2. 已知X=0.a1a2a3a4a5a6（ai为0或1），讨论下列几种情况时ai各取何值。

（1）http://s1/middle/&690

（2）http://s1/middle/&690

（3）http://s1/middle/&690

解： （1）若要http://s1/middle/&690，只要a1=1，a2~a6不全为0即可。

（2）若要http://s1/middle/&690，只要a1~a3不全为0即可。

（3）若要http://s1/middle/&690，只要a1=0，a2可任取0或1；

当a2=0时，若a3=0，则必须a4=1，且a5、a6不全为0；

若a3=1，则a4~a6可任取0或1；

当a2=1时， a3~a6均取0。

 

3. 设x为整数，[x]_补=1，x1x2x3x4x5，若要求 x < -16，试问 x1~x5 应取何值？

解：若要x < -16，需 x1=0，x2~x5 任意。（注：负数绝对值大的补码码值反而小。）

 

4. 设机器数字长为8位（含1位符号位在内），写出对应下列各真值的原码、补码和反码。         -13/64，29/128，100，-87

解：真值与不同机器码对应关系如下：

真值	-13/64	29/128	100	-87
二进制	-0.001101	0.0011101	1100100	-1010111
原码	1.001 1010	0.001 1101	0110 0100	1101 0111
补码	1.1100110	0.001 1101	0110 0100	10101001
反码	1.1100101	0.001 1101	0110 0100	10101000

 

5. 已知[x]_补，求[x]_原和x。

[x1]_补=1.1100; [x2]_补=1.1001; [x3]_补=0.1110;  [x4]_补=1.0000;

[x5]_补=1,0101; [x6]_补=1,1100; [x7]_补=0,0111; [x8]_补=1,0000;

解：[x]_补与[x]_原、x的对应关系如下：

[x]补	1.1100	1.1001	0.1110	1.0000	1,0101	1,1100	0,0111	1,0000
[x]原	1.0100	1.0111	0.1110	无	1,1011	1,0100	0,0111	无
x	-0.0100	-0.0111	0.1110	-1	-1011	-100	0,0111	-10000

 

6. 设机器数字长为8位（含1位符号位在内），分整数和小数两种情况讨论真值x为何值时，[x]_补=[x]_原成立。

解：当x为小数时，若x³ 0，则  [x]_补=[x]_原成立；

若x < 0，当x= -1/2时，[x]_补=[x]_原=1.100 0000，则  [x]_补=[x]_原成立。

当x为整数时，若x³0，则  [x]_补=[x]_原成立；

若x< 0，当x= -64时，[x]_补=[x]_原=1,100 0000，则 [x]_补=[x]_原成立。

 

7. 设x为真值，x*为绝对值，说明[-x*]_补=[-x]_补能否成立。

解：当x为真值，x*为绝对值时，[-x*]_补=[-x]_补不能成立。原因如下：

（1）当x<0时，由于[-x*]_补是一个负值，而[-x]_补是一个正值，因此此时[-x*]_补=[-x]_补不成立；

（2）当x³0时，由于-x*=-x，因此此时 [-x*]_补=[-x]_补的结论成立。

 

8. 讨论若[x]_补>[y]_补，是否有x>y？

解：若[x]_补>[y]_补，不一定有x>y。 [x]补 > [y]补时 x > y的结论只在 x > 0且y > 0，及 x<0且y<0时成立。

由于正数补码的符号位为0，负数补码的符号位为1，当x>0、 y<0时，有x>y，但则[x]_补<[y]_补；同样，当x<0、 y >0时，有x < y，但[x]_补>[y]_补。

 

9. 当十六进制数9B和FF分别表示为原码、补码、反码、移码和无符号数时，所对应的十进制数各为多少（设机器数采用一位符号位）？

解：真值和机器数的对应关系如下：

9BH	原码	补码	反码	移码	无符号数
对应十进制数	-27	-101	-100	+27	155
FFH	原码	补码	反码	移码	无符号数
对应十进制数	-128	-1	-0	+128	256

 

10. 在整数定点机中，设机器数采用1位符号位，写出±0的原码、补码、反码和移码，得出什么结论？

解：0的机器数形式如下：（假定机器数共8位，含1位符号位在内）

真值	原码	补码	反码	移码
+0	0 000 0000	0 000 0000	0 000 0000	1 000 0000
-0	1 000 0000	0 000 0000	1 111 1111	1 000 0000

结论：0的原码和反码分别有+0和-0两种形式，补码和移码只有一种形式，且补码和移码数值位相同，符号位相反。

 

11. 已知机器数字长为4位（含1位符号位），写出整数定点机和小数定点机中原码、补码和反码的全部形式，并注明其对应的十进制真值。

整数定点机	小数定点机
原码	补码	反码	真值	原码	补码	反码	真值
0,000	0,000	0,000	+0	0.000	0.000	0.000	+0
0,001	0,001	0,001	1	0.001	0.001	0.001	0.125
0,010	0,010	0,010	2	0.010	0.010	0.010	0.250
0,011	0,011	0,011	3	0.011	0.011	0.011	0.375
0,100	0,100	0,100	4	0.100	0.100	0.100	0.500
0,101	0,101	0,101	5	0.101	0.101	0.101	0.625
0,110	0,110	0,110	6	0.110	0.110	0.110	0.750
0,111	0,111	0,111	7	0.111	0.111	0.111	0.875
1,000	0,000	1,111	-0	1.000	0.000	1.111	-0
1,001	1,111	1,110	-1	1.001	1.111	1.110	-0.125
1,010	1,110	1,101	-2	1.010	1.110	1.101	-0.250
1,011	1,101	1,100	-3	1.011	1.101	1.100	-0.375
1,100	1,100	1,011	-4	1.100	1.100	1.011	-0.500
1,101	1,011	1,010	-5	1.101	1.011	1.010	-0.625
1,110	1,010	1,001	-6	1.110	1.010	1.001	-0.750
1,111	1,001	1,000	-7	1.111	1.001	1.000	-0.875
无	1,000	无	-8	无	1.000	无	-1

 

12. 设浮点数格式为：阶码5位（含1位阶符），尾数11位（含1位数符）。写出51/128、-27/1024、7.375、-86.5所对应的机器数。要求如下：

（1）阶码和尾数均为原码。

（2）阶码和尾数均为补码。

（3）阶码为移码，尾数为补码。

解：据题意画出该浮点数的格式：

阶符1位

阶码4位

数符1位

尾数10位

将十进制数转换为二进制：x1= 51/128= 0.0110011B= 2^-1 * 0.110 011B

x2= -27/1024= -0.0000011011B = 2^-5*(-0.11011B）

x3=7.375=111.011B=2³*0.111011B

x4=-86.5=-1010110.1B=2⁷*(-0.10101101B)

则以上各数的浮点规格化数为：

（1）[x1]浮=1，0001；0.110 011 000 0

[x2]浮=1，0101；1.110 110 000 0

[x3]浮=0，0011；0.111 011 000 0

[x4]浮=0，0111；1.101 011 010 0

（2）[x1]浮=1，1111；0.110 011 000 0

[x2]浮=1，1011；1.001 010 000 0

[x3]浮=0，0011；0.111 011 000 0

[x4]浮=0，0111；1.010 100 110 0

（3）[x1]浮=0，1111；0.110 011 000 0

[x2]浮=0，1011；1.001 010 000 0

[x3]浮=1，0011；0.111 011 000 0

[x4]浮=1，0111；1.010 100 110 0

 

13. 浮点数格式同上题，当阶码基值分别取2和16时：

（1）说明2和16在浮点数中如何表示。

（2）基值不同对浮点数什么有影响？

（3）当阶码和尾数均用补码表示，且尾数采用规格化形式，给出两种情况下所能表示的最大正数和非零最小正数真值。

解：（1）阶码基值不论取何值，在浮点数中均为隐含表示，即：2和16不出现在浮点格式中，仅为人为的约定。

（2）当基值不同时，对数的表示范围和精度都有影响。即：在浮点格式不变的情况下，基越大，可表示的浮点数范围越大，但浮点数精度越低。

（3）r=2时，

最大正数的浮点格式为：0，1111；0.111 111 111 1

其真值为：N_+max=2¹⁵×(1-2^-10)

非零最小规格化正数浮点格式为：1，0000；0.100 000 000 0

其真值为：N_+min=2^-16×2^-1=2^-17

r=16时，

最大正数的浮点格式为：0，1111；0.1111 1111 11

其真值为：N_+max=16¹⁵×（1-2^-10）

非零最小规格化正数浮点格式为：1，0000；0.0001 0000 00

其真值为：N_+min=16^-16×16^-1=16^-17

 

14. 设浮点数字长为32位，欲表示±6万间的十进制数，在保证数的最大精度条件下，除阶符、数符各取1位外，阶码和尾数各取几位？按这样分配，该浮点数溢出的条件是什么？

解：若要保证数的最大精度，应取阶码的基值=2。

若要表示±6万间的十进制数，由于32768（2¹⁵）< 6万 <65536（2¹⁶），则：阶码除阶符外还应取5位（向上取2的幂）。

故：尾数位数=32-1-1-5=25位

25（32） 该浮点数格式如下：

阶符（1位）

阶码（5位）

数符（1位）

尾数（25位）

按此格式，该浮点数上溢的条件为：阶码³2⁵

 

15. 什么是机器零？若要求全0表示机器零，浮点数的阶码和尾数应采取什么机器数形式？

解：机器零指机器数所表示的零的形式，它与真值零的区别是：机器零在数轴上表示为“0”点及其附近的一段区域，即在计算机中小到机器数的精度达不到的数均视为“机器零”，而真零对应数轴上的一点（0点）。若要求用“全0”表示浮点机器零，则浮点数的阶码应用移码、尾数用补码表示（此时阶码为最小阶、尾数为零，而移码的最小码值正好为“0”，补码的零的形式也为“0”，拼起来正好为一串0的形式）。

 

16．设机器数字长为16位，写出下列各种情况下它能表示的数的范围。设机器数采用一位符号位，答案均用十进制表示。

（1）无符号数；

（2）原码表示的定点小数。

（3）补码表示的定点小数。

（4）补码表示的定点整数。

（5）原码表示的定点整数。

（6）浮点数的格式为：阶码6位（含1位阶符），尾数10位（含1位数符）。分别写出其正数和负数的表示范围。

（7）浮点数格式同（6），机器数采用补码规格化形式，分别写出其对应的正数和负数的真值范围。

解：（1）无符号整数：0 ~ 2¹⁶ - 1，即：0~ 65535；

无符号小数：0 ~ 1 - 2^-16 ，即：0 ~ 0.99998；

（2）原码定点小数：-1 + 2^-15~1 - 2^-15 ，即：-0.99997~0.99997

（3）补码定点小数：- 1~1 - 2^-15 ，即：-1~0.99997

（4）补码定点整数：-2¹⁵~2¹⁵ - 1 ，即：-32768~32767

（5）原码定点整数：-2¹⁵ + 1~2¹⁵ - 1，即：-32767~32767

（6）据题意画出该浮点数格式，当阶码和尾数均采用原码，非规格化数表示时：

最大负数= 1，11 111；1.000 000 001 ，即 -2^-9´2^-31

最小负数= 0，11 111；1.111 111 111，即 -（1-2^-9）´2³¹

则负数表示范围为：-（1-2^-9）´2³¹ —— -2^-9´2^-31

最大正数= 0，11 111；0.111 111 111，即 （1-2^-9）´2³¹

最小正数= 1，11 111；0.000 000 001，即 2^-9´2^-31

则正数表示范围为：2^-9´2^-31 ——（1-2^-9）´2³¹

（7）当机器数采用补码规格化形式时，若不考虑隐藏位，则

最大负数=1，00 000；1.011 111 111，即 -2^-1´2^-32

最小负数=0，11 111；1.000 000 000，即 -1´2³¹

则负数表示范围为：-1´2³¹ —— -2^-1´2^-32

最大正数=0，11 111；0.111 111 111，即 （1-2^-9）´2³¹

最小正数=1，00 000；0.100 000 000，即 2^-1´2^-32

则正数表示范围为：2^-1´2^-32 ——（1-2^-9）´2³¹

 

17. 设机器数字长为8位（包括一位符号位），对下列各机器数进行算术左移一位、两位，算术右移一位、两位，讨论结果是否正确。

[x1]_原=0.001 1010；[y1]_补=0.101 0100；[z1]_反=1.010 1111；

[x2]_原=1.110 1000；[y2]_补=1.110 1000；[z2]_反=1.110 1000；

[x3]_原=1.001 1001；[y3]_补=1.001 1001；[z3]_反=1.001 1001。

解：算术左移一位：

[x1]_原=0.011 0100；正确

[x2]_原=1.101 0000；溢出（丢1）出错

[x3]_原=1.011 0010；正确

[y1]_补=0.010 1000；溢出（丢1）出错

[y2]_补=1.101 0000；正确

[y3]_补=1.011 0010；溢出（丢0）出错

[z1]_反=1.101 1111；溢出（丢0）出错

[z2]_反=1.101 0001；正确

[z3]_反=1.011 0011；溢出（丢0）出错

算术左移两位：

[x1]_原=0.110 1000；正确

[x2]_原=1.010 0000；溢出（丢11）出错

[x3]_原=1.110 0100；正确

[y1]_补=0.101 0000；溢出（丢10）出错

[y2]_补=1.010 0000；正确

[y3]_补=1.110 0100；溢出（丢00）出错

[z1]_反=1.011 1111；溢出（丢01）出错

[z2]_反=1.010 0011；正确

[z3]_反=1.110 0111；溢出（丢00）出错

算术右移一位：

[x1]_原=0.000 1101；正确

[x2]_原=1.011 0100；正确

[x3]_原=1.000 1100(1)；丢1，产生误差

[y1]_补=0.010 1010；正确

[y2]_补=1.111 0100；正确

[y3]_补=1.100 1100(1)；丢1，产生误差

[z1]_反=1.101 0111；正确

[z2]_反=1.111 0100(0)；丢0，产生误差

[z3]_反=1.100 1100；正确

算术右移两位：

[x1]_原=0.000 0110（10）；产生误差

[x2]_原=1.001 1010；正确

[x3]_原=1.000 0110（01）；产生误差

[y1]_补=0.001 0101；正确

[y2]_补=1.111 1010；正确

[y3]_补=1.110 0110（01）；产生误差

[z1]_反=1.110 1011；正确

[z2]_反=1.111 1010（00）；产生误差

[z3]_反=1.110 0110（01）；产生误差

 

18. 试比较逻辑移位和算术移位。

解：逻辑移位和算术移位的区别：

逻辑移位是对逻辑数或无符号数进行的移位，其特点是不论左移还是右移，空出位均补0，移位时不考虑符号位。

算术移位是对带符号数进行的移位操作，其关键规则是移位时符号位保持不变，空出位的补入值与数的正负、移位方向、采用的码制等有关。补码或反码右移时具有符号延伸特性。左移时可能产生溢出错误，右移时可能丢失精度。

 

19. 设机器数字长为8位（含1位符号位），用补码运算规则计算下列各题。

（1）A=9/64， B=-13/32，求A+B。

（2）A=19/32，B=-17/128，求A-B。

（3）A=-3/16，B=9/32，求A+B。

（4）A=-87，B=53，求A-B。

（5）A=115，B=-24，求A+B。

解：（1）A=9/64= 0.001 0010B, B= -13/32= -0.011 0100B

      [A]补=0.001 0010, [B]补=1.100 1100

[A+B]补= 0.0010010 + 1.1001100 = 1.1011110 ——无溢出

A+B= -0.010 0010B = -17/64

（2）A=19/32= 0.100 1100B, B= -17/128= -0.001 0001B

        [A]补=0.100 1100, [B]补=1.110 1111 , [-B]补=0.001 0001

[A-B]补= 0.1001100 + 0.0010001= 0.1011101 ——无溢出

A-B= 0.101 1101B = 93/128B

（3）A= -3/16= -0.001 1000B, B=9/32= 0.010 0100B

    [A]补=1.110 1000, [B]补= 0.010 0100

[A+B]补= 1.1101000 + 0.0100100 = 0.0001100 —— 无溢出

A+B= 0.000 1100B = 3/32

（4） A= -87= -101 0111B, B=53=110 101B

      [A]补=1 010 1001, [B]补=0 011 0101, [-B]补=1 100 1011

[A-B]补= 1 0101001 + 1 1001011 = 0 1110100 —— 溢出

（5）A=115= 111 0011B, B= -24= -11 000B

    [A]补=0 1110011, [B]补=1，110 1000

[A+B]补= 0 1110011 + 1 1101000 = 0 1011011——无溢出

A+B= 101 1011B = 91

 

20. 用原码一位乘、两位乘和补码一位乘（Booth算法）、两位乘计算x·y。

（1）x= 0.110 111，y= -0.101 110；

（2）x= -0.010 111，y= -0.010 101；

（3）x= 19，y= 35；

（4）x= 0.110 11，y= -0.111 01。

解：先将数据转换成所需的机器数，然后计算，最后结果转换成真值。

（1）[x]_原=0.110111，[y]_原=1.101110，x*=0.110111， y*=0.101110

原码一位乘：

部分积	乘数y*	说明
0.000 000 +0.000 000	101 110	部分积初值为0，乘数为0加0
0.000 000 0.000 000 +0.110 111	010 111	右移一位 乘数为1，加上x*
0.110 111 0.011 011 +0.110 111	101 011	右移一位 乘数为1，加上x*
1.010 010 0.101 001 +0.110 111	010 101	右移一位 乘数为1，加上x*
1.100 000 0.110 000 +0.000 000	001 010	右移一位 乘数为0，加上0
0.110 000 0.011 000 +0.110 111	000 101	右移一位 乘数为1，加上x*
1.001 111 0.100 111	100 010	右移一位

即x*×y*=0.100 111 100 010，z0=x0Å y0=0 Å1=1，

[x×y]_原=1.100 111 100 010，x·y= -0. 100 111 100 010

原码两位乘：[-x*]_补=1.001 001，2x*=1.101 110

部分积	乘数y*	Cj	说明
000 . 000 000 +001 . 101 110	00 101 110	0	部分积初值为0，Cj=0 根据yn-1ynCj=100，加2x*，保持Cj=0
001 . 101 110		0
000 . 011 011 +111 . 001 001	10 001 011 10 001 011	0	右移2位 根据yn-1ynCj=110，加[-x*]补，置Cj=1
111 . 100 100 111 . 111 001 +111 . 001 001	00 100 010	1	右移2位 根据yn-1ynCj=101，加[-x*]补，置Cj=1
111 . 000 010 111 . 110 000 +000 . 110 111	10 001 000	1	右移2位 根据yn-1ynCj=001，加x*，保持Cj=0
000 . 100 111	10 001 0

即x*×y*=0.100 111 100 010，z0=x0Å y0=0 Å1=1，

[x×y]_原=1.100 111 100 010，x·y= -0. 100 111 100 010

补码一位乘：[x]_补=0.110111，[-x]_补=1.001001，[y]_补=1.010010

部分积	乘数	Yn+1	说明
00 . 000 000 00 . 000 000 +11 . 001 001	1 010 010 0 101 001	0 0	Ynyn+1=00，部分积右移1位 Ynyn+1=10，部分积加[-x]补
11 . 001 001			右移1位
11 . 100 100 +00 . 110 111	1 010 100	1	Ynyn+1=01，部分积加[x]补
00 . 011 011			右移1位
00 . 001 101 00 . 000 110 +11 . 001 001	1 101 010 1 110 101	0 0	Ynyn+1=00，部分积右移1位 Ynyn+1=10，部分积加[-x]补
11 . 001 111			右移1位
11 . 100 111 +00 . 110 111	1 111 010	1	Ynyn+1=01，部分积加[x]补
00 . 011 110 00 . 001 111 +11 . 001 001	0 111 101	0	右移1位 Ynyn+1=10，部分积加[-x]补
11 . 011 000	0 111 10

即 [x×y]_补=1.011 000 011 110，x·y= –0.100 111 100 010

 

26.按机器补码浮点运算步骤，计算[x±y]补.

（1）x=2^-011× 0.101 100，y=2^-010×（-0.011 100）；

（2）x=2^-011×（-0.100 010），y=2^-010×（-0.011 111）；

（3）x=2¹⁰¹×（-0.100 101），y=2¹⁰⁰×（-0.001 111)。

解：先将x、y转换成机器数形式：

（1）x=2^-011× 0.101 100，y=2^-010×（-0.011 100）

[x]补=1，101；0.101 100, [y]补=1，110；1.100 100

[Ex]补=1,101, [y]补=1,110, [Mx]补=0.101 100, [My]补=1.100 100

1）对阶：

[DE]补=[Ex]补+[-Ey]补 = 11,101+ 00,010=11,111 < 0，

应Ex向Ey对齐，则：[Ex]补+1=11，101+00，001=11，110 = [Ey]补

[x]补=1，110；0.010 110

2）尾数运算：

  [Mx]补+[My]补= 0.010 110 + 11.100 100=11.111010

[Mx]补+[-My]补=0.010 110 + 00.011100= 00.110 010

3）结果规格化：

  [x+y]补=11，110；11.111 010 = 11，011；11.010 000 （尾数左规3次，阶码减3）

  [x-y]补=11，110；00.110 010, 已是规格化数。

4）舍入：无

5）溢出：无

则：x+y=2^-101×（-0.110 000）

    x-y =2^-010×0.110 010

（2）x=2^-011×（-0.100010）,y=2-⁰¹⁰×（-0.011111）

    [x]补=1，101；1.011 110, [y]补=1，110；1.100 001

1）对阶：过程同(1)的1），则

[x]补=1，110；1.101 111

2）尾数运算：

    [Mx]补+[My]补= 11.101111 + 11. 100001 = 11.010000

    [Mx]补+[-My]补= 11.101111 + 00.011111 = 00.001110

3）结果规格化：

[x+y]补=11，110；11.010 000,已是规格化数

[x-y]补=11，110；00.001 110 =11，100；00.111000 （尾数左规2次，阶码减2）

4）舍入：无

5）溢出：无

则：x+y=2^-010×（-0.110 000）

    x-y =2^-100×0.111 000

（3）x=2¹⁰¹×（-0.100 101）,y=2¹⁰⁰×（-0.001 111）

    [x]补=0，101；1.011 011, [y]补=0，100；1.110 001

1）对阶：

[DE]补=00，101+11，100=00，001 >0，应Ey向Ex对齐，则：

[Ey]补+1=00，100+00，001=00，101=[Ex]补

[y]补=0，101；1.111 000（1）

2）尾数运算：

  [Mx]补+[My]补= 11.011011+ 11.111000（1）= 11.010011（1）

  [Mx]补+[-My]补= 11.011011+ 00.000111（1）= 11.100010（1）

3）结果规格化：

  [x+y]补=00，101；11.010 011（1），已是规格化数

  [x-y]补=00，101；11.100 010（1）=00，100；11.000 101 （尾数左规1次，阶码减1）

4）舍入：

[x+y]补=00，101；11.010 011（舍）

[x-y]补 不变

5）溢出：无

则：x+y=2¹⁰¹×（-0.101 101）

x-y =2¹⁰⁰×（-0.111 011）