鲁教版初四数学知识点

 

第一章  解直角三角形

一、锐角三角函数

在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式:

sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA=a/c 　　

cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA=b/c 　　

tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长,tanA=sinA/cosA=a/ b tan A记为∠A的正切 　

cotA=∠A的邻边长/∠A的对边长,cotA=cosA/sinA=b/c cotA记为∠A的余切 

1.sin=对/斜    cos=邻/斜    tan=对/邻    cot=邻/对

2.sinA=cos(90°-A)

  cos A=sin(90°-A)         

  tanA=cot(90°-A)

  cotA=tan(90°-A)

  tanAcotA=1

  tanA=sinA/cosA

  sin²A＋cos²A＝１

3.增减性(A为锐角)

sinA 、tanA随着∠A的增大而增大,cosA、cotA随着∠A的增大而减小

4.取值范围:0<sinA<1,0<cosA<1,tanA>0,cotA>0

 

 

二、30°,45°,60°角的三角函数

 

三角函数 锐角α	正弦 sinα	余弦 cosα	正切 tanα	余切   cotα
30°
45°				1
60°

 

 

 

三、解直角三角形及其应用

1.解直角三角形的概念:

在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素。

在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形。

2.解直角三角形的依据:

(1)三边之间的关系:a2 +b2=c2 (勾股定理)

(2)两锐角之间的关系:∠A＋∠B＝90°

(3)边角之间的关系:sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/ b,cot=b/a

3.解直角三角形的原则

(1)有角先求角,无角先求边

(2)有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。

    这两句话的意思是:当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据。

4.解直角三角形的应用

(1)把实际问题转化成数学问题,这个转化包括两个方面:一是将实际问题的图形转化为几何图形,画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系；

(2)把数学问题转化成解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形；

(3)仰角和俯角

在进行观察或测量时，

从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角。

 

 

第二章  二次函数

一、对函数的再认识

定义:一般地,在一个变化过程中有两个变量,对于自变量x某一范围内的每一个确定值,y都有惟一确定的值与它对应,那么就说y是x的函数。

强调:

对于函数概念的理解,主要抓住以下三点:

①函数不是数,是指在一个变化过程中两个变量之间的关系；

②自变量每一个确定值,函数有一个并且只有一个值与之对应；

③自变量的取值范围。

函数值的定义:对于自变量在可以取值范围内的一个确定的值函数有惟一确定的对应值,这个对应值叫做当时函数的值,简称函数值。

 

 

二、二次函数及其表达式

1.定义:我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。ax2叫做二次项,a为二次项系数,bx叫做一次项,b为一次项系数,c为常数项。

注意:二次函数的二次项系数不能为零。因为如果a为0,就没有二次项,也就谈不上什么二次函数!

2.三种表达式:

(1)一般式:y=ax2+bx+c

(2)顶点式:y=a(x-h)2+k,对称轴x=h,顶点坐标是(h,k)

(3)交点式:y=(x-x1)(x-x2),与x轴两交点坐标为(x1,0)、(x2,0)

3.确定函数的解析式

一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式y=a(x-h)2+k,在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=(x-x1)(x-x2)；在所给的三个条件是任意三点时,可设一般式y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解。

 

 

三、二次函数的图像与性质

二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象,是一个轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a

对于一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0),当x=-b/2a时,y最大或最小。即抛物线顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a)

(1)a决定开口方向:a>0开口向上；a<0开口向下

补充:|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大

①当a>0时,开口向上,对称轴左侧(即x<-b/2a时),y随x增大而减小；对称轴右侧(x≥-b/2a),y随x增大而增大。当x=-b/2a时,有最小值y=4ac-b2/4a；

②当a<0时,开口向下,对称轴左侧(即x<-b/2a时),y随x增大而增大；对称轴右侧((x≥-b/2a)),y随x增大而减小。当x=-b/2a时,有最大值y=4ac-b2/4a。

(2)a、b共同决定对称轴:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b/2a

a、b同号(即ab>0,则-b/2a<0)对称轴在y轴左侧

a、b异号(即ab<0,则-b/2a>0)对称轴在y轴右侧

b=0对称轴是y轴

(3)c决定抛物线与y轴的交点(与y轴交点的横坐标为0,即x=0,此时纵坐标y=c):

c>0与y轴正半轴相交

c<0与y轴负半轴相交

c=0经过坐标原点(即x=0时,纵坐标y=c=0)

(4)Δ=b2-4ac确定抛物线与x轴交点的个数(联系一元二次方程):

b2-4ac>0与x轴有两个交点

b2-4ac=0与x轴有一个交点

b2-4ac<0与x轴无交点

(5)抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方,即函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是正值的条件是

a>0且b2-4ac<0(开口向上且与x轴无交点)

(6)抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方,即函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是负值的条件是

a<0且b2-4ac<0(开口向下且与x轴无交点)

同样自己可确定不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非负数或非正数的条件

 

 

四、二次函数与一元二次方程

二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根,反之也成立。

 

 

第三章  圆

一、圆

1.定义:

(1)几何说:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中,定点称为圆心,定长称为半径的长（通常也称为半径）。以点O为圆心的圆记作⊙O,读作“圆O”

(2)轨迹说:平面上一动点以一定点为中心,一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周,简称圆　　(3)集合说:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

    连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母d表示。圆心决定圆的位置,半径和直径决定圆的大小。在同一个圆或等圆中,半径都相等,直径也都相等,直径是半径的2倍,半径是直径的1/2。

2.点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内

(1)点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；

(2)点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；

(3)点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。

3.圆的有关概念

(1)弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。 　　

(2)圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 

(3)弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离

(4)等弧:在同圆中能够重合的弧叫等弧

 

 

二、圆的对称性

1.圆是周对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴。

2.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心。一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合。这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性

3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧

特别注意:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

垂径定理的逆定理:平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦

垂径定理的推论:圆的两条平行弦所夹的弧相等

4.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等

推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等

 

 

三、圆周角

1.顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角

2.圆周角定理:同弧(等弧)所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半

3.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等

4.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径

 

 

四、确定圆的条件

1.三点定圆

(1)经过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上

(2)经过三点A、B、C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置

(3)定理:不在一条直线上的三个点确定一个圆(三点定圆)

4.三角形与圆的位置关系

(1)三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点,叫做三角形的外心

(2)锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外

5.四边形与圆的位置关系

(1)如果四边形的四个顶点在一个圆,这圆叫做四边形的外接圆，这个四边形叫做圆的内接四边形。

(2)重要性质:

①圆内接四边形对角互补；

②圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角；

③对角互补的四边形内接于圆。

 

 

五、直线和圆的位置关系

1.三种位置关系

(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线；

(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；

(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。

直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数来定义的,即直线与圆没有公共点、只有一个公共点、有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交。

2.用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系来揭示圆和直线的位置关系

(1)回忆:直线外一点到这条直线垂线段的长度叫点到直线的距离；连结直线外一点与直线所

有点的线段中,最短的是垂线段

(2)设⊙O的圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r,则

①直线l 和⊙O相离d>r

②直线l 和⊙O相切d=r

③直线l 和⊙O相交d<r

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

3.切线定理:圆的切线垂直于过切点的半径

4.切线长定理

(1)切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点间的线段的长,叫做切线长

(2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

5.内切圆和内心的定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心

 

 

六、圆和圆的位置关系

1.圆心距:两圆圆心之间的距离叫做圆心距

2.连心线:通过两圆圆心的直线叫做连心线

3.圆和圆的位置关系(设圆心距为d,R和r分别为两圆半径且R≥r):

(1)外离d>R+r,公共点0(两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部)

(2)外切d=R+r,公共点1(两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部)

(3)相交R-r<d<R+r公共点2(两个圆有两个公共点)

(4)内切d=R-r公共点1(两个圆有唯一公共点,并且除这公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部)

(5)内含d<R-r公共点0(两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的内部)

注:①两圆同心是两圆内含的一种特例；

   ②当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切(包括外切和内切)。

4.性质

(1)相切两圆的性质:如果两圆相切,切点一定在连心线上；

(2)相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦；

证明:经过相交两圆的一个交点,作两圆的公共弦的垂线,则这条直线上被两圆所截得的线段等于圆心距的2倍。

在解决相交两圆的问题时,注意其公共弦和连心线的作用是探求思路的重要手段。

 

 

七、弧长与扇形的面积

1.把圆周等分成360份,每一份的弧叫做1°的弧；1°的弧所对的圆心角叫做1°的角。

2.在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为:l=nπR/180

3.如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形的面积的计算公式为:S扇形=nπR2/360

4.比较扇形面积(S)公式和弧长(l)公式,你能用弧长来表示扇形的面积吗?S=1/2Rl

 

 

八、圆锥的侧面积

1.概念:圆锥可以看成是直角三角形以它的一条直角边所在的直线为轴,其余各边旋转一周而成的面所围成的几何体。斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。无论转到什么位置,这条斜边都叫做圆锥的母线。另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面。

圆锥有一个顶点和一个底面,底面是一个圆。连结圆锥顶点和底面圆心的线段和圆锥底面垂直,这条线段叫做圆锥的高线。

2.圆锥的基本特征:

(1)圆锥的高通过底面的圆心,并且垂直于底面；

(2)圆锥的母线长都相等；

(3)经过圆锥的高的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形；

(4)圆锥的侧面展开图是半径等于母线长、弧长等于圆锥底面周长的扇形。

3.圆锥体展开图由一个扇形(圆锥的侧面)和一个圆(圆锥的底面)组成。此扇形的半径R是圆锥的母线,扇形的弧长是圆锥底面圆的周长

  一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3

4.圆锥的侧面积=1/2×母线长×圆锥底面的周长=π×圆锥底面半径×母线长

5.高(h),底半径(r),母线(l)之间的关系:h2 +r2=l2 (勾股定理得出)

6.圆锥的全面积:圆锥的侧面积与底面积的和叫做圆锥的全面积(或表面积)

 

 

第四章  统计与概率(略)