高一数学三角函数知识整理

一、正弦函数

图像

函数y=sin x的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性

1、  函数y=sin x的定义域是R，值域为[-1，1]

2、 当x∈{x| x= ,k∈Z}时，y有最大值为1，当x∈{x| x= ,k∈Z}时，y有最小值为-1

3、 函数y=sin x的图像关于原点对称是奇函数，可以根据sin(-x)=-sin x证明。

    对称中心为（ ，0）对称轴为x= + (k∈Z)。

4、在[ ， ]k∈Z上单调递增，在[ ， ]k∈Z上单调递减。

5、函数y=sin x的周期为 （k∈Z 且k 0），最小正周期为2π

注意有界性：

二、余弦函数

图像

 

函数y=cosx的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性

1、          函数y=cos x的定义域是实数集R，值域是[-1，1]

2、          当x∈{x| x= ，k∈Z}时y有最大值为1，当x∈{x| x= + ,k∈Z}时，y有最小值为-1。

3、          函数y=cosx关于y轴对称是偶函数，可以通过诱导公式cos(-x)=cosx证明。

对称中心[ ，0]，对称轴为x=

4、          在[ ， ]上单调递增，在[ ， ]上单调递减。

5、          函数y=cosx的周期为 （k∈Z且k 0）最小正周期为2π。

注意有界性：

三、正切函数

图像

 

函数y=tanx定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性

1、          y=tan x的定义域是{x| x∈R且x ,k∈Z}。因为定义域不连贯，所以当有题目说该函数在定义域上怎么怎么样是错误的（同样用于其它所有函数）。值域是一切实数R

2、          y=tan x的定义域关于原点对称是奇函数，根据诱导公式且tan(-x)=-tan x可以证明。

对称中心：

3、          y=tan x在（ ， ）上单调递增

4、          函数y=tanx的周期是 （k∈Z且k 0），最小正周期为π

5、          无最值

四、周期性

一般的，对于函数 ，如果存在一个常数T(T 0),使得当x取定义域D内的任意值时，都有 成立，那么函数 叫做周期函数，常数T叫做这个函数的周期，对于一个周期函数来讲，如果在所有周期里存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数 的最小正周期。

五、函数 的图像与性质

图像变换法

(1)A称为振幅，A引起的是图像的纵向伸缩，

当0<A<1时，横坐标不变，各点纵坐标缩短为原来的A倍

当A>1时，横坐标不变，各点纵坐标伸长为原来的A倍

当A<0时，把图像关于x轴翻折。

(2) 称为角频率， 引起的是图像的横向伸缩

当0< <1时，函数的y值不变，x伸长为原来的

当 >1时，函数的y值不变，x缩短为原来的

当 <0时，要利用诱导公式将负号放到三角符号的外面再做原来的图像后，关于x轴翻折。

(3) 改变的是函数的初始位置，按照左加右减的原则将函数整个函数向左或者向右平移 个单位，所以 称作初相。

(4)频率

(5)性质：定义域为R，值域为[-1，1]

         奇偶性：当 时，奇函数；

                 当 偶函数；

                 当 时，非奇非偶函数。

         把 看作一个整体考虑单调性和最值。

五点法作图：列表描点

1、画函数图像时要利用五点法作图，要列表、描点

2、通常是在一个周期里作图，x通常取0， ，π， ，2π。

3、当三角符号后面是复合函数时，将整个复合函数看作一个整体分别取0， ，π， ，2π。5点作图。

4、当x前系数为负的时候，要利用诱导公式将函数化成一般形式作图。即x前的系数一定为正

注：当函数既要伸缩又要平移的时候，应遵循先平移后伸缩的原则

六、反三角函数

反正弦函数

函数    的反函数叫做反正弦函数，记作

，

 

定义域：[-1，1]   值域：

奇函数，即arcsin(-x)=-arcsinx，非周期函数

在 上是增函数

反余弦函数

y=cosx , 的反函数叫做反余弦函数，记作 ，

 

 

定义域：[-1，1]   值域：

非奇非偶函数，即

在 上单调递减

反正切函数

把函数y=tanx , x∈ 的反函数记作，  

 

定义域：R   值域：

奇函数，即

在R上单调递增

注：反三角函数后跟的数是一个值，反三角函数的值表示的就是这个数所对应的角的弧度制数。

求反三角函数注意：

所有三角函数只有在特定的定义域上才具有反函数，即y=sinx ，y=cosx  x ∈ ，y=tanx  。当三角函数的定义域不在特定区间内，要利用诱导公式或者分段把定义域化到特定区间内才能求反函数。

七、最简三角方程

    定义：我们把含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，把所有满足三角方程的所有x的集合叫做三角方程的解集。由于三角函数的周期性，因此一般的三角函数的解集含有无穷多个元素。

形如sinx=a ,cosx=a, tanx=a的方程叫做最简三角方程。

sinx=a

当 ，方程无实数根

当a=1或者a=-1时，方程的解集为 或者

当a在（-1，1）内时x的解集为 。

cosx=a

当 时，方程无解

当a=1或a=-1时，方程的解集为 或 ，当a在（-1,1）时方程的解集为

tanx=a

 时，解集为

注：在解三角方程时，特别是正弦和余弦，要先注意a的范围，若不在【-1,1】内，则方程无解，在{1，-1}内的话在一个周期内只有一个解，不能套用公式，并且要注意题给的x的范围，在求出解集后，选出符合题给范围的所有解，用列举法表示。

八、常用公式

周期公式

的周期公式

 

 

 

 

 

  

，  

，  

必须掌握假设角的思想