立体几何中的位置关系

考点整合

1.直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

微题型一　空间线面位置关系的判断

【例2－1】 已知平面α、β，直线m，n，给出下列命题：

①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；

②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.

其中是真命题的是________(填写所有真命题的序号).

解析　若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β可能平行或相交，①是假命题；若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n可能是平行、相交、异面中的任何一种位置关系，②是假命题；由线面垂直的性质和面面垂直的判定可知③④是真命题，故真命题序号是③④.

答案　③④

探究提高　长方体(或正方体)是一类特殊的几何体，其中蕴含着丰富的空间位置关系.因此，对于某些研究空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系问题，常构造长方体(或正方体)，把点、线、面的位置关系转移到长方体(或正方体)中，对各条件进行检验或推理，根据条件在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，判断条件的真伪，可使此类问题迅速获解.

微题型二　平行、垂直关系的证明

【例2－2】 (2016·昆明统考)如图，在侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB⊥BC，且AA₁＝AB＝BC＝1，CD＝2.

(1)求证：AB₁⊥平面A₁BC；

(2)在线段CD上是否存在点N，使得D₁N∥平面A₁BC?

若存在，求出三棱锥N－AA₁C的体积；若不存在，请说明理由.

(1)证明　因为四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的侧棱垂直底面，

所以A₁A⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，

所以BC⊥AA₁，

因为BC⊥AB，AB∩AA₁＝A，AB⊂平面AA₁B₁B，

AA₁⊂平面AA₁B₁B，所以BC⊥平面AA₁B₁B.

又AB₁⊂平面AA₁B₁B，所以AB₁⊥BC，

因为A₁A⊥AB，A₁A＝AB＝1，所以四边形AA₁B₁B为正方形，

所以AB₁⊥A₁B，

因为A₁B∩BC＝B，A₁B，BC⊂平面A₁BC，

所以AB₁⊥平面A1BC.

自我总结：

1.空间中点、线、面的位置关系的判定

(1)可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.

(2)可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.

2.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.

(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

3.解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性”与“量”，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等.