二元二次方程分解成两个直线方程_hi百思达数学

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二元二次方程分解成两个直线方程

(2014-11-23 17:04:04)

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分类：百思达数学

题目若x^2+2xy+ky^2-3x-5y+2=0可分解成两个直线方程的乘积，求k的值。（k=-3）

http://s15/mw690/0021q7uTgy6QaD261Yi2e&690

二元二次方程：ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0。

（1）交点唯一法：分解成两条直线，则其交点唯一，即解唯一。

设（m,n）是两条直线的交点，则am^2+bmn+cn^2+dm+en+f=0。

以m为主元，转换成关于m的方程：am^2+(bn+d)m+(cn^2+en+f)=0。有唯一解，则

△1=(bn+d)^2-4a(cn^2+en+f)=0。

整理成关于y的一元二次方程：

(b^2-4ac)n^2+2(bd-2ae)n+(d^2-4af)=0。

该方程有唯一解，则

△2=4(bd-2ae)^2-4(b^2-4ac)(d^2-4af)

=16a[ae^2+cd^2+f(b^2-4ac)-bde]=0。

由此可得二元二次方程可分解的系数关系为：

ae^2+cd^2+f(b^2-4ac)=bde。

行列式法（I3=0，ae^2+cd^2+fb^2=4acf+bde的结果。

（2）待定系数法

设方程可分解为(lx+my+n)(ux+vy+w)，比较系数可得方程组：

lu=a①；lv+um=b②；mv=c③；lw+nu=d④；mw+vn=e⑤；nw=f⑥.

解之可得待定系数。

（3）完全平方法

以其中一元为主元后，其判别式应为完全平方式，判别式中的二级判别式应为零。得结果同（1）。

（4）特值求点法

可以令x或y取特殊值，比如y=0，求得x1、x2，代入原方程求得对应的y1，y2.则(x1y2+x2y1)/(y1+y2)、y1y2/(y1+y2)为交点的坐标。交点唯一，y0唯一解，确定相应的参数。

例如：令y=0，得x^2-3x+2=0,x1=1,x2=2.代入原方程，y（ky-3）=0，y1=3/k；y（ky-1）=0，y1=1/k.

x1y1：x2y2=3:1，得x0=7/4，代入得ky^2-3/2y-3/16=0,△=9/4+3/4k=0，k=-3.

或者得y0=y1*y2/(y1+y2)=3/(4k),代入原方程，16kx^2+24(1-2k)x+(32k-51)=0,△=0得4k^2+15k+9=0,k=-3,-3/4(舍去)。

（5）双十字相乘法：

还可以十字相乘+待定系数。如上，（x+my-1)(x+ny-2)=0,比较系数得m+n=2,-2m-n=-5,解得m=3,n=-1.

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