异方差检验：

 

        

LnOutput 与 Resid 的散点图：

         选取LnOutput 和 Resid 建立group, View->Graph->Scatter : 输入 LnOutput  Resid

         (似乎可以看出一点点异方差。中间某处离散程度较小)

 

         【这个图有一定的问题。最初只是想用来看看残差项与Y项有没有关系，但散点图上看没有明显关系。但这不意味着Resid不存在明显规律性。所以这个图并不能说明什么】

 

 

 

 

Goldfeld-Quandt Test：

 

         G-Q检验的基本思想是：将样本值分为容量相等的两部分，分别进行回归，并得到两者的残差平方和。他们除以自由度后均服从卡方分布，构建统计量F等于两者残差平方和之比，则F服从F分布。若F大于临界值，则表明两者的残差平方和有较大的差异，存在（递增）异方差；若F小于临界值，则不存在递增异方差。

        

步骤：

（1）排序：在Workfile窗口中双击LnLabor，点右上角Sort进行排序，Ascending，递增。（对Lncapital 排序应该也可以， 因为只是为了分开样本而已。或直接在命令栏中输入sort lnlabor）

（2）本案例共有30个数据，剔除四分之一即剔除8个。将样本1:11,20:30分别作为两组：样本1，样本2。

（3）分别通过1:11和20:30做回归。首先在Workfile右上角选Sample，Range Pairs 由 @all 改为 1 11。

 

 

再使用Estimate Equation 做回归模型。得到下表：

 

同样，将Sample处改为20 30，得到下表：

 

         （4）此处要用到两者的Sum squared resid 值（课件里的SSE，残差平方和）之比。

F=SSE2/SSE1 = 13.70482 / 5.154901 = 2.658600 ，两者SSE自由度均为 11 – 2 - 1 =8。

因此F~F(8,8)。 查分布表，a=0.05时，F临界值为3.69；a=0.10时，F临界值为2.59，此处F>临界值，因此可以认为存在递增型异方差（a=0.10）。

 

White Test :

 

White 检验基本思路是构造e_t²关于x_1t和x_2t的辅助回归模型(二元条件下)，构造统计量n*R²~χ²，若n*R²小于临界值则认为不存在异方差。

 

步骤： View -> Residual Test -> Heteroskedasticity Test ->选White，出现如下对话框

(注：Heteroskedasticity即异方差的意思。)

 

 

打钩 Include White cross terms 即含交叉项， 不打钩则不含交叉项。

（1）不含交叉项：

即建立的et的回归方程中只含x1^2 与 x2^2 项，而不含x1*x2项。

 

 

其中

F检验     Prob. F() = 0.1867 > 0.05 ，总体不显著。(或者查F分布表可以发现F-statistic<临界值。)

White检验 Prob. Chi-squared = 0.173 >0.05 ，不存在异方差。（或者查卡方（2）分布表可以发现 Obs*R-squared <临界值）

（注：Obs即 Observations， 观测值， 即n； Chi-Squared 即卡方）

 

 

         （2）含交叉项：

即建立的et的回归方程中含x1^2 与 x2^2 项，还含x1, x2 , 和x1*x2项，共五项。

 

 

 

其中

F检验     Prob. F() = 0.0001 < 0.05 ，总体显著。(或者查F分布表可以发现F-statistic<临界值。)

White检验 Prob. Chi-squared = 0.0021 <0.05 ，存在异方差。（或者查卡方（2）分布表可以发现 Obs*R-squared <临界值。各变量Prob(t)也较小，说明各系数显著不为零，也说明存在异方差。

 

【在网上查了一下，对于多元模型要选有交叉项的，而且有无交叉项差别很大，比如此处无交叉项的White检验认为不存在异方差性，而有交叉项存在显著的异方差。而且老师的课件里也是直接给出含交叉项的White模型，因此无视上面无交叉项的结果吧。】

 

Glejser (Park) Test:

 

         Glejser检验思想：构建|et|对于xt的回归模型，如果他们之间存在某种显著的函数关系，则说明异方差性存在；否则不存在。具体步骤：|et|分别对每个解释变量做回归方程，如果模型参数显著不为零，则存在异方差，否则不存在异方差。

 

步骤：View->Residual Test -> Heteroskedasticity Test -> 对话框选 Glejser

（另一种方法： 在命令栏中输入genre e=abs(resid)，生成残差绝对值数列。然后在命令栏中输入要建立的回归模型。如 ls e c lncapital^(-1) ）

 

注意，此处的Regressors默认为三个： c lnlabor lncapital ，应该自己做出修改。

 

（1）C LnLabor                                 （2） C LnCapial

 

（3）C LnLabor^(1/2)                            （4）C LnCapital^(1/2)

 

（5）C LnLabor^(-1)                            （6）C LnCapital^(-1)

 

（7）(Park)  e^2 c LnLabor                    （8）(Park)   e^2 c LnCapital

 

 

1、各式中是coefficient的 Prob(t)都较小，说明显著不为零。其中，C LnLabor^(-1) 和C LnCapital^(-1)中系数值都较大，且显著不为零。F检验效果比较好，方程整体显著，变量的t检验效果也较好，每个变量也显著。说明存在异方差。

2、各拟合方程的R2都很小，拟合效果不好。找不到合适的形式拟合abs(resid)。

 

【可以看到Glejser检验必须先验地知道拟合形式，换句话说就是得先蒙一个。但是我们蒙了八个拟合都很差。而寻找到拟合优度较好的回归形式对后面的异方差消除很重要。这算是Glejser的一大劣势吧。】

 

 

异方差的消除：
        

 

【网上对于异方差的消除多数是讲一元的。方法多是直接以1/x为权重，这种方法实质上就是假设x是e的一个线性函数。但上面的Glejser检验已经看出对本数据这种拟合很差，做完后也无法通过WhiteTest。另一种方法是直接以1/abs(e)做权重。试想每个残差项除以自己的绝对值，这样加权后的残差项实际上就是正负1序列，自然没有异方差。但是我在尝试这个方法的时候发现不能再做WhiteTest了。可能是程序问题？尚未解决】

 

 

由于Glejser检验的各种猜想形式拟合效果均较差，找不到适合形式的abs(resid)估计形式。但我们发现White检验中

Resid^2 =67.6841+21.5177*lnlabor+0.8083lnlabor^2-2.7980*lnlabor*lncapital

-26.9568*lncapital+2.0729*lncapital^2

拟合较好。(R2=0.6245)可以尝试将其作为权重消除异方差。

 

         方法：在Estimate->Option中勾选加权，以怀特检验拟合式的倒数开根号作为权重。加权后重新得到的回归方程：

 

         再次进行异方差检验，发现其可以通过a=0.05的怀特检验。

 

 

 

由泰勒公式，任意函数可以以多项式进行无限趋近拟合。尝试以三阶泰勒展开式拟合Resid^2。【QG想到的…竟然因为这次作业重新理解了泰勒公式。QGV5】

         Genr e2=resid^2

         Ls e2 c lnlabor lnlabor^2 lnlabor^3 lncapital  lncapital^2 lncapital^3  (lnlabor^2)*lncapital lnlabor*(lncapital^2)  lncapital*lnlabor

         得到对e2的拟合式：

 

         E2 = 25.040515698 + 11.35865701*LNLABOR + 57.3525726263*LNLABOR^2 + 11.3367180425*LNLABOR^3 - 9.19430138414*LNCAPITAL + 35.0208068448*LNCAPITAL^2 - 8.32782585494*LNCAPITAL^3 - 31.4073290231*(LNLABOR^2)*LNCAPITAL + 28.3024549379*LNLABOR*(LNCAPITAL^2) - 90.1192735142*LNCAPITAL*LNLABOR

 

         Genr wg=25.040515698 + 11.35865701*LNLABOR + 57.3525726263*LNLABOR^2 + 11.3367180425*LNLABOR^3 - 9.19430138414*LNCAPITAL + 35.0208068448*LNCAPITAL^2 - 8.32782585494*LNCAPITAL^3 - 31.4073290231*(LNLABOR^2)*LNCAPITAL + 28.3024549379*LNLABOR*(LNCAPITAL^2) - 90.1192735142*LNCAPITAL*LNLABOR

 

         Equation -> Estimate -> Option 勾选WLS。权重为1/(wg^2)^(1/4) （平方再四次方是因为拟合值里存在负值） 再次进行White检验：

 

 

         可以看到此时Prob. Chi-Square(6) = 0.8299， 各变量系数不显著，方程整体不显著。证明此时非常有效得消除了异方差。

 

【不过做这样一个三阶泰勒要耗掉10个自由度，代价还是很大的。不过总样本数30个，虽然不算多，不过也还过得去。】