鲁教版初一数学知识点

鲁东大学商学院08级经济学 李建鹏

第二章　有理数及其运算

 

考点一：有理数的分类

 

 

 

 

 

 

 

 

 

有理数的另一种分类

想一想：零是整数吗?自然数一定是整数吗?自然数一定是正整数吗?整数一定是自然数吗?

零是整数；自然数一定是整数；自然数不一定是正整数，因为零也是自然数；整数不一定是自然数，因为负整数不是自然数

判断正误

①不带“－”号的数都是正数   (   )

②如果a是正数，那么－a一定是负数 (   )

③不存在既不是正数，也不是负数的数 (  )

④０℃表示没有温度  (  )

考点二：数轴

1、填空

①规定了唯一的          ，            和              (三要素)的直线叫做数轴。

②比－3大的负整数是_______；已知ｍ是整数且-4<m<3，则ｍ为_______________。③有理数中，最大的负整数是____，最小的正整数是____。最大的非正数是__。　

④与原点的距离为三个单位的点有____个，他们分别表示的有理数是________。

2、选择题

①下列数轴画法正确的是(      )

②在数轴上，原点及原点左边所表示的数是（　）

Ａ整数　   Ｂ负数　   Ｃ非负数　    Ｄ非正数

③下列语句中正确的是（　）

Ａ数轴上的点只能表示整数　     Ｂ数轴上的点只能表示分数　

Ｃ数轴上的点只能表示有理数　   Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来

考点三：相反数

相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0。在数轴上位于原点两侧且离原点距离相等。

1、填空

①-2的相反数是          ；它的倒数是          ；它的绝对值是           。

②|-3|的相反数是          ；它的倒数是       ；它的绝对值是           。

③相反数是它本身的数是         ； 倒数是它本身的数是                ；绝对值是它本身的数是                。

2、选择

①的若a和b是互为相反数，则a+b＝（  ）       

 A、–2a     B、2b     C、0     D、任意有理数           

②下列说法正确的是（  ）                               

A、–1/4的相反数是0.25       B、4的相反数是-0.25

C、0.25的倒数是-0.25          D、0.25的相反数的倒数是-0.25

③用-a表示的数一定是（  ）                                

A、负数    B、正数     C、正数或负数    D、都不对      

④一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（  ）                                                              

    A、–1      B、1      C 、±1       D、0

3、判断

①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁（   ）

②在一个数前面添上“-”号，它就成了一个负数（   ）

③ 只要符号不同，这两个数就是相反数（   ）

4、计算：已知       和               的值互为相反数，求x的值。

 

考点四：绝对值

绝对值:一个数所对应的点离原点的距离叫做该数的绝对值。

1、 绝对值的意义是（1）一个正数的绝对值是它本身；（ 2 ）一个负数数的绝对值是它的相反数（ 3 ）0的绝对值是0；（4）|a|大于或者等于0。

2、 化简

（1）-|-2/3|＝_____； 

（2）|-3.3|-|+4.3|＝___； 

（3）1-|-1/2|=___； 

（4）-1-|1-1/2|=______。

3、填空题。

①若|a|＝3，则a＝____； |a+1|＝0，则a＝____。

②若|a-5|+|b+3|＝0，则a＝___，b＝___。

③若|x+2|+|y-2|＝0，则x＝___，y＝___。

④绝对值小于2的整数有________。

⑤绝对值等于它本身的数有___________。

⑥绝对值不大于3的负整数有__________。

⑦数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为          

考点五：有理数加减法

1、有理数的加、减法法则

①同号两数相加，取          符号，并把绝对值           。

  异号两数相加,绝对值相等时为0;不等时,取绝对值较大数的符号,并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。

②互为相反数的两个数相加得           。

③一个数同0相加，仍得                     。

④减去一个数，等于加上这个数的             。

2、计算

 

 

 

⑷ -（-12）-（-25）-18+（-10）

⑸

 

 

考点六：乘除法法则

① 两数相乘，同号得      ，异号得      ，并把绝对值       。 0乘以任何数，都得          。

②几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，负因数的个数为          时，积为正；负因数的个数为           时，积为负。

③两数相除，同号得        ；异号得          ；并把绝对值           。

④乘以一个数等于除以一个数的　　　　。

 

考点七：乘方

1、填空

①这种求n个                         的运算，叫做乘方。

②   中，底数是         ，指数是           ，幂是          ；读作：                     。或读作：                        。

③　23中，底数是          ；指数是       ；结果是      ；读作：             。

④　(-2)2中，底数是         ；结果是         ；

⑤　5中，底数是         ；指数是           。

⑥　中，底数是            ；指数是           ； 幂是            。

⑦　18表示        个          相乘，结果是        。

2、计算：

32=        ；   -23=        ；      -14=         ； 

 

(-3)2=          ；  05=        ;      0.13=        .

                考点八：运算律及混合运算

1、基本知识

v 加法交换律： 

v 乘法交换律：

v 加法结合律：

v 乘法结合律：

v 乘法分配律：

v 有理数混合运算顺序：先          ；再          ；最后算           。

有括号，先算                    ；同级运算由                         。

2、计算

 

 

 

 

 

第三章  代数式

 

2.1用字母表示数

书写规范:(1)字母与字母相乘,字母与数字相乘,“×”通常省略不写或写成“”,但数字与数字相乘仍用“×”;

        (2)字母与数字相乘,数字写在字母前面;系数1和-1省略不写;

        (3)除法一般写成分数形式而不写“÷”,带分数化成假分数。

 

2.2代数式

用代数式表示:①偶数、奇数  ②a、b两数的平方和减去它们差的两倍。

代数式的值:一般地,用数值代替字母,计算后所得结果叫代数式的值。

 

注意:①增加或减少百分之几时,不能直接加分数,而是加分数乘以原数(增加或减少百分之几是增加或减少原数的百分之几);

②打折问题:打折是按原价的百分之几出售,七五折就是按原价的75%出售,4折就是四零折即按原价的40%出售(4折不是4%而是40%)。

 

2.3合并同类项(见初一下知识点)

 

2.4去括号

法则:括号前是“+”号,把括号和前面的“+”号去掉,括号里的各项符号不变;括号前是“－”号, 把括号和前面的“－”号去掉,括号里的符号都要改变。

 

第四章  平面图形及其位置关系

 

3.1线段、射线、直线

线段:直线上两个点和它们之间的部分叫线段,这两个点叫线段的端点。

射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

 

三线的特点:直线射线和线段,为人正直不弯腰,

直线本领大,身体无限长,射线向一方,一端无限长,

线段最乖巧,只在两点之间跑。

 

点与直线的位置关系:点p在直线a上(或说直线a经过点p);

                   点p不在直线a上(或说直线a不经过点p) 。

 

过一点可画________条直线,过两点可画________条直线。

 

3.2线段的长短比较

⑴度量法    ⑵叠合法

线段的中点:把一线段分成两相等线段的点。

两点间的距离:两点间线段的长度。

判断:①两点间的距离是指两点间的线段。         (    )

②两点间连线的长度叫这两点间的距离。     (    )

 

3.4角

角:由两条具有公共端点得出射线组成的图形(也可看做是由一射线绕端点旋转而成的图形) 。

角的表示:三个大写字母;一个大写字母(不混淆情况下方可使用);一个数字;一个希腊字母

角的要素:顶点和边          角的大小与边的长短无关

角的单位:度,分,秒 ①1°的60分之一为1分，记作“1′”，即1°＝60′

②1′的60分之一为1秒，记作“1″”，即1′＝60″

 

角的大小比较:⑴度量法   ⑵叠合法

角平分线:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个等角,这条射线叫角平分线。

 

3.5平行

平行线:在同一平面内不相交的两条直线交平行线。

表示:我们通常用“//”表示平行。

结论:

①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

 

3.6垂直

垂直:如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。    

注意:两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直。

表示: “⊥ ” 如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）

性质:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。  

垂足:把互相垂直的两条直线的交点o 叫做垂足。 

点到直线的距离:垂线段的长度(垂线段最短) 。

 

第五章  一元一次方程

等式:表示相等关系的式子。

方程:含有未知数的等式。(方程一定是等式,但等式不一定是方程)。

方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

解方程:求出使方程左右两边都相等的未知数的值的过程叫做解方程。

一元一次方程:只含一个未知数,未知数的次数是1,并且等式两边都是整式的方程。

同解方程:两方程的解相同。

一般解法:

ⅰ  去分母:两边同乘以各分母的最小公倍数；

ⅱ  去括号；

ⅲ  移项:移项要变号；

ⅳ  合并同类项:把方程化成ax=b(a≠0)的形式；

ⅴ  系数化为1：两边同除以未知数的系数, 得到方程的解x=b/a。

一元一次方程的应用(难点重点):

列方程解应用题的关键是：仔细审题，找出能正确表达整个题数量关系的一个相等关系，再设未知数，并将这个相等关系用含未知数的式子表示出来。

 

几种常见问题:

1.和差倍分问题:这类问题主要是正确理解是几倍“增加了几倍”“增加到几倍”“多少”“大小”“不足“剩余”等关键词语的意义;

 

2.行程相遇问题:三个基本量的关系   路程=速度×时间

(1) 两人在圆形跑道上同时同地背向而行求首次相遇时间:甲的路程+乙的路程=一圈的长度(直线路上两人面对面行走首次相遇的时间求法与之相同);

(2) 两人在圆形跑道上同时同地同向而行求首次相遇时间:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度。

 

3.工程任务问题:三个基本量的关系:工作量=工作效率×工作时间

一般情况下,把全部工作量看做1(即100%),工作效率=1／工作时间(各个量一定要对应,自己的效率乘以自己的时间等于自己的工作量)

合作效率=各个人的效率之和

 

4.利润问题:利润=售价-成本=成本×利润率 利润率=利润÷成本 实际售价=标价×折扣率

 

5.分配问题:例:某车间有22名工人加工生产一种螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓120个或螺母200个，一个螺栓要配两个螺母(建立等量关系的依据)，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？ 

 

6.水上航行问题: 顺水速度=静水速度+水流速度          逆水速度=静水速度-水流速度

 

应用举例:

1.一本书,小明第一天读了十分之一,第二天读了10页,已读的是未读的1／4,请问这本书一共有多少页?

等量关系:已读的+未读的=总页数(或已读的=总页数-未读的,未读的=总页数-已读的)。

 

2.某服装七月份下降了10%,八月份上升了10%,则八月份价格与原价比(    )

A.不变             B.增加1%        C.减少9%        D.减少1%

注意:不要误以为不变,百分数的基数不一样会变化,7月份是在原价基础上下降10%,8月份是在7月份基础上上升10%而不再是在原价基础上上升。

 

3.甲乙两人在400米的圆形跑道上跑步,甲每秒跑9米,乙每秒跑7米,

(1)当两人同时同地背向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

(2)当两人同时同地同向而行时,经过多少秒后两人首次相遇?

分析(1):设经过x秒首次相遇。两人加起来跑完一圈即400米时首次相遇,所以等量关系式是:甲的路程+乙的路程=一圈的长度400米  甲的路程=甲的速度×时间x   乙的路程=乙的速度×时间x   得到方程:9x+7x=400

(2)设经过x秒首次相遇。同向首次相遇,即快的人多跑一圈与慢的人相遇, 所以等量关系式是:快人的路程-慢人的路程=一圈的长度400米,在这即是甲的路程-乙的路程=400。

 

4.一项任务,甲独做需x天,乙独做需y天,若两人合作需________天

分析:合作时间=工作量／合作效率   工作量=1   合作效率=甲的效率+乙的效率

     甲的效率=工作量／甲的时间=1／x  乙的效率=工作量／乙的时间=1／y

∴合作时间=1／(1／x+1／y)

 

5.某种商品每件的进价为250元,按标价的9折销售时,利润率为15.2%,这种商品每件标价多少元？

分析:设标价x元,等量关系:利润(求)÷成本(已知250元)= 利润率(已知15.2%)

     利润=实际售价(标价的9折即90%x)-成本250

     ∴(90%x-250) ／250=15.2%

 

练习:小明、小红买工具,所带钱之比为7:6,小明用掉50元,小红用掉60元,两人余下钱之比为3:2,求他们分别余下多少钱?

 

第七章  整式的运算

一、整式的概念

代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。 (分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式)

    1.单项式：数与字母的乘积,单个的数或字母也是单项式

   （1）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。( 如果一个单项式，只含有数字因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1)。

   （2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数(非零常数的次数为0)。

2.多项式

   （1）概念：单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。

   （2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

   （3）多项式的排列：

    把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

    把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

    在做多项式的排列的题时注意：

    (1)由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。

    (2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：

     a.先确认按照哪个字母的指数来排列。

     b.确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。

3.整式: 单项式和多项式统称为整式。

 二 、整式的加减运算

1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。(同类项与系数无关，与字母排列的顺序也无关)。

    2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。不能合并的项单独作为一项,不可遗漏

 3.整式加减实质就是去括号,合并同类项。

 三、 整式的乘法

1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加。am·an=am+n（m、n都是正整数）

2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n＝amn（m，n都是正整数）

3.积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

(ab)n＝anbn(n是正整数)   (abc)n＝anbncn(n为正整数)

 4.单项式与单项式相乘有以下法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

5.单项式与多项式相乘有以下法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。m（a+b+c）=ma+mb+mc

6.多项式与多项式相乘有下面的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

    7.平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差。(a+b)( a-b)=  a2－b2

    8. 完全平方公式：两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍。 两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两积的2倍。(首方加尾方，乘积两倍中间放)

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

(a－b)2＝a2－2ab＋b2 

 9.同底数幂相除，底数不变，指数相减。

 

第八章  平行线和相交线

一、余角和补角

1.概念: 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角;如果两个角的和是一个平角,那么称这两个角互为补角,简称互补,也可以说其中一个角是另一个角的补角。

2.性质: 同角或等角的余角、补角相等。

二、对顶角: 一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。性质:对顶角相等

三、直线平行的条件: 同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行

四、平行线的特征: 两直线平行,同位角内错角相等,同旁内角互补。

 

第十章  数据的表示

一、科学记数法: 一般地，把一个绝对值大于10(或小于1)的数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10,n是整数，这种记数方法叫做科学记数法。

二、近似数和有效数字

1、近似数：在一定程度上反映被考察量的大小，能说明实际问题的意义，与准确数非常地接近，像这样的数我们称它为近似数。 

2、近似数的分类：

（1）具体近似数（如30.2、58.0 …）（2）带单位近似数（如2.4万…）

（3）科学记数法（如3.2×10…） 

3、精确度：应用近似数用位数较少的近似数替代位数较多或位数无限的数，有一个近似程度的问题，这个近似程度就是精确度。四舍五入到哪一位,就说精确到哪一位(看精确度得到原数中去看在哪一位上,如:2.4万精确到千位,而非十分位,因为2.4万就是24000,4在千位上)。

4、有效数字：对于一个不为0的近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有数字都叫这个近似数的有效数字。

三、数据的形象表示:条形图 折线图 扇形图

 

第十一章  三角形

一、认识三角形

1.概念: 由不在同一直线上的三条线段,首尾依次相连接组成的图形。

   2.性质: 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

二、全等三角形

1.概念: 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

2.性质: 全等三角形对应边、对应角相等。

注意：记两个三角形全等时, 要求把对应顶点的字母写在对应的位置上。

寻找对应元素的规律:

（1）有公共边的，公共边是对应边；

（2）有公共角的，公共角是对应角；

（3）有对顶角的，对顶角是对应角；

（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；

（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；

（6）对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（7）对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；

（8）可根据全等式找对应边和对应角。

 三、探索三角形全等的条件

1. 三边对应相等,两三角形全等(SSS);

2. 两边和它们的夹角对应相等, 两三角形全等(SAS);

3. 两角和它们所夹的边对应相等, 两三角形全等(ASA);

4. 两角和其中一角所对的边对应相等, 两三角形全等(AAS)。

5. 直角三角形:斜边和一条直角边对应相等, 两三角形全等(HL)。

 

第十二章  变量之间的关系

自变量: 能够影响其他变量的一个变量叫做自变量。

因变量: 由于自变量变化而引起变化的量。

自变量是“原因”，而因变量就是“结果”,因变量随自变量的变化而变化。

一、用表格表示变量之间的关系

一般表格中上边一行为自变量,下边一行为因变量。

二、用关系式表示变量之间的关系

一般式子因变量在左边,自变量在右边。知道一个变量,就能通过关系式求得另一个变量。

三、用图像表示变量之间的关系

一般横轴(x轴)表示自变量,纵轴(y轴)表示因变量,图像反应了因变量随自变量的变化而变化的情况。知道x求y,过x点作x轴的垂线与图像交于一点,该点在y轴上的投影(过该点作y轴的垂线)所对的值就是要求的y值;同理知道y求x,就过y点作y轴的垂线与图像交于一点,该点在x轴上的投影(过该点作x轴的垂线) 所对的值就是要求的x值。特殊的,x=0时,y值就是图像与y轴的交点;y=0时,x值就是x轴与图像的交点。