累积分布函数cdf (Cumulative Distribution Function)

背景知识：http://www.lifelaf.com/blog/?p=746

 

语法

y = cdf('name',x,A)

y = cdf('name',x,A,B)

y = cdf('name',x,A,B,C)

 

y = cdf(pd,x)

y = cdf(___,'upper')

 

描述

y = cdf('name',x,A) 计算某种分布（由'name'定义，如'Normal'正态, 'Poisson'泊松, 'T' t分布…）下，x值处的累计分布，A,B,C等为'name'函数的参数

y = cdf(pd,x) 直接计算概率分布函数pd(probability distribution) ，在x处的累计分布，实际上，这里的pd 已被'name', A定义好，举栗如下：

 

% 定义一个正态分布函数pd, 均值mu = 0, 标准差sigma = 1.

mu = 0;

sigma = 1;

pd = makedist('Normal',mu,sigma);

% 定义x值

x = [-2,-1,0,1,2];

% 计算x值处的累计分布

y = cdf(pd,x)

y =

    0.0228    0.1587    0.5000    0.8413    0.9772

 

用第一种语句表达相同内容为：

y2 = cdf('Normal',x,mu,sigma) %正态分布，x值处，均值为0，标准差为1

y2 =

    0.0228    0.1587    0.5000    0.8413    0.9772

http://nl.mathworks.com/help/stats/cdf.html

 

t分布累积分布函数tcdf (Student's t cumulative distribution function)

% 事实上就是y = cdf('T',x,A)函数

语法

p = tcdf(x,nu)
p = tcdf(x,nu,'upper')

描述

计算t分布在x值处的累积分布，nu是t分布的自由度

再举个栗子

mu = 1;     % Population mean

sigma = 2;  % Population standard deviation

n = 100;    % Sample size

x = normrnd(mu,sigma,n,1);  % Random sample from population

xbar = mean(x);  % Sample mean

s = std(x);      % Sample standard deviation

t = (xbar - mu)/(s/sqrt(n)) % 这里t分布出现了，正态分布总体与样本均值的差符合t分布

t =

    1.0589

p = 1-tcdf(t,n-1) % Probability of larger t-statistic

p =

    0.1461

该p值（即t函数的累积分布就是t检验在相同x值处的概率ptest）

[h,ptest] = ttest(x,mu,0.05,'right')

h =

     0

ptest =

    0.1461

http://nl.mathworks.com/help/stats/tcdf.html

 

概率密度函数pdf (Probability density functions)

搞懂了累积分布函数cdf，这个就没什么需要多说了

语法

y = pdf('name',x,A)

y = pdf('name',x,A,B)

y = pdf('name',x,A,B,C)

 

y = pdf(pd,x)

 

举例

% 定义一个正态分布函数pd, 均值mu = 0, 标准差sigma = 1.

mu = 0;

sigma = 1;

pd = makedist('Normal',mu,sigma);

% 定义x值

x = [-2 -1 0 1 2];

% 计算x值处的概率密度（cdf是累计分布）

y = pdf (pd,x)

y =

0.0540    0.2420    0.3989    0.2420    0.0540

 

同样，另一种表达

y = pdf(pd,x)

y =

    0.0540    0.2420    0.3989    0.2420    0.0540

http://nl.mathworks.com/help/stats/pdf.html

 

t分布概率密度函数tpdf（Student's t probability density function）

语法

y = tpdf(x,nu)

举例

tpdf(0,1:6)

ans =

    0.3183    0.3536    0.3676    0.3750    0.3796    0.3827

http://nl.mathworks.com/help/stats/tpdf.html

 

相反，还可以通过p求t分布的t值

tinv (Student's t inverse cumulative distribution function)

语法

x = tinv(p,nu)

举例

% the 99th percentile of the Student's t distribution for one to six degrees of freedom

percentile = tinv(0.99,1:6)

percentile =

   31.8205    6.9646    4.5407    3.7469    3.3649    3.1427

 

http://nl.mathworks.com/help/stats/tinv.html

 

 

有一个问题，Matlab有一个inv矩阵求逆函数，不知与tinv什么关系，莫非tinv是在t分布下调用了inv计算程序？但p并不等是t的逆矩阵啊(即t*p = E)啊？求解答

 

inv是矩阵求逆的意思。具体用法A=inv(B)，其中B是输入的可逆矩阵，输出A就是B的逆矩阵，逆矩阵满足性质 AB=BA=E (E是单位阵)。如果输入的是不可逆矩阵会弹出警告，并返回inf。

调用举例：

>> inv([1 0;0 0])

警告: 矩阵为奇异工作精度。

ans =

Inf Inf

Inf Inf

>> inv(rand(2))

ans =

-13.0929 5.2640

12.0501 -3.3159

 

另附官方英文解释（输入doc inv也可以自己查看）：

Y = inv(X) returns theinverse of the square matrix X. A warning messageis printed if X is badly scaled or nearly singular.

 

In practice, it is seldom necessary to form the explicit inverseof a matrix. A frequent misuse of inv arises whensolving the system of linear equations Ax = b.One way to solve this is with x = inv(A)*b.A better way, from both an execution time and numerical accuracy standpoint,is to use the matrix division operator x = A\b.This produces the solution using Gaussian elimination, without formingthe inverse. See mldivide (\)for further information.

 

http://zhidao.baidu.com/link?url=dTjjN7fsj2EBX7zwCm1_TZA2LDv4Abtmgnq0mwfb3pyCLpZ26g1RWFGFlKOiADzVsnpeUh-bu4o9QvP_e5T5q