最近在搞hilbert滤波器，有少许收获，写下来共享。

希尔伯特(Hilbert)变换可以提供90°的相位变化而不改变频谱分量的幅度，即对信号进行希尔

伯特变换就相当于对该信号进行正交移相，使它成为自身的正交对；另外通过hilbert变换可以建立它们傅里叶变换的幅频和相频、实部和虚部之间的联系；构建相应的解析信号，使其仅包含正频率成分，从而可以降低信号的抽样率。

 

设离散时间信号x(n)的希尔伯特变换是x^(n),希尔伯特变换器的单位抽样响应为h(n)，由于其频率响应为：

                                -j    0<w<pi

                    H（ejw）=  

                                +j    -pi<w<0

单位抽样响应为：

                                0          n为偶数

                   h（n）=  

                               2/(n*pi)    n为奇数

 

离散时间信号的傅里叶变换为：

                  x^(n)=x(n)*h(n)

解析信号：

                  z(n)=x(n)+jx^(n)

 

性质：

（1）希尔伯特变换器是幅频特性为1的全通滤波器，信号通过希尔伯特变换器后，其负频率成分作+90°相移，而正频率成分作-90°相移。信号通过希尔伯特变换器后

      可见，希尔伯特变换器可通过FIR滤波器来实现，滤波系数由h(n)计算得到。

（2）对z(n)做傅里叶变换，由于x(n)的DFT为X(k)，k=0,1,……,N-1,k=N/2,……,N-1对应负频率，则

       X(k)    k=0

Z(k)=  2X(k)   k=1,2,3,……N/2-1

       0       k=N/2,……N-1

 (3)x(t)与x^(t),x(n) 与x^(n)是分别正交的。

 

 

实现方法：

（1）希尔伯特变换器是幅频特性为1的全通滤波器.

希尔伯特变换中的h(n) 可以表示为：

http://s14/bmiddle/4af01802g79154fc4a5cd&690FIR滤波器（总结）" TITLE="[转载]Hilbert FIR滤波器（总结）" />

则离散信号x(n)的离散希尔伯特变换可以表示为：

http://s13/bmiddle/4af01802g791557385d0c&690FIR滤波器（总结）" TITLE="[转载]Hilbert FIR滤波器（总结）" />

由此可见，离散希尔伯特变换器可以由FIR(有限冲击响应)滤波器来实现，可以用窗口法来设计FIR滤波器实现希尔伯特变换。利用矩形窗设计的55阶FIR滤波器幅频响应如图1所示

http://s7/bmiddle/4af01802g728222c63ca6&690FIR滤波器（总结）" TITLE="[转载]Hilbert FIR滤波器（总结）" />

但要注意的是，利用FIR滤波器实现希尔伯特变换将会使输出信号延迟N／2(N为滤波器系数长度)，而且输出信号的前N个数据和最后N个数据也是不对的，因为此时输入数据已经为0。

理想的Hilbert滤波器是非因果不可实现的，因为h(n)在n<0时不为0。
所以在求它的相频响应的时候，加了一个线性相位项在里面。假如你的滤波器系数h(n)的范围为-N<=n<=N，则相当于按照0<=n<=2N的因果可实现的滤波器得到的相频响应，所以在原本[0，pi]上为-90度。在[pi,2*pi]上为90度的相频响应的基础上叠加了一个exp(-jwN)的线性相位项。

 

（2）根据希尔伯特变换与解析信号的关系，可通过傅里叶变换实现。

    首先对信号x(n)求傅里叶变换，得到X（k）；由X(k)构造出Z（k），对 Z(k)做逆DFT，即得到x(n)的解析信号z(n)；根据x^(n)=-j[z(n)-x(n)]得到x(n)的希尔伯特变换结果。

 

应用领域：

1.希尔波特变换滤波器的一个主要作用就是构造解析信号。解析信号即没有负频率成分的复信号，将一个实信号加上它的希尔波特变换作为它的虚部即构成解析信号。通信中的单边带通信系统就是利用解析信号实现的，它可以节约一半的频带。

2. 检波。I、Q通道数据获取方法，称为中频直接采样正交相干检波。方法有很多，有正交混频低通滤波法、希尔伯特变换法和奇偶分离符号变换法（包括插值法和多相滤波法）。其中希尔伯特变换法的原理就是构造解析信号，只含正频率成分(中频附近)，然后再乘以exp(-j*2*pi*f0*t)下变频到零中频，即得到实部为同相分量、虚部为正交分量的复信号。