鸡兔同笼的四种类型

     鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。许多小学应用题都可以转化成这类问题，或者用它的典型解法--“假设法”来求解.以前作为课外数学来学习的，现在在六年级教材数学广角里已经作为正式的教学内容出现，因此现在很有必要系统地学习鸡兔同笼的解法和思路.
    孙子算经里的鸡兔同笼问题是这样的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？
    这是鸡兔同笼问题的第一种类型。这题已知头数之和与脚数之和，求鸡兔各多少？我简称之为头和脚和。与之类似而形成系列的共是以下四种类型：
    1、有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？（头和脚和）
    2、有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，鸡脚比兔脚少2只。问笼中各有几只鸡和兔？（头和脚差）
    3、有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，鸡头比兔头多11个；从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？（头差脚和）
    4、有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，鸡头比兔头多11个；从下面数，鸡脚比兔脚少2只。问笼中各有几只鸡和兔？（头差脚差）
    对于第一种类型，先假设35个头都是鸡，每只鸡都有2只脚。我们把一个2就当作一只鸡，35个2就当作35只鸡：

2，2，2，2……2，2，2，……2

    那么现在共有2×35=70只脚。

    但实际情况是共有94只脚，为什么与实际情况有差距呢？因为有的鸡应该是兔。所以现在我们要把鸡改为兔。把一只鸡改成一只兔，这样脚的只数会由2变成4，总脚数会增加2只。我们要由70只脚变为94只脚，一共要增加24只脚，所以必须有24÷2=12只鸡变为兔。如下图：

2，2，2，2……2，4，4，……4（共有12个2改为了4）

这样鸡有35－12=23只。
    这种方法我称之为假设调整法。先假设一种情况，再与实际相比较，最后进行调整，以便和实际情况相符合。
    应用这种方法，我们来看一看如何解决下面三种类型：
    2．先假设35个头都是鸡，兔有0只，这样鸡脚比兔脚多35×2－0×4=70只。
                    2，2，2，2……2，2，2，……2
而实际情况是鸡脚比兔脚少2只，所以我们要进行调整。

    先把一只鸡变为兔，这样鸡脚比兔脚多34×2－1×4=64只。与前面的鸡脚比兔脚多70只相比，减少了6只脚。也就是说，把一只鸡变为一只兔，它们的脚数之差会减少6只。现在要变为鸡脚比兔脚少2只，那么脚数之差要减少70+2=72只，这样，要把72÷6=12只鸡变为12只兔。如图：

2，2，2，2……2，4，4，……4（共有12个2改为了4）

那么鸡有35-12=23只。
    3．因为鸡头比兔头多11个，我们先假设鸡有11只，兔有0只，这样鸡脚和兔脚共有11×2+0×4=22只。
    而实际情况是鸡脚和兔脚共94只，相差94-22=72只脚。所以我们要进行调整。

    为了保证鸡总是比兔多11只，所以鸡增加1只的同时，兔也一起增加1只，这样每调整一次，鸡脚和兔脚的总和共多了4+2=6只。为了弥补相差的72只脚，一共要调整72÷6=12次。

    这样，就增加了12只兔，一共有11+12=23只鸡。
    4．先假设鸡有11只，兔有0只，这样鸡脚比兔脚多11×2-0×4=22只。而实际情况是鸡脚反而比兔脚少2只，相差22+2=24只脚，所以我们要进行调整。

    为了保证鸡总是比兔多11只，所以鸡增加1只的同时，兔也一起增加1只，这样每调整一次，兔脚比鸡脚多了4-2=2只。为了要使兔脚从比鸡脚少22只，变为鸡脚反而比兔脚少2只，一共要调整24只脚，这样一共要调整24÷2=12次。这样，就增加了12只兔，一共有11+12=23只鸡。
    上述鸡兔同笼的四种类型所运用的方法是假设调整法。假设了之后与实际情况肯定有一些不一样，那么我们要进行调整。在调整的过程中，我们要仔细观察，认真分析，每次调整后的数量有什么变化，我们只要紧紧抓住这个变化就可以解决所有的鸡兔同笼问题了。
    练习：
    1．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连8天共采了112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？
    2．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天共采了112个松籽，其中雨天比晴天多4天，请问这几天有几天晴天几天雨天？
    3．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连8天中晴天采了松籽比雨天采的松籽少32个，这八天有几天晴天几天雨天？
    4．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天中，其中雨天比晴天多4天，且晴天采了松籽比雨天采的松籽少32个，请问这几天有几天晴天几天雨天？