《平方差公式》教学设计

南冶中学     何会玲

一、目标和目标解析

1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力。

2．了解公式的几何背景，体会数形结合的思想方法，并能运用公式进行计算。

3．通过乘法公式的运用，掌握公式的结构特征，培养学生运用公式的计算能力。

4．通过从多项式的乘法公式再运用公式计算多项式乘法，培养学生从特殊到一般，从一般到特殊的思维能力。

二、教学问题诊断分析

在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用。自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习。

在教学活动的组织中始终注意：(1)以问题为活动的核心。在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书(如对平方差公式进行几何解释时，将书中图形一分为二)，创设问题情境。(2)促进学生发展是活动的目的。

根据以上分析，本节课的难点是：灵活运用公式。

三、教与学互动设计:

 

（一）引问

王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说：“你好象是个神童，怎么算得这么快？”王捷同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王捷同学用的是一个什么样的公式吗?

 

（二）自问

 

[议一议]我们已经学过了多项式的乘法，两个二项式相乘，在合并同类项前应该有几项？合并同类项后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？

[做一做] 计算：（1）(x+1)(x-1)=______  (2) (m+2)(m-2)=_____

（3）(2x+1)(2x-1)=______

[议一议] 它们的结果有什么共同特点？你知道为什么吗？

[猜一猜]  (a+b)(a-b)=______

你能验证你的猜想是正确的吗？

 (a+b)(a-b)=a²–ab+ab+b²= a²–b²

[做一做] 将a,b取一些具体的数值检验，看猜想是否成立。

 

（三）互问

 

[归  纳] 平方差公式：（a+b）(a-b)= a²–b²

用文字语言怎么表述？

即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

[想一想] 公式中的a,b可以表示什么？

[点  拨] 公式中a,b可以表示数，单项式，多项式甚至更复杂的代数式。

 

（四）新问

 

例1 运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）(3x-2)

分析：可以把3x看成a,把2看成b,即

（3x+2）（3x-2）=（3x）²-2²

 

（a + b）(a-b)=   a²  – b²

1、参照平方差公式“(a+b)(a-b)=a²-b²”填空。

(1)(t+s)(t-s)=____      (2)(3m+2n)(3m-2n)=_________

 

(3)(1+n)(1-n)=_____     (4)(10+5)(10-5)=______

 

[想一想] 下列两个多项式相乘，哪些可以用平方差公式？哪些不能用？

(1)(2x-3y)(3y-2x)     (2)(-2x+3y)(2x+3y)

(3)(2x-3y)(2x-3y)     (4)(2x+3y)(2x-3y)

 [议一议] 为什么（1）（3）不能用，而（2）（4）就可以用？

指导学生发现公式的特点：

1，左边为两数的和乘以两数的差，即在左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项(a)完全相同，另一项(b与-b)互为相反数。右边为这两个数的平方差即完全相同的项的平方减去符号相反的平方。

2，公式中的a,b不仅可以表示具体的数字，还可以是单项式，多项式等代数式。

填表：

(a+b)(a-b)	a	b	a2–b2	最后结果
(-2x+3y)(2x+3y)
(2x+3y)(2x-3y)
(-2x-3y)(2x-3y)

例2 运用平方差公式计算：

(1)        (a+3)(a-3)( a²+9);(2) (a-b+c)(a-b-c)

[想一想] 开头的情景问题，你能解释吗？你还有其它的方法吗？

[做一做] 计算： 103×97

[探  究] 边长为a的正方形板缺了一个边长为b的正方形角，经裁剪后拼成了一个长方形。
（1）你能分别表示出裁剪前后的的纸板的面积吗？
（2）你能得到怎样的一个结论？

 

解：（1）裁剪前的纸板的面积为a²-b²，裁剪后拼成的长方形纸板的面积为(a+b)(a-b);

（2）(a+b)(a-b)= a²-b²

 

(五)追问

 

 1. 逆向思维训练：

 (1)（      )(      )=n²-m²

 (2) (        ) (       ) =4x²-9y²             

 (3)(        )(       )=25-a²

 2.  (a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计算？怎样应用公式计算？

   解： (a+b+c) (a+b-c)

       = [(a+b)+c] [(a+b)-c]

       = (a+b)² -  c²

       = (a+b) (a+b) – c²

       = (a²+ab+ab+b²) – c²

       = (a²+2ab+b²) – c²

       = a²+2ab+b² – c²

 

（六）再问

 

   平方差公式       (a+b)(a-b)=a2-b2

  特征：（1）两个二项式相乘时， 有一项相同，另一项符号相反，积等于相同项的平方减去相反数项的平方。

（2）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式。

注意：一定要记住公式的特点，及灵活运用。