五因子模型直接捕捉了规模，价值，盈利能力，以及投资在平均股票回报方面强于三因子的回报率。五因子模型的主要问题是他没有捕捉到小市值股票（投资很多带式低盈利能力的小市值）的低回报率。模型表现对因子的组成方式并不敏感。再有了盈利能力以及投资之后，法玛三因子中的价值因子在描述样本平均回报率方面变得冗余。

  有很多证据证明平均的股票收益率与公司账面/市值（B/M）比率相关。也有证据表明盈利能力以及投资对B/M所创造的组合平均收益率的描述有提升。我们可以使用现金流贴现模型解释为什么这些变量是与组合平均回报率有关系。模型认为股票的市值是由公司的未来现金流贴现定价的：

  在这个公式里，mt是股票在t时刻的价格，E（dt+T）是在未来t-T时间段的股利分红，r是（大致的）长期平均股票预期回报率（或者更准确一些，是预期分红的内部收益率）。

  公式认为在t时刻，两家公司拥有相同的预期分红回报率带式不同的价格，那么有更低价格的股票会拥有更高的（长期）预期回报率。如果定价是理性的，那么低价格公司的未来分红就一定会有更高的风险。但是，从公式得到的这个对未来判断的预测也是关于市场到底理性还是非理性的问题。

  通过一点调整，我们可以把公式中的预期回报率，预期概率，预期投资以及B/M的隐含意义提取出来。Miler以及Modigliani1961年的研究发现在t时刻，全市场的价值隐含在如下的定价公式中。

   

  公式2中的Yt+T是在t-T时期内的总权益利润。dBt+T=Bt+T-Bt+T-1是总账面权益的变化率。处以t时刻的账面价值得到：

  公式3对预期股价收益率有三个推论。第一是如果只让股票价格（Mt）与预期收益率（r）可变，那么更低的股价（更高的B/M比值）意味着更高的预期收益率。第二如果只让未来利润以及预期回报率可变，那么更高的预期利润意味着更高的预期收益率。第三，如果B，M，预期盈利固定，更高的账面权益的增长（投资）则意味着更低的预期回报率。换句话说，B/M是一个更有噪音的未来收益率的隐含变量而且会被未来的盈利以及投资预期变动影响。

  第三条结关于预期盈利以及投资的隐含关系已经被学界发现。Novy-2012年发现了预期盈利能力这个代理变量和平均回报率高度相关联。Aharoni，Grundy以及Zeng在2013年记录了相对微弱但是统计上可靠的关于投资与平均收益率的关系(See also Haugen and Baker 1996, Cohen, Gompers, and Vuolteenaho 2002, Fairfield, Whisenant, and Yohn 2003, Titman, Wei, and Xie 2004, and Fama and French 2006, 2008.) 现有的证据也隐含关于盈利能力以及投资的收益率的变化也不能被法玛三因子模型的市值，规模以及账面价值因子所解释。
 

  我们分两步测试五因子模型。我们现构造由规模，B/M，盈利能力与投资因子的投资组合。正如1993年的三因子模型那样我们构造更为精细的因子排序。我们研究五因子模型是否比三因子模型更加善于解释显而易见的异象。我们也检验是否模型的失效与之前多重分类的共有问题有关，换句话说，是否不同异象都出现的资产定价问题是同一个现象。

  我们在第一章节讨论五因子模型。第二章节检验模型的回报率规律。因子不同情景下的定义，统计总结在第三与第四章节。第五章节展示资产定价检验的汇总。第五章节的一个结论是：由规模，B/M，盈利能力以及投资组成的五因子投资组合可以提供一个对法玛三因子更好的平均回报比的描述。另一个结论是我们检验的资产定价模型并不对因子是如何组成的敏感，至少对我们的定义如此。另一个结论我们要提醒读者的事，加入了盈利以及投资因子后的三因子模型，其中的价值因子（HML）似乎在解释回报率时变得冗余。第六章节确认了大的平均HML因子被其它四因子，尤其是盈利以及投资因子的暴露所吸收。第七章节提供了定价的细节，尤其是截距与个因子的回归系数。其中一个有趣的结论是投资组合分类排序问题可能是一个原因导致的，就是喜欢投资但是不盈利的小市值股票的低回报率问题。与我们最相似的论文是Hou，Xue， and Zhang（2012）的文章。我们在第八章对比我们之前的工作来讨论他们的工作。

  法玛三因子模型（1993）是为了捕捉市值（股票价格乘以股票数量）与平均收益率，B/M与平均收益率之间的关系。在1993年是，这两个解释平均收益率的著名的关系并没有被1964年Sharpe的CAPM模型与1965年的Lintner模型解释。

  解释三因子模型的核心在于时间序列的回归。

  在这个公式中，Rit是投资组合i在t时刻的回报率。Rft是无风险利率。Rmt是市值权重的市场组合回报率，SMB是分散的组合中的小市值回报率减去分散组合中的大市值的回报率。HML是分散的组合中的高B/M公司（高账面价值）回报率减去分散组合中的低B/M公司的回报率。e是正太的残值项。对待公式4的参数应当认为是真实参数而非估计参数。如果组合被b，s，与h因子被捕捉到所有预期回报率的变动，那么截距项a应该为0。

  Novy-Marx（2012），Tieman, Wei, and Xie（2004）以及其他人指出三因子模型在解释投资组合收益回报率不完整的模型，因为这三个因素并没有考虑到收益率以及投资。在这些证据及估值公式3的驱动下，我们增加了盈利能力以及投资因子在三因子模型上。

  这个等式中，RMW是分散的组合中的强盈利能力股票的回报率减去分散组合中的弱盈利能力股票的回报率。CMA是分散的组合中的低投资股票（保守）回报率减去分散组合中的高投资（激进）股票的回报率。对五因子的暴露为系数b，s，h，r以及c。如果捕捉到所有的收益变化的话，那么公式5中的截距项a则应该为0。

  我们认为可能有两个关于0截距假设的解释。第一个是Huberman and Kandel (1987)首先提出的均值方差有效边界组合解释（包括市场组合，无风险资产，SMB，HML，RMW以及CMA所有资产）。更雄心勃勃的解释是把公式5作为Merton（1973）年的四个未特别说明的变量所导致的没有被市场因子吸收的风险补偿。在这个观点下，Size，B/M，OP以及Inv因子不能成为陈述变量，以及SMB，HML，RMW以及CMA不为陈述变量。而在法玛96年的论文思路里，因子是分散化的组合对不同未知状态的总和。与市场组合以及无风险资产一起，因子组合囊括相关的多因子有效组合。在这个情况下，估值公式3认为因子可以运足我们在为辨认出到底是什么变量的情况下捕获它们。

  我们的经验检测检验是否五因子模型以及模型所包括的因子，可以解释有Size，BM，盈利能力以及投资因子所组成的投资组合回报率。首先第一步是检验Size，BM，盈利因子，投资在平均回报中的规律。

  表1面板A是25个市值加权，5个Size与5个BM因子独立全排序的超额月度收益率（超过一月期美国联邦债券利率的回报率）（我们称做5*5 Size-BM排序，或者小size与大size，与小市值大市值的分位回报率）。Size与BM因子分为点只用NYSE的股票，但是样本包括NYSE，Amex以及NASDAQ股票以及CRSP与Compustat的10与11代码下的数据。时间周期是1963年7月到2013年12月。法玛用这些组合评估法玛三因子模型并且我们在表1中也用了同样的数据外加21年的新数据。

  在表1面板A的BM列中，平均回报率一般是按照从小市值到大市值依次降低。第一列（低BM极端成长股票），是唯一的特例，并且引人注目的是最小的小盘股的低平均回报率。对于其他的在最低BM列中的4个组合，Size和平均收益率并没有特别明显的关系。

  BM与平均收益率的关系（账面价值效应），在表1中比较一致。在每个Size的行中，平均回报率随着BM增长而增长。而且众所周知，价值效应在小股票中更强。比如，第一行的微型股票中，每月超额收益率从低BM的0.26%增长到了高BM（极端价账面值股）的1.15%。作为对比，最大的股票平均超额收益只是从0.46%增长到了0.62%。

  表1面板B展示25市值加权Size与盈利因子独立排序的组合回报率。5*5的排列和面板A几乎一样，只是BM换成了profitability。投资组合是6月开始，盈利因子是每年的企业利润减去产品生产成本，利息，SG&A成本，然后再除以前一年总账面价值。我们称这个为营运利润变量，OP。但是这个OP岩礁区利息。在我们的分类中，OP只用NYSE公司。

  表1中25 Size-OP组合与Size-BM因子相似。在OP不变情况下，Size增加平均收益率下降。在OP的中间的分位区间中，这一规律是单调的，但是极端低与高OP分为区间，Size几乎完全是因为大市值公司的低回报率而被拖后。

  Novy-Marx（2012）发现了盈利因子，其他的因子在表1的面板B中有证据。对于所有的Size分位区间，极端的高OP与更高的平均收益率。在每头四个Size分位区间中，中间的三个组合有相似的回报率，而最高的OP与最低的OP也对应高与低极端的回报率。在最大的size区间，平均回报率随着OP的增长温柔地增长。

  表1中的面板C是25 Size-Inv组合的超额收益，和面板A相似。是同资产增长率除以同资产的因子。我们试过很多权益的增长的检测。总账面权益资产的检测和别的的检测的最大区别是资产增长因子产出更大的平均回报率差额。也许之后的总资产增长率是未来账面价值的折线的更好的代理变量而不是账面资产的增长率。

  在每个Size区间，组合的平均增长率在最低投资区间比最高投资区间要高。到那时在睢县的size区间，几乎是因为最高Inv的平均回报率太低而导致size因素区别不太了。在最低的Inv四组中，均存在size的分层，也就是越小的市值股票反而越大的回报率。在最高的Inv区间，反而没有size层层，并且微型股票有最低的平均回报率，为0.35%每月。五因子回归表明在这一区间中的股票与小盘股低BM区间相似。具体地说，很大的负RMW因子以及CMA因子系数意味着他们的股票回报率与投资多但回报低的公司相似。这些低回报率组合对五因子模型来说是致命的。

  公式3预测，在控制盈利因子与投资因子时，BM与平均回报率正向相关。而且有相似的条件平均回报率与盈利与投资相关。估值公式不预测BM，OP以及Inv效应在未正确控制的情况下与回报率有关联。而且，法玛1993年指出变量之间是相关的。高BM价值股去趋向有低的盈利与投资而低BM的成长股，尤其是大的低BM股，趋向于大量盈利并且激进投资。因为这些特征是相关联的，Size-BM，Size-OP与Size-Inv组合在表1并没有在平均回报率上独立出价值，盈利以及投资效应。

  为了揭开平均回报率的纬度问题，我们决定按Size，BM，OP以及Inv来排列，甚至3*3*3*3排列。但是产出的81个并不分散化的组合并没有在资产定价模型里有好的检验能力。我们所以就只能用Size，以及其他的两个变量来排序。我们分两组Size（大与小），使用NYSE的中位数作为区分点，并且使用NYSE的分为点为另外两个因子排序。所以我们可以得到2*4*4=32组组合，但是特征之间的相关性导致了一个不平均的股票分配。比如说， BM与OP因子是负相关的，尤其对于大公司，所以组合的股票高BM与高OP并不能很高的分散化。事实上，当我们对Size，BM以及OP独立排列时大公司在高BM以及OP的区间在1974年之前总是空的。为了让股票更加均分分布在2*4*4的排序中，我们使用另外的NYSE区间点来区分大/小公司在BM，OP以及Inv因子的组合。

  表2表示对于32 Size-BM-OP组合的平均超额收益率，32 Size-BM-Inv以及32 Size-OP-Inv组合的收益率。对于小股票，在平均收益中存在很强的价值，盈利以及投资效应。控制OP与Inv因子，小公司的平均回报率与BM因子增大而增大。更高的Inv与更低的平均收益率相关。虽然弱，但是平均回报率对于大公司来说是相似的。

  在检测五因子模型后，表2展示了致命的RMW与CMA系数的组合问题（表1的Size-BM与Size-Inv中讨论过）。在Size-BM-OP组合排序中，小公司在低BM与OP区间中有极低的月度超额回报率，0.03%每月。在附录中，我们记录了小市值公司组合和五因子RMW与CMA的负向关系（公司投资很多但是利润很低），即平均超额收益很低，但五因子却并不可以完全解释。在Size-OP-Inv组合中，小公司的组合在最低OP以及最高Inv区间有甚至更低的超额回报率，-0.09%每月。在这个案例下，五因子的系数简单确认了组合中的小市值公司投资多但利润低。

  投资组合在表1和表2中并没有分解在公式3中的价值，盈利以及投资效应。但是我们可以看到他们在平均收益率变化的暴露上可以看到对资产定价测试检验提供了足够的挑战。

  为了检验是否因子的构成方式对于资产定价模型的检验有影响，我们在表1和表2中使用了三种因子组成方式来检测。检测的方法在表3中有细节。这里我们给一个简单的总结。

  第一种因子的构成方法是补充了法码三因子，加上了用力因子以及投资因子。Size与value是使用独立排列，size分大小两种，BM分三种，所以是独立2*3排列。Size因子的分位点是NYSE的市值中位数，BM的分位点是30%和70%NYSE的BM分位点。所以两个因子的交叉创造了6个市值权重的组合。Size因子，SMB，是将三个最小的投资组合回报率减去三个最大的投资组合回报率。value因子HML是最大的两个高BM组合回报率的平均数减去最低的BM组合的平均数。同等情况下，这是大小价值公司的大小市值平均数组成的投资组合。

  盈利以及投资因子是2*3排序，RMW与CMA的构造也是和HML因子一样的方法，只是除了第二种排序是在OP因子（RMW）和Inv因子（CMA）上。类似HML因子，RMW与CMA因子可以被认为是大公司和小公司的平均盈利与投资因子。

 

  对RMW与CMA的2*3的排列产生了2个多出来的Size因子，SMBop与SMBinv。2*3排列而来的Size因子SMB是SMBbm，SMBop与SMBinv因子的平均。同样的，SMB是9种小市值投资组合（3个2*3组合出现的9个SMB组合）的平均数。

  在我们组成三因子模型是，我们并不考虑其他的SMB与HML的因子定义。但是Size与BM的2*3排列是有些武断。为了检测资产定价结果，我们建立了SMB，HML，RMW与CMA因子，和之前的2*3排序的逻辑是一样的。但是对于Size，BM，OP，Inv因子的2*2排序我们只是用了NYSE的中位数作为分位点。

  因为HML，RMW以及CMA的2*3（或者2*2）排列对待大小公司的投资组比例合分配是取平均值的，所以他们对于Size因子可能是中性的。但是因为HML是没有在控制OP，Inv因子下建立的，所以盈利与投资因子对于HML来说并不是中性的。这可能意味着平均的HML回报率是和BM，盈利以及投资的混合溢价。

  为了更好的对Size，BM，OP和Inv的溢价的平均回报做切割，最终的因子构成使用了4排序联合控制四因子，即我们按照NYSE中位数独立将Size分两组，BM分两组，OP分两组，Inv分两组。这些组合的搭配可以创造16个市值权重的投资组合。Size因子SMB是其中8个小市值组合减去8个大市值组合的平均收益率。value因子HML是8个高BM组合减去8个小BM组合的平均收益率。盈利因子，投资因子也同样是8个对应组合减去另8个组合的平均值。

  在2*2*2*2排序种， SMB等权重分配大/小BM，多/少盈利，多/少投资组合种。所以Size因子是对于value，盈利以及投资因子中性的，也就是Size因子是控制了其他三个变量的。同样，HML因子也是控制了Size，OP与Inv因子，所以也是中性的。但是，中性并不意味着因子回报率之间的低相关性。

  联合控制意味着2*2*2*2可能在BM，OP，Inv因子的回报率上更好的控制溢价，但是因子暴露对于我们的最终推论很重要。所以多元回归的系数衡量了边际效应，五因子的系数通过2*3与2*2排序得到可能分离了对value，RMW与CMA回报率的暴露，就像2*2*2*2一样有效。

  表4展示了对于因子回报率的统计总结。

  三种版本的平均SMB因子回报率从0.29%到0.30%每月。SMB的标准差相似，为2.87%-3.13%。相关性也非常接近为0.98，1.高度的县官以及相似的平均值与标准差并不让人惊讶，因为三种因子构成方法重的Size的分位点都是NYSE的中位数。平均的SMB、回报率在0的2.3个标准差之外。

  对于HML，RMW，CMA的统计是基于他们如何构建的。2*3与2*2排序是最容易比较的。在只用BM，OP与Inv做两分时，三个因子的标准差很低，因该是因为更好的分散化效果。在2*2排序上，HML，RMW以及CMA包括所有的股票，但是在2*3排序，因子没有使用BM。OP与Inv中间的40%。2*3更关注极端的三因子组合，所以产出更大的HML，RMW以及CMA回报率。比如，在2*3 Size-BM排序种平均HML回报率是0.37%每月，但在2*2中是0.28%。相似的结论也出现在RMW以及CMA因子的回报率中。但是对于平均的HML，RMW以及 CMA的回报率的t检验，2*3与2*2是相似的。这两种排序的因子相关性很高，HML为0.97，RMW为0.96，CMA为0.95.

  每个2*2与2*3的排序中因子都控制了Size与另一个变量。2*2*2*2排序控制了所有4个变量。联合控制对于HML影响很小。2*2*2*2排序与2*2和2*3的HML因子相关性非常强，为0.94与0.96。2*2与2*3的HML，都是用了NYSE的BM中位数，几乎有相同的均值以及标准差，而且都是0之外3.2个标准差。

  RMW与CMA的2*2*2*2与2*2与2*3排序的相关性低一些，为0.8与0.87，并且联合控制产出有趣的结论，是盈利的溢价是以投资的溢价为代价。2*2*2*2与2*2的RMW有相似的标准差，为1.49%与1.52%每月。但是2*2*2*2排序却有更大的平均数，0.25%每月（t值4.09）和0.17%每月（t值2.79）。CMA的标准差从2*2的1.48降低到控制四变量后的1.29，均值也从0.22%每月（t值3.72）下降到了0.14%（t值2.71）每月。因此，联合控制之后，投资的溢价有了可靠的证据，但是平均溢价比别的2*2*2*2因子溢价要低。

  Value，盈利与投资因子是小市值公司与大市值公司的因子平均数。因此，联合控制出现了小市值公司与大市值公司溢价的有趣的变化。2*3与2*2排序确认了价值溢价对于小公司更大。比如，在2*3 Size-BM排序中，平均的小市值HML回报率是0.53%每月（t值4.05），大市值为0.21%每月（t值1.69）。对于大市值公司来说，控制盈利和投资后价值溢价更强烈。平均的大市值公司HML在2*2与2*3排序是1.7个标准差不等于0，但是2*2*2*2是2.2个标准差不等于0。控制盈利与投资后同样可以减小小公司与大公司之间价值溢价的差额。HML小市值公司与HML大市值公司之间的价值溢价差别从2*2的0.24（t值3.05）下降到了2*2*2*2排序的0.16（t值1.91）。

  对于所有的因子构成方法，对于小市值公司可能有预期的盈利与投资溢价。平均的小市值公司的RMW与CMA至少是2.76个标准差不等于0。平均的盈利溢价对于小市值公司更大一些，但是更大的显著性下降了。在2*3排序中，小市值公司与大市值公司的RMW的平均差别是1.48个标准差不等于0。2*2与2*2*2*2排序的平均差别是1.1个标准差不等于0。

  作为对比，小市值公司有很强的预期投资溢价，平均的CMA为4.64-5.49个标准差不等于0。但是大市值公司的的CMA的平均值为1.03到2.00个标准差不等于0，这比小市值公司的标准差低2.2个标准差。2*2*2*2排序下对于大市值公司的CMA来说是0.07%每月（t值为1.03），所以几乎所有的CMA都是来自于小市值公司。

  表4的面板展示了每个隐私的相关性矩阵。有606个月的数据，相关系数的标准差只有0.04，并且几乎大多数都不等于0。value，盈利以及投资因子是和市场以及Size因子负相关的，因为小市值股票倾向于有更大的Beta，所以SMB是与超额市场收益正相关也是有道理的。由于企业的盈利与投资有正的相关性，所以可能令人诧异的是盈利因子与投资因子的相关性很低，为-0.19与0.15。

  value因子与盈利因子和投资因子的相关性值得评论，当HML与CMA是分别2*2与2*3排序的，因子的相关性是0.7。这也不令人差异的原因是高BM价值公司倾向于是低投资的公司。在2*2*2*2排序中，相关性跟是下降一半，为0.37。这也是并不惊奇的，因为这个排序让其他的因子效应都中性化了。

  HML与RMW的相关性令人吃惊。当两个因子是来自不同的Size-BM与Size-OP排序，他们的相关性接近于0，在2*2排序中为0.04，2*3为0.08。当联合控制Size，BM，OP与Inv因子，HML与RMW增长到了0.63。有一个简单的解释，是2*2*2*2排序的16个组合中，2个目前最高回报率的变量（小市值公司，低BM，利润低，高投资）在HML与RMW是被做空的。相似的，大市值公司有高的回报率方差是被做多的，而两个因子大市值组合并拥有第二高回报率方差都是被做空的。HML与RMW的高的相关性也因此是部分认为的，而且对于联合控制的因子来说是负的特征。

  三因子模型在Carhart（1997）手中补充了动量因子。另外在Pastor与Stambaugh（2003）手中增加了流动性因子。我们没有在模型里展示增加这两个因子的结果，而且这两个隐私的回归系数很接近于0，对模型也没有特别的改变。但是只是对于2014年法码的文章增加了动量因子后效果不一样，所以那个案例中动量因子是非常重要的。

  现在我们回到我们的主要问题上，测试这三种构成的因子如何解释表1与表2的回报率。我们考虑三种资产定价模型。1.三因素模型（包括Rm-Rf，SMB，HML，RMW或者CMA）；2.三个四因子模型（Rm-Rf，SMB，HML，RMW与CMA）；3.五因子模型。

 

  在七个模型中，6个是左边的组合，3个是右边的组合。限制模型的关注度是有必要的。为了判断盈利因子与投资因子带来的好处，我们使用原始的法玛三因子模型的统计结果与五因子模型以及四隐私模型做比较。我们的另类三因子模型只是Size，OP或者Inv的5*5排序，而且RMW或者CMA这第三个因子是左侧排序的变量。

  如果资产定价模型完全捕捉了预期收益，那么在回归模型的因子时截距项应该是0。表5给出了GRS检验。GRS检验很容易就拒绝了所有的左边的组合和右边的因子。结论是，GRS模型告诉我们我们的模型依然是对预期收益率不完全的解释。

  资产定价模型是化简版的预期收益被有效拒绝的检测。我们对有竞争性的模型被拒绝以及他们的表象不是那么感兴趣。我们想知道哪一个模型是解释投资组合平均收益率最好的（虽然没有完美）。

  我们对给三因子模型增加了盈利因子以及投资因子所带来的进步感兴趣。五因子模型比三因子模型在GRS检验中显示出更小的GRS统计两。表5是三因子的平均绝对截距项，A|a|，也比五因子的小。对于25个Size-BM投资组合，五因子模型产出最小的进步。对于25 Size-OP组合，模型进步最大（2.0-4.3bp）。25 Size-Inv组合（1.8-2.7bp），32 Size-BM-OP组合（1.8-2.3bp），32 Size-BM-Inv组合（3.8-4.7bp）。

  相对于三因子模型，最大的绝对截距项进步出现在无因子模型应用在32 Size-OP-Inv组合里。这并不让人奇怪，因为这些组合是建立在2个变量（OP，Inv）而这两个变量3因子模型并没有。结论暗示法玛三因子模型应用在强盈利能力以及投资因子的组合上表现很差。

  表5展示了两个未被相关模型解释的估计截面收益率的比率。

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....................................

  五因子模型从四因子模型那里增加了HML因子后完全没有提高（表5）。解释很有趣，HML因子的平均回报率已经被其他的因子暴露吸收。所以，在五因子模型中，HML用脑子是冗余的，至少在1963-2013的US数据中如是。

  证据在用四因子回归另一因子的表6中。在Rm-Rf的回归中，截距项（SMB，HML，RMW以及CMA未能解释的）大约是0.8%每月（t值4.7）。在家时SMB，RMW以及CMA的回归中，截距项是离0有三个标准差。但是在HML回归中，2*3排序的截距项-0.04%（t值-0.47），2*2排序是0.00%（t值0.01），2*2*2*2排序是0.02%（t值0.23）。

  依据Huberman与Kandel（1987）的思想，对于1963-2013年美国数据来说，HML并没有提高平均方差有效前沿切线组合（包括无风险资产，市场组合，SMB，RMW与CMA因子）的回报率。如果有人做1963年之前的美国数据或者国际数据，结论会很有意思。

  表6的回归截距很反直觉。比如，在HML回归中，大的平均HML收益率几乎都被RMW以及CMA的系数吸收。CMA系数是强为正，这与高BM价值公司不愿意投资的结论是一致的。但是RMW的系数也是强为正，这意味着控制其他变量，价值股和高利润股的表现相似。虽然必须，但价值股一般不是很盈利。另一个章节提供了更多的检验多元回归的系数不与但一变量特征一致的案例。

  我们之后检验了回归模型的一些细节。具体地说，截距以及相关的系数。为了简单，在HML冗余的情况下，我们删掉了五因子模型。虽然被其他因子吸收了，但价值溢价依然被很多投资者所追逐。因此，在评估投资表现是，我们可能想知道左侧组合在Size，BM，OP以及Inv因子上的暴露。但是我们同样也想染别的因子也有系数反映这个问题。至少在这个例子里，删除HML因子的四因子模型能够很好地捕捉五因子模型的回报率。

  对五因子模型稍微调整一下。定义HMLO（正交的HML因子）为用Rm-Rf，SMB，RMW，CMA回归HML的截距与系数之和。所以替代了五因子模型里的HML后，我们得到：

  公式6里的截距和五因子回归的结论一样，所以两个回归是等价的。但是估计HMLO的平均值为0，所以这个系数只有少许改变。其他因子的系数也和去掉HML因子的四因子模型一致，所以其他因子已经在系数中吸收了HML因子的溢价。

  不同版本的公式6的系数也同样有边际效应。和表5一样，三个版本的因子产出相同的结论。因此，我们保持专注在一个因子时回归细节可控。由于先例，我们选择2*3排序的三因子方法。

  我们展示了25 Size-BM，25 Size-OP以及25 Size-Inv以及32 Size-OP-Inv组合。32组合的结果在附录A中。对于五因子模型，我们经常从三因子的截距进行展示。

  回归的细节非常的长，总结是有帮助的。虽然被GRS检验拒绝了，五因子模型依然表现出众。未解释的平均回报率几乎为0，除了在排序中经常出现的一组组合。小市值公司的组合太小了并缺对RMW以及CMA有负向暴露。这就是投资了很多但是不赚钱的小市值公司。在每一个组合中，五因子系数是非常负的，以至于使用Bonferroni不均衡，我们可以很轻松拒绝整个25或者32组组合。

  表7的面板A展示了三因子模型的截距对25 Size-BM组合的回归。极端的成长股是三因子模型的一大问题。小市值极端成长股的三因子模型回报全都是负的，而大市值极端成长股是正的平均回报率。微型极端成长股是大问题。三因子模型对于这个组合回报率是-0.49%（t值-5.18）。巨构拒绝三因子模型可以解释25 Size-BM的回报率。

  五因子模型回归解决了这一问题。微型极端成长股回报率增长了20bp为-0.29（t值-3.31），而且其他四个极端成长股平均回报也缩到了接近0的水平。但是最于最小市值成长股股票回报为负以及最大市值成长股系数为正依然在五因子模型中出现。

  表7的面板B是五因子模型的HMLO与RMW，CMA的系数。market以及SMB系数没有显示。market系数接近1，SMB小知识公司的系数非常大且显著，而大市值公司的SMB系数稍微有些负。market以及SMB系数不同模型相似，所以不能依据他们解释加了因子后系数变化。我们只展示了HMLO，RMW，CMA的系数。

  五因子系数提供了关于有问题的小市值最低BM区间公司的信息。HMLO的系数是-0.43（t值-10.11），CMA系数-0.57（t值-12.27）和其他的极端成长股相似。但是组合里最负的是RMW系数，-0.58（t值-13.26）。RMW以及CMA系数指出投资组合主要被快速增长的未盈利公司所主导。组合的负的系数被RMW以及CMA因子吸收了40%三因子的截距（-0.49，t值-5.18），但是五因子模型依然有很多未解释的超额收益率存在（-0.29，t

值-3.31）。在小市值的负RMW与CMA系数上，也有很多超额收益率未被解释户。

  因为很多共同的解释收益率的故事在RMW，CMA以及一些HMLO的负系数上，一个有趣的问题是是否因子的系数与盈利能力，投资以及BM的特点相同。在表8中，统计总结告诉我们大多数还是可以解释的。统计系数基本上与回归特征一致。举例，HMLO系数对于25 Size-BM组合在表7面板B里有相同的规律，即与低BM增长股强负相关以及与高BM价值股强正相关。Size-BM组合并未按照投资因子组合，但是低BM增长股有强负系数CMA，而且高BM价值股有强正CMA系数，这与表8的低BM股票喜欢激进并投资与高BM股票投资保守的结论一致。但是，低BM增长股组合的盈利能力高与高BM价值股。但是对于RMW系数是相反的。

  并没有期望但因子特征与多因子特征系数一致（多因子特征系数是其他边际变量的不变情况下的边际效应）。另外，特征是由之后面熟的，因为定价要看未来，所以一个有趣的问题是是否RMW，CMA以及HMLO系数和未来数值而不是过去数值更相关。

  因为特征并不是经常与回归系数一致，我们需要在解释系数时十分小心。比如对于小市值股票在最低BM区间，我们可以说强负RMW系数以及CMA系数意味着组合包含有大量回报率“行为上像”利润低当增长快的公司。表8说明这些公司增长很快，但是他们在更大市值区间虽然比极端增长（低BM）股盈利能力稍差，但是他们比其他小市值公司组合更有盈利能力。

  表5的GRS检验以及其他检验认为五因子模型以及包括RMW的三因子模型为25 Size-profitability组合提供了相似的解释。五因子模型的截距并没有显示出特别的规律，而且几乎都比较接近于0。这与表5中的Size-OP的平均绝对截距比其他组合更小是一致的。最高的小市值组合产出最大的五因子截距概率，-0.15(t值-2.05)，但是和其他极端的截距比还是相对温和的。

  对25 Size-OP组合的检验告诉我们对于小市值以及大市值公司，低的利润率并不是五因子模型定价的问题。比如五因子截距对于微型组合在最低利润分为区间是-0.10%每月(t值-1.28)。这个组合有很强的对RMW因子的暴露（-0.67，t值-17.70），但对CMA有温和的暴露（-0.06，t值-1.42）。这雨Size-BM排序相悖（这个排序的问题是微型市值公司有极端的RMW与CMA的暴露）。简短来说，Size与OP构造的组合比Size-BM组合对于五因子来说问题更小因为Size-OP组合并没有将小市值公司的回报率与投资多但是低回报率的公司区分开。

  Size-OP对于三因子模型是有问题的。表9面板A说明在最低的OP区间，三因子产出了远小于0的负截距。低OP区间的微型股票，回报率是-0.30%每月（t值-3.25）。最高OP区间五个里面有四个是正的三因子回归的正截距（2个标准差之外）。结果认为三因子模型可能在解释大或者小盈利能力的公司时有问题。

  表5说明五因子模型比三因子模型在解决25 Size-Inv组合上更有优势。表10面板A说明三因子的最大问题是在最小的Size区间以及最大的Inv区间的截距是强负的。而用五因子模型回归后截距更接近0。这是五因子模型中的盈利以及投资因子的负系数导致的解释性提升。比如微型市值股票最高Inv区间是最极端的三因子回归截距（-0.48%，t=-7.19）。但是组合中RMW以及CMA的因子负系数是-0.19（t=-5.93）以及-0.31（t=8.78）。这个截距依然可以充分拒绝（Bonferroni不平衡检验）五因子模型完全解释25 Size-Inv组合。

 

  小市值高Inv区间给五因子模型带来的问题与小市值低BM区间的问题是相似的。都是因为对RMW以及CMA因子的大的负爆率，就像很多公司投资很多但是却并不盈利，但是他们的RMW以及CMA系数并不能充分解释低的平均回报率。

  在第二个排序变量是投资的情况下，CMA的实习对于Size-Inv组合显示出了低投资为正，高投资为负的规律。HMLO与RMW系数的关系也下降了，并且BM以及OP也下降了。表8说低Inv与高value因子相关，高投资与增长因子有关。在确认了这个规律后，表10里HMLO系数在最高Inv区间轻微为0偏负，是典型的增长股特征。但是最低Inv组合有低HMLO系数，这雨高BM的特征不一致。低投资公司普遍是不盈利，而且高投资公司反而盈利。低投资组合的RMW系数稍微为负确实证明了低利润。但是高Inv区间股票RMW系数也为负，并且盈利因子对于这些股票也不低。

  另外，没有原因预期多元回归系数和单元特征又之间关系。如果案特征而不是因子暴露来解释组合回报率，证据会暗示高投资公司是五因子的一个重要问题，尤其是五因子的截距对于高投资组合小市值票股是负的，而大市值公司高投资的截距为证。表7Size-BM组合证明了这个结论。

  另外，表8证明了最高Inv区间的年回报率是令人吃惊的，从大型市值公司的43%增长到微型公司的71%。似乎很多的公司通过股票来进行并购或者发行股票，这与低回报的特征相似。对于新发行股票，用工票收购以及高投资是未来一个有趣的研究。比如是否这三个解释不了的回报率的特征是独立的还是整体和投资相关联的？

  表11解释了Size，OP与Inv的2*4*4的32个组合的三因子与五因子回归的截距与系数。这些排序有趣的原因是这些股票的盈利以及投资特征是RMW以及CMA的系数是一致的。对于小市值以及大市值公司来说，高盈利公司的RMW系数为正并且低OP区间的系数为负；低投资区间的CMA为正且高投资的系数为负。这关于特征以及回归的系数体现了有问题股票的自然特征。

  表11中五因子模型最大的问题是低盈利以及高投资区间的小公司，截距是-0.47（t=-5.89），这很容易拒绝32 Size-OP-Inv组合的五因子模型。小市值低盈利公司不是五因子模型的问题。低OP区间另外的3个组合里的两个有正的截距并且一个是2.59个标准差不等于零。并且仍然有证明表明小市值公司高投资与五因子之间的问题。在最高Inv区间中的另外三个小组合有负的五因子截距，而且两个都是2个标准差之外不等于零。

  如果看大市值公司，那么五因子都没有问题。最低OP最高Inv区间的大市值公司是一个小的正截距，0.12%（t=1.37）。另外，最高Inv的四个投资组合回报率是以此递进，有问题的是高OP的，0.36%（t=4.36）。因子如果市场给多投资的小市值公司高估定价太多，那么大市值公司并没有这个问题。因此，资产定价问题的对于大市值公司来说是多投资的高盈利公司的高回报率问题。

  三因子模型检验的问题是32 Size-OP-Inv组合最严重。比如，大市值与小市值公司高OP低Inv的组合 都有非常强的正截距，但是五因子模型的这一问题被强RMW以及CMA系数吸收了。让五因子模型没通过检验的问题在三因子模型上更是严重，小市值公司低OP高Inv组合重的回报率是-0.87（t=-8.45），但是负的RMW以及CMA让这个超额回报率下降到了-0.47（t=-5.89）。Size-OP-Inv组合提供了最直接的三因子模型解释关于强盈利与投资的问题。

 平均回报率在Size，BM，Profitability以及投资方面有规律。GRS检验轻松的拒绝的五因子模型可以解释这些规律的问题。但是我们的模型可以解释71%-94%的关于Size，BM，OP以及Inv组合横截面变化的问题。

  通过评判回归截距，三种构成因子的方法（ a.关于Size，BM，OP与Inv的2*3排序；b. 2*2排序c.2*2*2*2排序联合控制Size，BM，OP以及Inv）提供了解释预期组合回报率的相似结论。

  

  因为这些结论，如果完全开始的话哪个版本的因子我们会选择呢？我们可嫩变好2*2低的Size-BM，Size-OP以及Size-Inv组合排序，因为这个排序中的HML，RMW以及CMA使用了所有的股票而2*3只包括了40%的股票，所以2*2更完全分散一些。但是在测试五因子模型中，有两个因子排序的组合和我们的组合相似，这让我们的选择看起来并不是很有序。

  

  2*2*2*2排序联合控制对于区分并估计因子溢价更有吸引力。但是由于多元回归系数测量边际效应，所以并不知道是否2*2*2*2联合控制能够更好的区分Size，BM，profitability以及investment滋阴的回报率变化。而且有趣最终因子的不确定问题导致了我们没有选择2*2*2*2排序。控制更多因子是有问题的。比如如果我们加入动量，五因子之间的相关性可能导致低的分散化。如果缩减了因子（比如去掉HML），可能需要重新构造因子因为控制不是用的特征是可能有问题的。

  最后，由于先例以及对因子的检验，我们选择了2*3排序法。

  如果为了化简，那么我们建议去掉HML因子因为他的回报率被Rm-Rf，SMB以及尤其是RMW与CMA捕捉了。因子，在唯一的问题是超额收益率时，我们的检验认为四因子模型和五因子模型是一样好的。但是如果有人仍然喜欢价值因子，也可以使用。但是对于HML冗余这个问题上，我们可以使用HMLO替代HML因子。

  我们其中一个有趣的结论是小市值公司有负的RMW以及CMA是最大的资产定价问题。负的CMA暴露的有问题的组合问题就是投资过多，但是5*5 Size-BM以及Size-Inv排序石头负的RMW暴露的，但这并不对应低的回报率。对于那些组合，我们认为他们的回报率可能和投资多但是利润低的公司表现相似。高的投资可能是主要问题。2*4*4 Size-OP-Inv组合不是很模糊。负的RMW与CMA系数对应的漂亮的低OP与高Inv因子，并且我们得到结论是小市值公司投资多但是不盈利是最重要的问题。有兴趣的人可以看我们2014年的一片关于五因子模型对于应收，股票发放以及波动率的检验。

  小公司投资多但是利润低的一个行为文学问题：大市值公司投资多但低回报率有不能解释的正收益。

  和我们文章最相似的是Hou，Xue and Zhang（2012）的文章。他们检验了四因子模型（Rm-Rf，SMB，RNW以及CMA因子，按2*3*3排序联合控制Size，Profitability以及investment）。他们并没有评论问什么不加入HML因子，而且他们只比较了四因子模型，CAPM，三因子模型，与Carhart动量四因子模型。他们的调查比我们的更谨慎，但是他们没有考虑其他的因子构造。更重要的是，他们主要关注解释和一向变量相关的回报率问题，而不是如何构造因子，以及单变量下的市值权重因子。非Size因子的市值权重但变量排序组合容易被大市值公司主导，而且我们过去研究结果是资产定价主要的问题都出在小公司上。