对“除法”“分数”和“比”的再认识　

有关“比”的教学是在学生已经理解了除法的意义与基本性质，分数的意义与基本性质以及分数与除法的关系等知识，掌握了分数乘除法的计算方法，会用分数解决问题的基础上进行的。在教学了“比的意义”之后安排的是“比的基本性质”的教学。有关这节课的教学，当学生总结出比的基本性质后，应用部分往往安排的教学内容都是“化简比”，即利用比的基本性质把一个比（无论是整数比，小数比还是分数比），化成最简整数比。我在教学这一部分内容时，也就用细化成三种情况的化简方法进行教学，因此学生在化简比的过程中并没有出现什么问题，较为顺利。问题则出在了化简后得到的最简比，如“3∶2”，若把3∶2写成这种形式时，总有一些学生把“三比二”读成“二分之三”。为此我特意做了一些强调：“化成最简整数比，结果还应该是比！”当然也特别加重了“比”字的音量，提高了语调。还故意问学生：若把写成1　　行不行？设法强调“　”是比而不是数，但还是有学生读成“二分之三”，这让我很挠头，明明是比呀，怎么有的学生总认为那是个分数呢？

以上疑问引起了我对“比”这部分教学的反思。若我们简单地理解，出现这一问题的原因是因为教材中规定了15∶10也可以写成　　，读作15比10。因为　　与分数形式一样，所以学生容易把比读成分数。这样一个解释似乎很充分了，因此可以片面地认为在课堂上多强调什么时候按比的方式读，什么时候按分数的方式读就行了。回顾教学过程，我也这样强调了呀！为什么学生还是分不清呢？看来，以上看似充分的解释也只能看作是一种表面的原因而非本质原因。经过深入的思考，出现这一状况的原因有两点：

1、学生真的理解“分数”“比”“除法”了吗？

产生这一问题的原因，首先最重要的一点是学生对“分数”“除法”“比”的概念没有弄清楚，没有明白它们之间那么相似，为什么学了“除法”之后还要学习“分数”和“比”。因此在教学过程中应该让学生理解“分数是数”，它是连续量分割的结果，这是从分数产生的过程来理解分数概念。在用度量单位度量不连续量时，其结果是整数，而度量连续量时，其结果就不一定是整数。这时，把度量单位分割成几等份，连续度量，因而产生了分数。分数既然是数，它具有整数的一切性质，可以比较大小进行运算等。同时分数的计算范围被扩大了。别外我们应该让学生理解“除法是一种运算”，是求两个数的商的运算，也就是用一个数去除以另一个不为0的数。而“比”的定义是，表示一个数与另一个数的倍数关系的一种形式。“分数”“除法”“比”一个是数，一个是运算，另一个则表示的是一种关系。因此它们在数学领域中各有各的作用，相互联系又相互区别，只有对概念有了深刻的理解，才有利于学生对概念的区分和应用。

2、学生对“除法”“分数”“比”三者之间的关系实质上并不清楚。

课堂上学生能够运用流利的语言叙述分数与除法，分数与比，比与除法之间的关系（被除数相当于分数中的分子，除数相当于分数中的分母，除号相当于分数线，商相当于分数值……），表面上感觉学生对它们的关系十分清楚了，其实从本质上分析这绝不能表明学生真的对它们之间的关系清楚了。

我们应该让学生理解分数既然是数，那它可以表示除法运算的结果，（其典型表现在解决实际问题或解方程时，当结果为“分数”时，有一部分学生认为“还没有计算完”，一直要把分数再化成小数为止）。让学生初步知道两个整数相除，不论被除数小于、等于或大于除数，都可以用分数来表示商。分数与除法的关系是对分数意义更深的理解。

分数的意义包括两方面：一是表示数量，带有单位名称；二是表示相对的量，即“分率”，不带单位。当用分数表示比时，分数的意义是两量比较的结果。从率的角度来说，分数就是比。两个数相除也可以写成分数形式，这样，a∶b可写成分数　，那么为什么学了分数还要学比呢？这是因为分数刻画的是整体与部分量的关系，而比刻画的是部分量与部分量的关系。与分数显著的区别是按比例分配和成比例。例如：把12个苹果分给甲、乙两个小朋友，如果按1∶1分，习惯上称作平均分，如果按2∶1分，就是按比分配，平均分是按比分配的特例。正反比例概念是两个可变化量之间的关系，在比例概念中存在着两组对应的四个数值。这对小学生理解常量与变量，三量关系式是有一定难度的，因此分数与比的关系教学是对分数意义更宽泛的、更高深层次的理解。

这样有利于使学生对“除法”“分数”“比”三者之间的关系更加清楚，也加强了学生对三者意义的再认识，让学生体会数学知识的紧密相连性，形成网络体系，同时也为以后学习其他概念并从多角度考虑问题打下基础。