加载中…
个人资料
  • 博客等级:
  • 博客积分:
  • 博客访问:
  • 关注人气:
  • 获赠金笔:0支
  • 赠出金笔:0支
  • 荣誉徽章:
正文 字体大小:

期权定价理论(B-S模型)的数学推导(未完待续)

(2009-07-04 15:28:36)
标签:

杂谈

分类: 金融&理财
Fisher Black(图左、1995年逝)和Myron Scholes(图中)于1973提出欧式看涨期权的定价模型Black-Scholes(B-S模型),之后Robert Merton(图右)对B-S模型进一步完善,Myron Scholes和Robert Merton因此获得1997年度诺贝尔经济学奖。  
 
预备知识:正态随机分布概率、布朗运动、几何布朗运动、利率及贴现、微积分
 
一、正态随机变量概率密度函数描述:
(μ为总体均数、σ为标准差)
 
二、布朗运动的数学描述:
价格时间函数P(x),T+t时刻的价格P(T+t)与T时刻价格P(T)的差值:P(T+t)-P(T)是一个正态随机变量,分布的平均期望值μt,标准差为。(T>0,t>0)
重大缺陷:
1、按此价格理论上可有负值,但实际中价格不可能存在负值。
2、不论价格初值为何值,固定时间长度的价格差具有相同的正态分布,不符合常理。
 
三、几何布朗运动:
把价格差改为价格的涨跌幅:可以避免直接使用布朗运动描述价格的缺陷,即为几何布朗运动。
是一个正态随机变量,分布的平均期望值μt,标准差为。(T>0,t>0)
 
四、利率及贴现:
名义利率r(单利、复利计息)
有效利率reff=本息和/本金-1
(如招行信用卡透支利率为日息万分之五,即名义利率r=0.0005*365=18.25%,有效利率reff为20.016%)
实际利率rtrue=有效利率-通货膨胀率
 
四、历史波动率(Historical Volatility)
历史波动率是使用过去的价格数据计算的波动率数值。计算方法为:首先从市场上获得标的交易物在固定时间间隔(如每天、每周或每月等)上的价格;其次,对于每个时间段,求出该时间段末的股价与该时段初的股价之比的自然对数;然后,求出这些对数值的标准差,再乘以一年中包含的时段数量的平方根(如,选取时间间隔为每天,则若扣除闭市,每年中有250个交易日,应乘以根号250),得到的即为年化历史波动率。
有关文献数学公式如下:
式中,Xi是资产的对数收益(涨跌幅),Pi是昨天(基期)资产的价格,是今天(报告期)资产的价格。Pi+1针对资产的对数收益求其平均数X(——,然后根据下面公式得到历史波动率的估计值。
(日价格涨跌幅的平均离差,即标准差)
若将日、周等标准差转化为年标准差,需要乘以以年为单位的频数长度的平方根。如欧洲期权市场一年有252个工作日,Xi为日变量,则年化波动率为为
 
五、Black-Scholes公式证明:
C=call:看涨期权价格
P=put:看跌期权价格
S=spot:即期汇率
E=exercise:执行汇率
F=forward:远期汇率
r=rate:基准货币利率
r'=rate:报价货币利率
t=time:期权存续期(以年表示,天/365)
σ=implied volatility:隐含波动率
N():标准正态分布概率密度函数


0

阅读 收藏 喜欢 打印举报/Report
  

新浪BLOG意见反馈留言板 欢迎批评指正

新浪简介 | About Sina | 广告服务 | 联系我们 | 招聘信息 | 网站律师 | SINA English | 产品答疑

新浪公司 版权所有