教学环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计意图

温故而知新

1’

上节课我们接触了一个新的什么概念？（如1, 3, 5, 7…或1, 0, 1, 0, …）

    除了学习了数列这个概念，还学习了什么？数列的表示方法：图像法，通项公式，列表。

教师提问

学生思考、回顾旧知识

让学生巩固数列的概念及其部分表示方法，给下面的教学作基础知识

创设情境

学习了一段时间，我们来玩个游戏放松一下吧！

你们有没有玩过汉诺塔啊？

在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石柱。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根柱上从下到上地穿好了由大到小的６４片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根柱上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根柱上移到另外一根柱上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

生动形象地讲明故事的背景

引起学生的注意力和兴趣

动手操作

一起玩

探究

汉诺塔的秘密

那么，你们知道要搬64片金片，至少要搬几次呢？

对于这么复杂的问题，我们尝试先从少的金片入手，看看能不能得到什么规律吧。

（拿出汉诺塔玩具）

我们先看一块金片，很显然，至少几次呢？（1次）

两块呢？哪位同学愿意上来玩一下？在玩的过程中，其他同学帮忙数出他搬了多少次。请学生示范。（3次）

三块呢？请学生示范。（7次）

（一边玩，一边把次数板书在黑板上）

好，我们再一起来看看搬动三块金片的过程吧！（电脑演示）

请大家数出来。

男生数最大那块金片移动的次数，女生数其他金片移动的次数。

我们一起来回忆刚刚搬动的过程

分析搬动的过程：

我们玩三块金片的时候，最终目标是什么？（把金片从大到小，从下面叠上来）

那么要把最大那快搬到第三根柱子的话，要先？（把上面两块小的先搬走）

好，假设我们已经搬走这两块小的，然后呢？（把最大那块搬到第三根柱子上）

搬完最大那块，最后怎么办？（把剩下的两块搬到第三根柱上）

好，从宏观上看，我们这里分了几个步骤？（三个）

哪三个？

1、  先搬走上面两块小的

2、  再搬最大那块到第三根柱子

3、  搬两块小的到第三根柱子

那么搬两块小的至少要搬多少次啊？我们可以回忆一下我们搬动只有两块的汉诺塔时，某某同学用了多少次？（3次）

好，所以这个7=3+1+3

我们来试试，如果有两块汉诺塔，至少搬动几次？3=1+1+1

你们猜一下如果有四块汉诺塔，至少搬动几次？谁能猜出来？（7+1+7=15）

看看电脑里的演示。对了！真的是15次哦！为什么呢？

我们来看看，

3（两块金片时至少搬动的次数）=1（一块金片时至少搬动的次数）+1+1（一块金片时至少搬动的次数）

7（三块金片时至少搬动的次数）=3（两块金片时至少搬动的次数）+1+3（两块金片时至少搬动的次数）

15（四块金片时至少搬动的次数）=7（三块金片时至少搬动的次数）+1+7（三块金片时至少搬动的次数）

我们如果一直这样子写也太吃力了，我们可以用生活中的问题数学化，这里每n块金片需要搬动的最少的次数记为 。那么我们得到什么？

这条式子的意思是什么呢？就是要求 ，我们可以通过 递推得到是吗？也就是说已知 我们就知道 ，从而可以知道 ，那么整个数列我们都能知道了，像这种公式叫做递推公式。

给出定义：

递推公式：如果已知数列{ }的第一项（或前k项），且任一项与它的前一项 （或前k项）间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

注意：递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．

这里的 随着 的变化而变化，我们把一个变量随着另一个变量的变化而变化的映射成为什么？（函数）

这样的递推公式我们就可以看作是 关于 的函数 = 我们看作是

这里要求 ，先求 ，那么要知道 ，又要求 ，就反复调用了这个函数，这个过程叫做递归过程。

递归（Recursion）过程，指一个函数在运算过程中，直接或间接调用自己本身的过程。

那么我们看看要求64块金片时，可以怎么求啊？

假如一秒搬一次，那么搬64块金片都要用60*60*24*365秒，也就是5800亿年！

你只要懂得这种思想，不管数列的关系式怎么样，你都能解决这类问题，这就是数学的以不变应万变的神奇之处啦！

教师通过提问引导学生思考探究

学生玩汉诺塔，其他同学帮忙数金块一共移了多少次

传达化归思想（考虑复杂问题时从简单的入手）

通过提问引导学生自主思考、探究

从游戏中看数学问题，激发学生的兴趣

引导学生自主思考、探究

探究典型的递推数列问题，从故事中走进数学的知识中，让学生自己推导会让他们更感兴趣，且更信服，切切实实地感受递归的过程

（突出重点）

培养观察、归纳的能力。

通过数量的分析，能更使学生感受递推数列的本质思想是递归思想（突出重点、突破难点）

让学生认识到生活的问题数学化，数学问题可利用符号解决。

得到递推公式。（突出重点、突破难点）

通过玩汉诺塔的过程，求解的时候，感受递归的思想，顺其自然地给出递归定义。（突出重点）

强化递归思想

点出数学以不变应万变的神奇

牛刀小试

1、写出下列各数列的前五项

（1）

（2）

（3）

2、求出A的值

看看你的递归思想培养了点没？

学生独立完成，完成后，每题都请学生回答

课堂练习由浅入深巩固新知

（1）便于下节引出等差数列

（2）以后要求此递推公式的通项公式

（3）周期递推（非常能体现递归的思想）

此题为递归的程序，让学生再次感受递归的意义

画龙点睛

今天，我们学习了什么？

1、一个概念：递推公式

2、一种思想：递归思想

3、数学以稳定的模式驾驭流动的世界！

作业布置

必做题：

课本P39  B组 3

已知数列{ }的第一项是1，第二项是2，以后各项由 给出.

（1）       请写出这个数列的前五项

（2）       利用上面的{ }，通过公式 构造一个新的数列{ }，试写出数列{ }的前五项.

选做题：

课本P39 写出斐波那契数列的递推公式（见课本）

必做题为本课的知识技能目标的练习，比较简单，给全班学生完成

选做题让学生再次更深入的感受递归思想，涉及到递归算法，给感兴趣和学有余力的学生完成，拓展知识