、逻辑混乱。（4）数学语言的表述。概念和命题的陈述以及命题的论证过程日益符号化、形式化。数学的符号语言表述简练、正确、科学，不会产生歧义。（5）数学运算。数学运算要求必须按运算的法则、算理进行，而不是只看最终运算的结果。当然，数学严谨性并不是在发展的初期就具有的，只是到了最后的完善阶段才能达到。
4、数学“双基”：是指数学基础知识和基本技能。数学基础知识，即数学知识网络中的“结点”，包括中学数学中的概念、定理、公式、法则、方法等。基本技能是指与数学基础知识相关的按照一定的程序与步骤进行的操作方式，包括运推理、数据处理、画图、绘制表格等心智活动。正确理解数学概念时掌握数学知识的前提，而牢固掌握定义、性质、公理、定理、公式、法则等数学规律和解题、证题得方法，则是学好数学的必要条件。掌握基础知识是掌握基本技能的前提，在掌握基本技能的过程中，又能加深对基础知识的理解。
5、张殿宙在第10届国际数学教育大会（ICME 10-2004）报告中指出，数学“双基”教学原则的含义包括四个方面，即计算速度---速度带来效率。记忆程序---记忆与理解相辅相成；精确地表达---建立在逻辑分析的基础上；做练习---通过变式改进重复。
6、合情推理：策略创新是根据数学的探索性特征提出来的，其内涵就是波利亚推崇的“合情推理”，包括观察与实验、想像与直觉、猜想与验证等数学的探索性特征和创造性思维方式。它们体现了数学的策略创新精神。合情推理是数学发现创新的重要方法，加强合情推理能力的培养，有利于培养学生的创新精神和创新意识。
7、自主建构：建构性是数学学科的基本特性。不仅数学的研究对象是建构的，即数学知识是人建构的产物，而且，数学的研究方法研究工具。研究模式理论体系等一系列内在成分都是建构的产物，建构性是数学的根本属性。    数学的建构性特征决定了数学学习的建构性。所谓建构就是“建立”和“构造”新知识认知结构的过程。“建立”，一般是指从无到有的兴趣，“构造”是指对已有材料、结构、框架或重组。对建构主义来说，更是认为学习是学生依据自己已有知识经验主动建构的过程；知识不能被动接受，不能被传递，需要学生主动地自我建构其意义；就数学学习来说，有意义的接受学习和有意义的发现学习是数学建构性学习的基本过程。对数学知识意义的理解，数学能力的提高，数学素质的养成，需要学生努力参与、自主活动和个人体验，别人是无法替代和包办的。可以说，建构性学习也是数学学习的根本途径。
简答题。
1、如何理解抽象性与具体性相结合的原则？
答：（1）数学的抽象性是以具体性作为基础的。数学内容的抽象性为往往掩盖了与具体内容的关系，但并不排斥具体性。恰恰相反，现实的具体素材，是认识空间形式和数量关系的基础，是过度到抽象概念和命题必不可少的初始环节。（2）数学的抽象性是逐步深入，不是一次到位的，有一个循序渐进的深化过程。数学内容逐次抽象的特点：一方面表明数学内容抽象程度高；另一方面，则说明数学内容的高度抽象性不是一下子达到的。它需要有一个从具体到抽象，又从相对来说比较具体，再上升到日益抽象的过程。由此可见，再抽象也以“具体”为内容做基础。不过，这时所利用的具体素材，其实已经是比较抽象，甚至是十分抽象的数学结论。（3）高度的抽象性与广泛性。抽象程度越高，概括性越强。所谓概括性强，就是抽象出来的结论是最广泛的具体内容共有的属性。   总之，在数学教学中贯彻抽象性与具体性相结合的原则。就是要坚持循序渐进，逐步深入，对抽象的数学概念，形式化的数学结论的教学要求不能一步到位，要克服急于求成。急功近利的思想。要注重从特殊到一般，从具体到抽象，淡化形式，注重实质。
2、如何理解严谨性与量力性相结合的原则？
答：根据皮亚杰的儿童智力发展理论，学生从小学到中学要有一个过渡和适应时期。教学中考虑到数学学科的严谨性的同时，也必须注意中学生身心发展的实际情况。（1）对中学生数学严谨性的要求，需要逐步适应，要理解和掌握数学的严谨性，必须具备很强的逻辑思维能力和箱单的数学基础知识。根据中学生的年龄特征和认知发展水平，上述能力和知识只能在他们由低年级到高年级的学习过程中逐步获得，不可能马上达到。（2）数学的严谨性具有相对性。学生的数学认知应当遵循由低级到高级，由简单到复杂，由浅入深，逐步深入的一般规律。加上中学的学时有限及学生原有的知识和能力等因素。因此，中学阶段学生只需要学习数学的基础知识，掌握基本技能。相应的，对数学严谨性的认识也只能是初步的，基本的。（3）在尊重学生可接受性的同时，也应当充分估计学生认识上的潜力。
3、如何理解数学“双基”与策略创新相结合的原则？
答：我国传统的数学教育从来都是把数学“双基”的学习和训练放在第一位的。由于过分强调数学双基的地位和作用，加上高考的推波助澜，似的数学学习演变为大量练习，过度重复，走进了“题海战术”、“应试教育”的死胡同。殊不知，学过数学的绝大多数中学生毕业后并不直接从事与数学有关的工作，要不了几年，他们便会把那些具体的数学知识遗忘，而唯有学习数学是，留在他们心灵深处的数学精神、思想方法、刻骨铭心，永不磨灭。因此，数学教学应该把数学精神、思想、方法，也就是数学中的策略创新精神、思想、方法放在首位，以适当的数学“双基”学习和训练促进这方面的发展。数学双基在数学教育中是载体，桥梁，是“泵”，通过它把学生送往善于思考、善于创造的理性精神的彼岸。
4、如何理解精讲多练与自主建构相结合的原则？
答：我国的数学教学目标经历了由掌握知识、发展能力，再到素质培养的不断前进提升的过程。数学课堂教学也从多讲多练，高密度，大容量，逐步走向精讲多练，变式练习，关注过程的模式。精讲多练是当前数学课堂教学的主要做法。精讲，是对教师的讲解提出的。讲解要少而精，要有针对性、代表性、普遍性，不搞一言堂，个别问题做作个别教学。多练，是要求学生练习阶梯必须达到一定的数量。但在升学率的刺激下，学生没完没了的进行大量的练习。作为理解，巩固所学知识，做练习题是必需的，要想提高技能，通过解题可以到达自动化水平，是技能掌握的必要途径，在一定程度上，学数学也是“做数学”，但是，数学解题学习主要是一种有意义的发现学习，需要学生主动地自我建构其意义，单纯机械地、过度的数学运算的训练会阻碍学生对自我建构和智力的发展。
论述题。
1、如何贯彻抽象性与具体性相结合的原则？
答：在数学教学中贯彻抽象性与具体性相结合的原则，就是要坚持循序渐进、逐步深入，对抽象的数学概念，形式化地数学结论的教学要求不能一步到位，要克服急于求成、急功近利的思想，要注重从特殊到一般，从具体到抽象，淡化形式、注重实质。  具体地说，在贯彻抽象性与具体性相结合的原则，必须注意以下几点：（1）直观教学   重视直观教学，要求提供学生感兴趣的、熟悉的及生活实际已有的学习经验和知识背景，密切相关的素材，要让学生有比较充分的时间、空间，经历贯彻、实验、猜测、推理、交流，反思等活动过程，促使学生对数学概念和结论本质的真正理解，当然，我们强调直观教学，并不是取代严格的、抽象的、系统的论证，所以，进行直观教学时，要关注教学目标的达成情况。（2）数形结合的原则时，可以根据教学内容本身的特点，采用数形结合的方法。数形结合的方法其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合功能。（3）从抽象到具体   从抽象到具体，并不是回到原来抽象时赖以为基础的具体，这两个“具体”在认识意义上有质的区别。认识第一阶段的“具体”是感性材料，其作用是为上升到理性认识提供基础；第二阶段的“具体”则不能看做是感性材料的具体化，其作用是理性认识的进一步深化，从抽象再到具体，更确切地说，应该是从抽象再上升到具体。  解数学题就是从抽象在到具体的一种重要途径。一般的数学题地解答过程，主要是抽象的数学概念、定理、公式、公理等的运用过程，是形成相关的数学技能的过程。当然，同时也具有进步培养学生的观察能力和分析、综合等数学思维能力的作用。
2、如何贯彻严谨性与量力性的相结合的原则？
答：数学科学是严谨的。中学生学习数学科学的严谨性，由于受其思维发展水平的制约，因此，在数学教学中，既要体现数学科学的特色，又要符合学生的实际，这就是严谨性与量力性相结合原则。对数学教学的总要求：（1）认真了解学生的学业水平与认知水平。这就是贯穿量力性原则的基础。教学过程中，要对学生知识基础、年龄心理特征、认知水平、兴趣爱好等情况做到心中有数。对教学内容与学生的接受能力有较大差距的内容，即数学难点、重点要设法分散，将之转化为学生容易接受的知识，及时解决疑难，扫清障碍。（2）根据数学课程标准制定恰当、合理的课堂教学目标，这就要妥善处理好数学知识体系，学生的年龄特征、课程目标之间的关系，把握严谨性和与量力性相结合的原则，制定符合本班学生认知水平的目标。（3）螺旋式地处理教材内容。数学知识的发生不是按逻辑方法建立的，而是实验归纳、类比联想，直觉猜测得到的，严格的逻辑证明和演绎体系常常是后来补上的。这也是人类的认识规律。为了符合学生的认识规律，适应学生原有的知识基础和认知水平，某些数学课题学习也是分作几个阶段逐步深化的。对于这样的课题，第一次讲授可以是不完整的知识，但绝不应该是在今后的进一步学习中遭到否定的知识。（4）注重数学语言的教学。数学中的每一个名词、术语、公式、法则都有精确的含义。学生能否确切地理解，他们的含义是能否保证数学教学的严谨性的重要标志之一。而学生理解的程度如何，又常常反映在他们的语言表达之中，因此，应该要求学生逐步掌握精确的数学语言。数学语言是严谨的，抽象的、精确地。再去爱中学数学教学中，教师首先应该使学生了解他们自己在语言精确画方面存在哪些问题，有什么危害，从而使他们认识到语言精确化的必要性。在这个基础上，再要求学生细心地理解数学课本中一些概念、定理的精确叙述，并逐步学会准确地用数学语言叙述课本中的结论和解题过程。（5）周密思考 推理有据    推理有据是思维严谨性的核心要求。在一般解题过程中，除证明题要有论证的根据外，就是计算题、作图题等，也都包含推理过程，到要强调每一步骤的根据。在要求学生做到推理有据时，有时可以借助于直观或猜想去探寻所需的根据。
如何贯彻培养数学“双基”与策略创造相结合的原则？
答：（1）转变观念  与时俱进地认识数学双基。  数学双基是一个动态的概念，随着时代的发展，也在发生变化。数学的基础知识是在变化着地。如随着计算器、计算机的使用，珠算的计算能力可以降低要求。运用现代技术学习数学，也将是双基的一部分。过去的基本技能强调形式化地逻辑、演绎能力。这也是不完整的。学习数学知识的背景及其应用，培养数学建模的能力同样是数学基本技能的组成部分等等。因此，数学双基也需要与时俱进，我们要在继承传统的数学双基的合理成分的同时，扬弃不必要的繁琐记忆要求，增加新兴的数学知识和技能要求。如创新精神、创新意识的培养。（2）重视“双基”数学，加强合情推理的培养。  数学双基数学是中国数学教学的传统和特长，我们要以新的发展的数学“双基”观重新关照数学“双基”，继承和发扬“双基”教学观点，避免和克服“双基”教学中的不足和缺点。合情推理是数学发现、创新的重要方法，加强合情推理能力的培养，有利于培养学生的创新精神和创新意识。合情推理能力是在数学“双基”教学过程中培养的，不能离开数学双基的教学去空谈合情推理、策略创新。在重视数学双基教学的过程中，加强合情推理能力培养这是一种打基础抓创新“两手硬”的做法。也是一个可行的中间地带。（3）把握数学双基和数学创新的关系。没有基础的创新是空想。没有创新指导的打基础是傻练。基础要为发展服务，盲目的打基础，过量的练习是无效的劳动。强调数学双基，需要把握适当的度。以学生的发展的本，把数学双基和数学创新放在一起，进行研究，找出适当的平衡，必将成为数学双基教学原则研究的指导思想。
4、如何贯彻精讲多练与自主建构相结合的原则？
答：（1）确立学生学习的主体地位。学生是学习的主题。但在实际教学中，主体性常常受到教师非主导性的排斥、羁绊而被架空，阉废，是否真正确立和发挥了学生学习的主体性可以从以下几个方面去衡量：学生学习的积极性；自主性；探索性；深刻性。（2）教师要为学生自主建构而精讲。教师的讲解应为学生学习服务，为学生的发展服务，在“精”字啊上下功夫，使精讲具有针对性，有效性，为此，教师要深入了解学生真实的思维活动，努力帮助学生获得必要的经验和预备知识，使学生自主建构获得必要的基础。高度重视对学生错误的诊断与纠正，克服自我建构的偏差。充分注意学生在认识上的特殊性。因此，教师要善于创设数学问题情境，引导学生经历观察、实验、归纳、猜想、验证、应用等建构活动，不搞一言堂，进行民主教学，给学生自主建构留有充分的空间和时间。（3）注重数学过程教学  教师的讲解为了促进学生的自主建构，应当创设数学问题的情境，在问题情境---解决过程中学习数学知识，建构意义。在这个活动中，不是让学生简单地重复人类漫长的认识过程，而是通过教师的精讲，减缩其中的曲折，让学生经历再发现 再创造 的自我建构活动。
填空。
1、教学原则由教育工作者根据教学规律、教学实践、经验制定的。它具有以下特性（1）教学原则与教学规律的相关性；（2）教学原则与教学经验的相关性；（3）教学原则的发展性；（4）教学原则时一个体系。
2、历史上第一个系统地论述教学原则的捷克的教育家 夸美纽斯。
3、我国古代历史上的教育家关于教学原则的论述：（1）循序渐进原则；（2）启发引导原则；（3）复习巩固原则；（4）学以致用原则；（5）因材施教原则；（6）教学相长原则。
4、孔子是历史上最早提出启发式教学思想的教育家。他主张“不愤不启，不悱不发”“启发
”一词由此而来。