国际数学界关注了百年之久的重大难题——庞加莱猜想（Poincare conjecture）日前宣告被两位华人数学家——曹怀东、朱熹平最终破解.在美国出版的《亚洲数学杂志（Asian Journal of Mathematics）》6月号以专刊的方式发表了二位作者题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿—佩雷尔曼理论的应用》长达328页的论文，向世界推出了这一重大成果.6月3日，专程从美国赶来北京的国际著名数学家、哈佛大学讲座教授、美国国家科学院院士、中国科学院外籍院士、菲尔兹奖和克雷福德数学奖得主丘成桐教授，在中科院晨兴数学研究中心公布了这一喜讯.两位作者中的曹怀东是美国里海大学教授、清华大学讲座教授，另一位朱熹平是中山大学教授.

　　1904年，法国数学家庞加莱提出著名的“庞加莱猜想”：在一个封闭的三维空间，假如其上每条闭曲线都能连续收缩成一点，那么这个空间一定是三维的圆球.（后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”.）这是拓扑学的重大难题，百余年来吸引了世界无数数学家竞相钻研，2000年更被美国克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute）列为奖金各百万美圆的“七大世纪难题”之一.

    丘成桐：庞加莱猜想比哥德巴赫猜想更重要

　　在接受记者专访时，丘成桐介绍说，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界关于流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响.庞加莱猜想和黎曼猜想共同被认为是数学领域最著名的两个猜想.几乎所有数学家都梦想解决这两个问题.

　　庞加莱猜想到底为什么那么重要呢？丘成桐说：“因为三维空间是人类生存的空间，地球、宇宙都是三维空间，我们必须深入了解自己生存的空间.三维空间的许多变化，我们看不到，但是可以从理论上来猜测和证明，所以对三维空间的拓扑和几何结构的了解，是一门伟大的科学.庞加莱猜想是这门科学中的一个重要问题.”丘成桐指出，与公众比较熟悉的哥德巴赫猜想相比，庞加莱猜想更为重要.“至少到目前为止，哥德巴赫猜想是比较孤立一个问题，而庞加莱猜想则是影响人们对整个几何学了解的一个大问题.”他解释说，数学研究的主要对象有三个，一是数字的研究，比如1、2、3、4、5等等；二是拓扑学和几何学，如中学生学的平面几何、立体几何，数学家研究的更为高深的几何；三是函数，就是方程的变化. 庞加莱猜想是第二个领域里面最重要的问题， 解决这一问题时用到了函数和方程，也就是用第三领域的方法解决第二领域的重要问题.所以，猜想的证明，对于几何和函数的发展都有贡献.“不仅如此，庞加莱猜想还将对物理学和工程学都产生深远的影响.”丘成桐说：“比如，物理学要研究液体，工程上要研究深海工程，都会遇到三维空间的控制.我们认为这一方法对物理学和工程中的三维空间的研究是一个重要贡献.”

    庞加莱猜想证明的百年艰辛

　　高维庞加莱猜想的证明比低维庞加莱猜想要容易一些.20世纪60年代初，两位美国数学家斯梅尔（Smale）和斯特林（Stallings）发表论文，证明了五维及五维以上的庞加莱猜想，斯梅尔因此获得1966年的菲尔兹奖，但这种方法无法用于证明三维和四维空间庞加莱猜想.1983年，美国数学家弗里蔓（Freedman）发表论文，证明了四维庞加莱猜想，因此获得1986年的菲尔兹奖，但这种方法也无法再向前推进.

　　丘成桐说，解决庞加莱猜想有几种不同途径，刚开始是拓扑学的方法，即所谓切割方法，但这个方法到20世纪70年代就很难再进一步了.1978年，美国数学家瑟斯顿（Thurston）引进几何结构的方法来做切割，这个方法很重要，他因此获得1983年的菲尔兹奖，但这个方法也无法再向前推进.

　　1972年，丘成桐和李伟光发展出用非线性微分方程的方法来研究几何结构，丘用这个方法证明了卡拉比猜想和复几何上的庞加莱猜想.由此，他知道几何分析方法有助于庞加莱猜想的解决.1982年，康奈尔大学的汉密尔顿（Hamilton）发表一篇文章，提出一种新方程来构造几何结构.但汉密尔顿是用微分方程的方法来做的，不同于瑟斯顿的几何结构方法.丘成桐看出其中的重要性，建议汉密尔顿用他和李伟光的几何分析方法来做庞加莱猜想和三维空间几何化的问题，同时，让自己的4位博士生开始这个研究，曹怀东就是其中一位，他的博士论文就是这方面的工作.丘成桐的另两位中国学生也对这项工作有着奠基性的贡献，其中一位是来自中科院数学所的施皖雄.

　　汉密尔顿研究过程中遇到一个重要问题：在用曲率方法推动空间变化时遇到了奇怪的点，如何处理奇异点就成为整个庞加莱猜想证明中最重要的一部分.

　　处理奇异点发生是几何分析上的问题，丘成桐和李伟光刚好发现了一种处理非线性微分方程的方法.于是，丘成桐建议汉密尔顿一试.后来，汉密尔顿花了很多功夫将这种方法用在他的方程上，得到了重要结果.1993年，汉密尔顿发表一篇重要论文，开始对奇异点问题有了深刻了解，但如何切掉奇异点又是一个新的困难.“因为奇异点的产生有很多种，多姿多彩，必须掌握控制它们的方法，这需要很多仔细的分析和几何结构上的研究.”丘成桐解释说.

　　1995年，丘成桐看到了解决庞加莱猜想的大趋势，他邀请汉密尔顿到中国讲学，并向我国数学界发出“全国向汉密尔顿学习，一定会有成就”的口号，但最后，只有朱熹平响应了.此前，1994年，朱熹平在香港中文大学数学研究所的讨论班上遇见丘成桐.1997年，丘成桐建议朱熹平精力集中到庞加莱猜想的证明上.之后，丘成桐每年邀请朱熹平到香港中文大学工作一段时间，其间他们有许多讨论.

　　2002年11月，俄罗斯数学家佩雷尔曼（G.Perelman）在网上公布了一个研究报告，声称证明了由瑟斯顿25年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”证明纲领的一些想法，而庞加莱猜想正是后者的一个特例.4个月后，他在网上发布第二份报告，介绍了更多的证明想法.但如何实现这些想法是近三年来国际数学界极其关注的课题.

　　就在佩雷尔曼公布其研究时，朱熹平对庞加莱猜想的研究也有了部分的结果.竞争非常激烈，丘成桐让曹怀东2003年夏天开始和朱熹平合作.2005年，二人解决了最后的问题.

    丘成桐介绍说，在曹怀东、朱熹平的工作宣布后，数学家Kleiner与Lott也公布了他们的成果，他们的方法与曹、朱的方法有所不同.要理解他们的笔记还需要一般时间，因为其中几个关键问题仍然非常粗略.

    一个长江后浪推前浪的故事

　　2005年初夏，丘成桐建议邀请朱熹平到哈佛数学系访问半年，获得数学系全体教授一致同意.当年9月，朱熹平来到哈佛大学，他的主要任务就是向专家讲解他们的证明论文.从这时起到 2006年3月，朱熹平每周在哈佛大学向包括丘成桐、哈佛系主任在内的五六位（其中三位美国科学院院士）教授分两次讲3个小时，共讲70多个小时.丘成桐说：“这么大的问题，用2到3个小时是讲不明白的.朱熹平小心地花了几十个小时来讲，这不是件容易的事.”

　　庞加莱猜想最后证明所用的方法与拓扑学的关系并不大，而是用了丘成桐和他朋友们在30多年前发展的几何分析方法.谈到数学家们对庞加莱猜想证明的贡献，丘成桐说：“庞加莱猜想的解决是多位科学家共同努力的结果，从我的朋友瑟斯顿开始，到汉密尔顿，再到佩雷尔曼先生，他们的贡献都非常大.最后一步是两位中国数学家完成的，就像盖了大楼，从基础开始，还没有封顶，他们的工作就是封顶.”他说“汉密尔顿是整个庞加莱猜想证明过程的主帅、领导人，他是一个伟大的数学家，是我所能看到的少数具有原创性的数学家之一.佩雷尔曼先生增加了很重要的部分，朱熹平和曹怀东解决了最后的问题，他们为这个问题封了顶.”他评论说：“这不是一项普通的成就，是大成就.中国人做出这么好的工作，我为中国骄傲！”

　　这是一个长江后浪推前浪的故事.丘成桐说：“好的学问都是年轻时做出的.在整个几何分析法上，我花了很多功夫.在这方面我是一个领袖人物.我一直很想做庞加莱猜想，做了很久，也用了很多方法，但最后没办法做出来.这很艰难.我的学生能做出这样好的工作，我当然很高兴.这是可以在历史上留名的工作，希望借此将整个中国数学界的风气改正过来.做数学就要真正对数学本身有贡献，而不是为后面的荣誉和名利.”

    汉密尔顿：所有中国人应该感到骄傲

　国际著名数学家、Ricci流理论之父、被丘成桐誉为“庞加莱猜想证明过程主帅”的汉密尔顿教授，随后悄然来京，在清华大学与中科院晨兴数学研究中心访问了曹怀东教授.6月5日，他通过一段录像谈到破解庞加莱猜想的一些重要发展经过.他表示，用分析方法研究庞加莱猜想有很长的历史.丘成桐教授最早提示他，三维流形上Ricci流将会产生瓶颈现象，并把流形分解为一些连通的片，所以可以用来证明庞加莱猜想.过去二十年中许多学者都在研究这个问题，特别是近年佩雷尔曼的重大突破，他使Ricci流证明庞加莱猜想的整个纲领具有可行性.汉密尔顿指出，中国数学家在这一发展中做出了非常重要的贡献.陈省身、丘成桐建立了非常了不起的微分几何中国学派.从1970年开始，丘成桐证明了几个重大的猜想，包括卡拉比猜想等.这为他赢得了众多国际数学界的大奖和崇高的学术声望，包括菲尔兹奖等.

　　汉密尔顿说，90年代，丘成桐培养了好几位出色的学生，在Ricci流理论中作出了重要的贡献.曹怀东与朱熹平最近在佩雷尔曼与前人的工作基础上，给出了关于庞加莱猜想证明的一个完整与详细的描述.他很高兴这两位Ricci流领域里的杰出学者所写的这篇文章.他们引入了自己的新思想，使得证明变得更容易理解，包括完备流形上解的唯一性，用新的方法研究典则领域定理证明中的反向爆破，这是基于朱熹平与陈兵龙关于孤立子扩张的工作.汉密尔顿表示，所有中国人都应该为中国数学家在微分几何领域取得的成就，和对庞加莱猜想的贡献而感到骄傲.

　　汉密尔顿在京期间曾与曹怀东讨论了证明中的一些细节，并表示还将在苏黎世与Huiskenhe和Ilmanen继续这些讨论，希望在毫无争议的前提下正式公诸于世，因为许多科学家需要用到他们的工作中去.

    华罗庚：“中国人可以在数学研究上做得相当好”

　　著名数学家杨乐也高度评价了这一重大成就.同时他又指出，“中国数学家虽然参与证明了世界级数学难题，但中国的数学研究和国际先进水平相比，还存在很大差距”.杨乐认为，目前国内学术界急功近利的风气，严重制约数学这样的基础科学发展.他说：“搞基础研究，一定要耐得住寂寞.绝不能急于求成，争名争利.”他说：“搞重大基础研究，需要放眼长远，同时要持之以恒.”杨乐说 ：“华罗庚先生说过，中国人可以在数学研究上做得相当好.希望先生的这句话在不远的将来变成美好的现实.”

    记者的追问：悬赏百万美圆能兑现吗？

　　6月20日晚7时，北京弦理论大会报告开始前，记者要求采访坐在第一排的丘成桐，在相当疲惫和声音嘶哑的情况下，他推荐了身边的浙江大学数学研究中心执行主任刘克峰教授.刘在回答记者关于中国科学家在庞加莱猜想证明上做出的贡献有多大的提问时表示：不好量化.但这是中国人第一次在数学主流上起了主要作用，这是很不容易的.对数学主流而言，庞加莱猜想比哥德巴赫猜想更重要.

　　记者问及：是不是《亚洲数学杂志》全文刊发了这篇庞加莱猜想证明文章，就意味着得到了全世界的认可？刘克峰说；在《亚洲数学杂志》上发表，说明是经过了相当严格的审查了.但对数学理论证明，没有人敢说百分之百地成功，还需要时间的证明.

　　美国克莱研究所悬赏百万美元征求证明庞加莱猜想，记者问及：他们会兑现之前的承诺吗？刘克峰认为：这个没有问题.研究所已经说了，两年之后即可兑现，只要两年之内，数学界无人提出异议.

    七大数学难题（背景材料）

　　黎曼假设、庞加莱猜想、霍奇猜想、波奇和斯温纳顿—戴尔猜想、纳威厄—斯托克斯方程、杨—米尔理论、P对NP问题被称为世纪七大数学难题.2000年，美国克莱研究所将它们设为千年大奖问题，每个难题悬赏100万美元.

　　专家指出，黎曼假设一旦攻克，将对加密学有帮助.其余的难题一旦破解，将会给航天、物理等领域带来突破性进展，并开辟全新的数学研究领域.