由庞加莱首先提出，对二阶非线性系统x(dot)(dot)=f(x,x(dot)),以x,x(dot)为横纵坐标绘图，即得到相平面 phase plane。状态变化绘制得到的曲线即是相轨迹。每个轨迹点都对应一个斜率，当斜率不确定时，该点是奇点，也是平衡点。通过x(dot)/x=1/0来得到。下图是极点分布与相轨迹的对应，以及稳定情况。

2.描述函数法

    一类的非线性系统可以通过以下框图描述。其中NL为非线性环节，G为线性环节，该系统不能直接使用频域法分析。此时如把NL环节描述为线性传递函数形式，系统就能方便进行分析。描述函数法又叫扩展的频域法。

NL环节需要满足以下假设：1.只有一个非线性元件，多个非线性元件的串联并联需能近似为一个元件；2.非线性环节为自治的、时不变的，为了方便应用奈奎斯特准则；3.线性系统是低通的，方便忽略高次谐波。在以上假设下，将非线性环节在正弦信号的作用下的输出略去高次谐波，只保留基波，输出的一次谐波与输入的比值即描述函数。此时非线性环节等效为变增益的放大环节，能够应用频域法分析。

3.李雅普诺夫稳定理论

    李雅普诺夫函数首先是正定的V(t)>0，其次导数时负定的V(t)dot<=0；构造李雅普诺夫函数的方法：克拉索夫斯基法、变量梯度法。如下图，问题的关键在于构造正定的Q，克拉索夫斯基法即用雅克比矩阵构造。

4.反馈线性化

    不同于雅克比线性化，他是应用状态变换和反馈来实现系统的线性化。对于非线性系统X(dot)= f(x,x(dot),u),关键在于找到状态变换z=z(x)和输入变换u=u(x,v)，将利用u镇定非线性系统的问题转换为利用v镇定线性系统的问题。

讲解了前边的介绍和基础知识，可以展开以下的模型参考自适应系统。

模型参考自适应控制（model reference adaptive control-MRAC）通过迫使被控对象跟踪特性理想的参考模型，来获得要求的闭环系统性能。其系统组成有控制对象、控制器、自适应机构和参考模型。见下图。

    对于一个简单的二阶控制对象，假设有一个外部干扰，干扰为简单的增益干扰。通过简单的负反馈可以实现简单的系能跟踪，当干扰比较小时，可以满足要求。但增益加大时，系统不再理想。引入MIT法，设计自适应律，此时控制器增益为k，自适应机构k(dot)=g*e*ym。g为增益，e为参考模型输出和系统输出之间的误差，ym为参考模型输出。系统输入为方波信号，负反馈控制、MIT自适应与理想输出的对比如下图

     当系统输入的幅值或自适应增益发生变化，MIT法会出现下图的发散现象。因为在设计之初，MIT法就没有考虑系统的稳定性问题。

     而依据李雅普诺夫方法设计的自适应律，较MIT法系统有很大的改善。

     而实际上李雅普诺夫方法只是在一定程度上解决了稳定性问题，随着系统的复杂和要求的提高，又出现了一些高级稳定性理论，如超稳定理论、Narenda稳定自适应理论以及波波夫稳定性理论。此处不再涉及。