小升初分班考试：找规律（二）

--定义新运算  

从这里开始 

定义新运算是用某些特殊的符号表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的※，〇，△……与+、-、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的+、-、×、÷运算问题。

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

          ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

方法与例题

例1 如是规定a△b=a+b,其中a、b是自然数，那么5△6＝？

【赵老师解读】根据a△b=a+b，知道用a+b的方法可以算出a△b的结果。

解：依题意有5△6=5+6=11

所以5△6＝5+6=11。

例2 如果3*2=3+33=36；2*3=2+22+222=246；1*4=1+11+111+1111=1234.则4*5的值为多少？

【赵老师解读】认真观察这题的前三个例子，寻找规律，根据这个规律，找出新运算“*”的定义，“*”前面的数表示相加时所用的数字，“*”后面的数是几就表示相加的数从一位数到几位数。

解：依题意有4*5=4+44+444+4444+44444=49380。

例3  羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊，羊△狼＝狼，狼△羊＝狼，狼△狼＝狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊＝羊，羊☆狼＝羊，狼☆羊＝羊，狼☆狼＝狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走了而只剩下羊了，对羊或狼，可以用上面规定的运算混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。判断羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）的结果。

【赵老师解读】读懂题目是关键。

解：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼），我们可以先算括号里的（狼☆羊）＝羊，（狼△狼）=狼，得到了羊△羊☆羊△狼，然后按照从左到右的顺序计算，羊△羊=羊，接下来是羊☆羊=羊，下一步是羊△狼=狼，可以知道结果是狼。

例4 规定□的运算法则如下，对于任何整数a，b，有（1）当a+b≥10时，a□b=2×a+b-1   （2）当a+b<10时，a□b=2×a×b 求(1□2)+（2□3）+（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7）的值

【赵老师解读】这道题实际上定义了两种运算，必须根据a、b两数的和的大小，来确定对它们施行哪种新运算。1□2、2□3、3□4、4□5这几个中，a、b的和都会小于10，运用（2）中的新运算，即a□b=2×a×b；而5□6、6□7这两个中，a、b的和大于10，运用（1）中的新运算，即a□b=2×a+b-1

 所以，(1□2)+（2□3）+（3□4）+（4□5）+（5□6）+（6□7） =2×1×2+2×2×3+2×3×4+2×4×5+（2×5+6-1）+（2×6+7-1） =4+12+24+40+15+22=117 

例5  有一个数字符号“※”使下列算式成立：6※2=12，4※3=13，3※4=15，5※1=8，按此规律计算：8※4的值

  【赵老师解读】仔细观察和分析这几个算式，可以发现：6※2=12=6+2×3，4※3=13=4+3×3，3※4=15=3+4×3，5※1=8=5+1×3，即符号※前面的数加上符号※后面数的三倍，a※b=a+3b。所以 8※4=8+4×3=20

我们来挑战一下吧

1．规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。

2．定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如：4△ 6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。根据上面定义的运算， 18△12等于几？
　　

3．两个整数a和b，a除以b的余数记为a△b。例如，13 △5=3。根据这样定义的运算，(26 △9) △4等于几？

4．规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆ 5=3。请计算下式： [(70 ☆3)△5]×[ 5 ☆(3△7)]。

5．如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？

6.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。试确定常数A，并计算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。

提高到尖子生

1.定义两种运算“※”和“△”如下： a※b表示a，b两数中较小的数的3倍， a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。

计算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]

2.定义： a△b=ab-3b，a b=4a-b/a。计算：（4△3）△（2 b）。

3 有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A•B，输入1后，经过A•B，输出3。
　　(1)输入9，经过A•B•C•D，输出几？
　　(2)经过B•D•A•C，输出的是100，输入的是几？
　　(3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？

4.已知： 2 3=2×3×4，4 5=4×5×6×7×8，……求（4 4）÷（3 3）的值。

5.对任意的数a，b，定义：f（a）=2a+1， g（b）=b×b。

（1）求f（5）-g（3）的值；　　（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；

（3）已知f（x+1）=21，求x的值。