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【转载】DP公式大全

(2010-11-17 18:03:35)
标签：

noip

dp公式大全

dp

动态规划

dp背包问题

it
  1. 1.        资源问题1
  2. -----机器分配问题
  3. F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k])
  4. 2.        资源问题2
  5. ------01背包问题
  6.    F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]);
  7. 3.        线性动态规划1
  8. -----朴素最长非降子序列
  9.    F:=max{f[j]+1}
  10. 4.        剖分问题1
  11. -----石子合并
  12. F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]);
  13. 5.        剖分问题2
  14. -----多边形剖分
  15. F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a);
  16. 6.        剖分问题3
  17. ------乘积最大
  18. f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i]);
  19. 7.        资源问题3
  20.       -----系统可靠性(完全背包)
  21. F[i,j]:=max{f[i-1,j-c*k]*P[I,x]}
  22. 8.        贪心的动态规划1
  23. -----快餐问题
  24.    F[i,j,k]:=max{f[i-1,j',k']+(T-(j-j')*p1-(k-k')*p2) div p3}
  25. 9.        贪心的动态规划2
  26. -----过河 f=min{{f(i-k)} (not stone)
  27.                   {f(i-k)}+1} (stone);   +贪心压缩状态
  28. 10.        剖分问题4
  29. -----多边形-讨论的动态规划
  30. F[i,j]:=max{正正 f[I,k]*f[k+1,j];
  31.                负负 g[I,k]*f[k+1,j];
  32.          正负 g[I,k]*f[k+1,j];
  33.              负正 f[I,k]*g[k+1,j];}   g为min
  34. 11.        树型动态规划1
  35. -----加分二叉树 (从两侧到根结点模型)
  36.        F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]}
  37. 12.        树型动态规划2
  38. -----选课 (多叉树转二叉树,自顶向下模型)
  39.        F[I,j]表示以i为根节点选j门功课得到的最大学分
  40.       f[i,j]:=max{f[t.l,k]+f[t.r,j-k-1]+c}
  41. 13.        计数问题1
  42. -----砝码称重
  43. f[f[0]+1]=f[j]+k*w[j];
  44. (1<=i<=n;   1<=j<=f[0]; 1<=k<=a;)
  45. 14.        递推天地1
  46. ------核电站问题
  47. f[-1]:=1;   f[0]:=1;                     
  48. f:=2*f[i-1]-f[i-1-m]      
  49. 15.        递推天地2
  50. ------数的划分
  51. f[i,j]:=f[i-j,j]+f[i-1,j-1];
  52. 16.        最大子矩阵1
  53. -----一最大01子矩阵
  54. f[i,j]:=min(f[i-1,j],v[i,j-1],v[i-1,j-1])+1;
  55. ans:=maxvalue(f);                        
  56. 17.        判定性问题1
  57. -----能否被4整除
  58. g[1,0]:=true; g[1,1]:=false; g[1,2]:=false; g[1,3]:=false;
  59. g[i,j]:=g[i-1,k] and ((k+a[i,p]) mod 4 = j)
  60. 18.        判定性问题2
  61. -----能否被k整除
  62. f[I,j±n mod k]:=f[i-1,j];    -k<=j<=k; 1<=i<=n
  63. 20.        线型动态规划2
  64. -----方块消除游戏
  65. f[i,i-1,0]:=0
  66. f[i,j,k]:=max{f[i,j-1,0]+sqr(len(j)+k),
  67.              f[i,p,k+len[j]]+f[p+1,j-1,0]}
  68. ans:=f[1,m,0]
  69. 21.        线型动态规划3
  70. -----最长公共子串，LCS问题
  71. f[i,j]={0(i=0)&(j=0);
  72.        f[i-1,j-1]+1        (i>0,j>0,x=y[j]);
  73.        max{f[i,j-1]+f[i-1,j]}} (i>0,j>0,x<>y[j]);
  74. 22.        最大子矩阵2
  75. -----最大带权01子矩阵O(n^2*m)
  76. 枚举行的起始，压缩进数列，求最大字段和，遇0则清零
  77. 23.          资源问题4
  78. -----装箱问题(判定性01背包)
  79. f[j]:=(f[j] or f[j-v]);
  80. 24.        数字三角形1
  81. -----朴素の数字三角形
  82. f[i,j]:=max(f[i+1,j]+a[I,j],f[i+1,j+1]+a[i,j]);
  83. 25.        数字三角形2
  84. -----晴天小猪历险记之Hill
  85. 同一阶段上暴力动态规划
  86.             if[i,j]:=min(f[i,j-1],f[I,j+1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])+a[i,j]
  87. 26.        双向动态规划1
  88. 数字三角形3
  89. -----小胖办证
  90. f[i,j]:=max(f[i-1,j]+a[i,j],f[i,j-1]+a[i,j],f[i,j+1]+a[i,j])
  91. 27. 数字三角形4
  92. -----过河卒
  93. //边界初始化
  94. f[i,j]:=f[i-1,j]+f[i,j-1];
  95. 28.        数字三角形5
  96. -----朴素的打砖块
  97. f[i,j,k]:=max(f[i-1,j-k,p]+sum[i,k],f[i,j,k]);
  98. 29.        数字三角形6
  99. -----优化的打砖块
  100. f[I,j,k]:=max{g[i-1,j-k,k-1]+sum[I,k]}
  101. 30.        线性动态规划3
  102. -----打鼹鼠’
  103. f:=f[j]+1;(abs(x-x[j])+abs(y-y[j])<=t-t[j])
  104. 31.        树形动态规划3
  105. -----贪吃的九头龙
  106. 32.        状态压缩动态规划1
  107. -----炮兵阵地
  108. Max(f[Q*(r+1)+k],g[j]+num[k])
  109. If (map and plan[k]=0) and
  110.             ((plan[P] or plan[q]) and plan[k]=0)
  111. 33.        递推天地3
  112. -----情书抄写员
  113. f:=f[i-1]+k*f[i-2]
  114. 34.        递推天地4
  115. -----错位排列
  116. f:=(i-1)(f[i-2]+f[i-1]);
  117. f[n]:=n*f[n-1]+(-1)^(n-2);
  118. 35.        递推天地5
  119. -----直线分平面最大区域数
  120. f[n]:=f[n-1]+n
  121. :=n*(n+1) div 2 + 1;
  122. 36.        递推天地6
  123. -----折线分平面最大区域数
  124. f[n]:=(n-1)(2*n-1)+2*n;
  125. 37.        递推天地7
  126. -----封闭曲线分平面最大区域数
  127. f[n]:=f[n-1]+2*(n-1)
  128. :=sqr(n)-n+2;
  129. 38        递推天地8
  130. -----凸多边形分三角形方法数
  131. f[n]:=C(2*n-2,n-1) div n;
  132. 对于k边形
  133. f[k]:=C(2*k-4,k-2) div (k-1); //(k>=3)
  134. 39        递推天地9
  135. -----Catalan数列一般形式
  136. 1,1,2,5,14,42,132
  137. f[n]:=C(2k,k) div (k+1);
  138. 40        递推天地10
  139. -----彩灯布置
  140. 排列组合中的环形染色问题
  141. f[n]:=f[n-1]*(m-2)+f[n-2]*(m-1); (f[1]:=m; f[2]:=m(m-1);
  142. 41        线性动态规划4
  143. -----找数
  144. 线性扫描
  145. sum:=f+g[j];
  146.     (if sum=Aim then getout; if sum<Aim then inc(i) else inc(j);)
  147.   
  148. 42        线性动态规划5
  149. -----隐形的翅膀
  150.          min:=min{abs(w/w[j]-gold)};
  151.          if w/w[j]<gold then inc(i) else inc(j);
  152. 43        剖分问题5
  153. -----最大奖励
  154. f:=max(f,f[j]+(sum[j]-sum)*i-t
  155. 44        最短路1
  156. -----Floyd
  157. f[i,j]:=max(f[i,j],f[i,k]+f[k,j]);
  158.    ans[q[i,j,k]]:=ans[q[i,j,k]]+s[i,q[i,j,k]]*s[q[i,j,k],j]/s[i,j];
  159. 45        剖分问题6
  160. -----小H的小屋
  161. F[l,m,n]:=f[l-x,m-1,n-k]+S(x,k);
  162. 46        计数问题2
  163. -----陨石的秘密（排列组合中的计数问题）
  164. Ans[l1,l2,l3,D]:=f[l1+1,l2,l3,D+1]-f[l1+1,l2,l3,D];
  165. F[l1,l2,l3,D]:=Sigma(f[o,p,q,d-1]*f[l1-o,l2-p,l3-q,d]);
  166. 47        线性动态规划
  167. ------合唱队形
  168. 两次F:=max{f[j]+1}＋枚举中央结点
  169. 48        资源问题
  170. ------明明的预算方案：加花的动态规划
  171. f[i,j]:=max(f[i,j],f[l,j-v-v[fb]-v[fa]]+v*p+v[fb]*p[fb]+v[fa]*p[fa]);
  172. 49        资源问题
  173. -----化工场装箱员
  174. 50        树形动态规划
  175. -----聚会的快乐
  176. f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
  177. f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);
  178. f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);
  179. 51        树形动态规划
  180. -----皇宫看守
  181. f[i,2]:=max(f[i,0],f[i,1]);
  182. f[i,1]:=sigma(f[t^.son,0]);
  183. f[i,0]:=sigma(f[t^.son,3]);
  184. 52        递推天地
  185. -----盒子与球
  186. f[i,1]:=1;
  187. f[i,j]:=j*(f[i-1,j-1]+f[i-1,j]);
  188. 53        双重动态规划
  189. -----有限的基因序列
  190. f:=min{f[j]+1}
  191. g[c,i,j]:=(g[a,i,j] and g[b,i,j]) or (g[c,i,j])
  192. 54        最大子矩阵问题
  193. -----居住空间
  194.          f[i,j,k]:=min(min(min(f[i-1,j,k],f[i,j-1,k]),
  195.                      min(f[i,j,k-1],f[i-1,j-1,k])),
  196.                                min(min(f[i-1,j,k-1],f[i,j-1,k-1]),
  197.                                f[i-1,j-1,k-1]))+1;
  198. 55        线性动态规划
  199. ------日程安排
  200. f:=max{f[j]}+P[I]; (e[j]<s)
  201. 56        递推天地
  202. ------组合数
  203. C[I,j]:=C[i-1,j]+C[I-1,j-1]
  204. C[I,0]:=1
  205. 57        树形动态规划
  206. -----有向树k中值问题
  207. F[I,r,k]:=max{max{f[l,I,j]+f[r,I,k-j-1]},f[f[l,r,j]+f[r,r,k-j]+w[I,r]]}
  208. 58        树形动态规划
  209. -----CTSC 2001选课
  210. F[I,j]:=w(if i∈P)+f[l,k]+f[r,m-k](0≤k≤m)(if l<>0)
  211. 59        线性动态规划
  212. -----多重历史
  213. f[i,j]:=sigma{f[i-k,j-1]}(if checked)
  214. 60        背包问题(+-1背包问题+回溯)
  215. -----CEOI1998 Substract
  216. f[i,j]:=f[i-1,j-a] or f[i-1,j+a]
  217. 61        线性动态规划(字符串)
  218. -----NOI 2000 古城之谜
  219. f[i,1,1]:=min{f[i+length(s),2,1], f[i+length(s),1,1]+1}f[i,1,2]:=min{f[i+length(s),1,2]+words[s],f[i+length(s),1,2]+words[s]}
  220. 62        线性动态规划
  221. -----最少单词个数
  222. f[i,j]:=max{f[I,j],f[u-1,j-1]+l}
  223. 63        线型动态规划
  224. -----APIO2007 数据备份
  225. 状态压缩＋剪掉每个阶段j前j*2个状态和j*2+200后的状态贪心动态规划
  226. f:=min(g[i-2]+s,f[i-1]);
  227. 64        树形动态规划
  228. -----APIO2007 风铃
  229. f:=f[l]+f[r]+{1 (if c[l]<c[r])}
  230. g:=1(d[l]<>d[r]) 0(d[l]=d[r])
  231. g[l]=g[r]=1 then Halt;
  232. 65        地图动态规划
  233. -----NOI 2005 adv19910
  234. F[t,i,j]:=max{f[t-1,i-dx[d[[t]],j-dy[d[k]]]+1],f[t-1,i,j];
  235. 66        地图动态规划
  236. -----优化的NOI 2005 adv19910
  237. F[k,i,j]:=max{f[k-1,i,p]+1} j-b[k]<=p<=j;
  238. 67        目标动态规划
  239. -----CEOI98 subtra
  240. F[I,j]:=f[I-1,j+a] or f[i-1,j-a]
  241. 68        目标动态规划
  242. ----- Vijos 1037搭建双塔问题
  243. F[value,delta]:=g[value+a,delta+a] or g[value,delta-a]
  244. 69        树形动态规划
  245. -----有线电视网
  246. f[i,p]:=max(f[i,p],f[i,p-q]+f[j,q]-map[i,j])
  247.           leaves>=p>=l, 1<=q<=p;
  248. 70        地图动态规划
  249. -----vijos某题
  250. F[I,j]:=min(f[i-1,j-1],f[I,j-1],f[i-1,j]);
  251. 71        最大子矩阵问题
  252. -----最大字段和问题
  253. f:=max(f[i-1]+b,b); f[1]:=b[1]
  254. 72        最大子矩阵问题
  255. -----最大子立方体问题
  256. 枚举一组边i的起始，压缩进矩阵 B[I,j]+=a[x,I,j]
  257. 枚举另外一组边的其实，做最大子矩阵
  258. 73        括号序列
  259. -----线型动态规划
  260. f[I,j]:=min(f[I,j],f[i+1,j-1](ss[j]=”()”or(”[]”)),
  261. f[I+1,j+1]+1 (s[j]=”(”or”[” ] , f[I,j-1]+1(s[j]=”)”or”]” )
  262. 74        棋盘切割
  263. -----线型动态规划
  264. f[k,x1,y1,x2,y2]=min{min{f[k-1,x1,y1,a,y2]+s[a+1,y1,x2,y2],
  265. f[k-1,a+1,y1,x2,y2]+s[x1,y1,a,y2]
  266. min{}}
  267. 75        概率动态规划
  268. -----聪聪和可可(NOI2005)
  269. x:=p[p[i,j],j]
  270. f[I,j]:=(f[x,b[j,k]]+f[x,j])/(l[j]+1)+1
  271. f[I,i]=0
  272. f[x,j]=1
  273. 76        概率动态规划
  274. -----血缘关系
  275. F[A, B]=(f[A0, B]+P[A1, B])/2
  276. f[I,i]=1
  277. f[I,j]=0(I,j无相同基因)
  278. 77        线性动态规划
  279. -----决斗
  280. F[I,j]=(f[I,j] and f[k,j]) and (e[I,k] or e[j,k]),i<k<j
  281. 78        线性动态规划
  282. -----舞蹈家
  283. F[x,y,k]=min(f[a[k],y,k+1]+w[x,a[k]],f[x,a[k],k+1]+w[y,a[k]])
  284. 79        线性动态规划
  285. -----积木游戏
  286. F[I,a,b,k]=max(f[I,a+1,b,k],f[i+1,a+1,a+1,k’],f[I,a+1,a+1,k’])
  287. 80        树形动态规划（双次记录）
  288. -----NOI2003 逃学的小孩
  289. 朴素的话枚举节点i和离其最远的两个节点 j,k O(n^2)
  290. 每个节点记录最大的两个值，并记录这最大值分别是从哪个相邻节点传过来的。当遍历到某个孩子节点的时候，只需检查最大值是否是从该孩子节点传递来的。如果是，就取次大，否则取最大值
  291. 81        树形动态规划(完全二叉树)
  292. -----NOI2006 网络收费
  293. F[I,j,k]表示在点i所管辖的所有用户中，有j个用户为A，在I的每个祖先u上，如果N[a]>N则标0否则标1，用二进制状态压缩进k中，在这种情况下的最小花费
  294. F[I,j,k]:=min{f[l,u,k and (s<<(i-1))]+w1,f[r,j-u,k and(s<<(i-1))]}
  295. 82        树形动态规划
  296. -----IOI2005 河流
  297. F:=max
  298. 83        记忆化搜索
  299. -----Vijos某题,忘了
  300. F[pre,h,m]:=sigma{SDP(I,h+1,M+i)}   (pre<=i<=M＋1)
  301. 84        状态压缩动态规划
  302. -----APIO 2007 动物园
  303. f[I,k]:=f[i-1,k and not (1<<4)] + NewAddVal
  304. 85        树形动态规划
  305. -----访问术馆
  306. f[i,j-c×2]:= max ( f[l,k], f[r,j-c×2-k] )
  307. 86        字符串动态规划
  308. -----Ural 1002 Phone
  309. if exist(copy(s,j,i-j)) then f:=min(f,f[j]+1);
  310. 87        多进程动态规划
  311. -----CEOI 2005 service
  312. Min( f[i,j,k], f[i-1,j,k] + c[t[i-1],t] )
  313. Min( f[i,t[i-1],k], f[i-1,j,k] + c[j,t] )
  314. Min( f[i,j,t[i-1]], f[i-1,j,k] + c[k,t] )
  315. 88        多进程动态规划
  316. -----Vijos1143 三取方格数
  317. max(f[i,j,k,l],f[i-1,j-R[m,1],k-R[m,2],l-R[m,3]]);
  318. if (j=k) and (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]) else
  319. if (j=k) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[l,i-l]) else
  320. if (k=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
  321. if (j=l) then inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]) else
  322. inc(f[i,j,k,l],a[j,i-j]+a[k,i-k]+a[l,i-l]);
  323. 89        线型动态规划
  324. -----IOI 2000 邮局问题
  325. f[i,j]:=min(f[I,j],f[k,j-1]+d[k+1,i]);
  326. 90        线型动态规划
  327. -----Vijos 1198 最佳课题选择
  328. if j-k>=0 then Min(f[i,j],f[i-1,j-k]+time(i,k));
  329. 91        背包问题
  330. ----- USACO Raucous Rockers
  331. 多个背包，不可以重复放物品，但放物品的顺序有限制。
  332.           F[I,j,k]表示决策到第i个物品、第j个背包，此背包花费了k的空间。
  333. f[I,j,k]:=max(f[I-1,j,k],f[I-1,j,k-t]+p,f[i-1,j-1,maxtime-t])
  334. 92        多进程动态规划
  335. -----巡游加拿大（IOI95、USACO）
  336. d[i,j]=max{d[k,j]+1(a[k,i] & j<k<i),d[j,k]+1(a[I,j] & (k<j))}。
  337. f[i,j]表示从起点出发，一个人到达i，另一个人到达j时经过的城市数。d[i,j]=d[j,i]，所以我们限制i>j
  338. 分析状态(i,j)，它可能是(k,j)(j<k<i)中k到达i得到（方式1），也可能是(j,k)(k<j)中k超过j到达i得到（方式2）。但它不能是(i,k)(k<j)中k到达j得到，因为这样可能会出现重复路径。即使不会出现重复路径，那么它由(j,k)通过方式2同样可以得到，所以不会遗漏解 时间复杂度O(n3)
  339. 93        动态规划
  340. -----ZOJ cheese
  341. f[i,j]:=f[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]+a[i-kk*zl[u,1],j-kk*zl[u,2]]
  342. 94        动态规划
  343. -----NOI 2004 berry 线性
  344. F[I,1]:=s
  345. F[I,j]:=max{min{s-s[l-1]},f[l-1,j-1]} (2≤j≤k, j≤l≤i)
  346. 95        动态规划
  347. -----NOI 2004 berry 完全无向图
  348. F[I,j]:=f[i-1,j] or (j≥w) and (f[i-1,j-w])
  349. 96        动态规划
  350. -----石子合并 四边形不等式优化
  351. m[i,j]=max{m[i+1,j], m[i,j-1]}+t[i,j]
  352. 97        动态规划
  353. -----CEOI 2005 service
  354. （k≥long，i≥1）g[i, j, k]=max{g[i-1,j,k-long]+1，g[i-1,j,k]}
  355. （k<long，i≥1） g[i, j, k]=max{g[i-1,j-1,t-long]+1，g[i-1,j,k]}
  356. (0≤j≤m， 0≤k<t) g[0,j,k]=0;
  357. ans:=g[n,m,0]。
  358. 状态优化：g[i, j]=min{g[i-1,j]，g[i-1,j-1]+long}
  359. 其中(a, b)+long=(a’, b’)的计算方法为：
  360. 当b+long ≤t时： a’=a;    b’=b+long;
  361. 当b+long ＞t时： a’=a+1; b’=long;
  362. 规划的边界条件：
  363. 当0≤i≤n时，g[i,0]=(0,0)
  364. 98        动态规划
  365. -----AHOI 2006宝库通道
  366. f[k]:=max{f[k-1]+x[k,j]-x[k,i-1], x[k,j]-x[k,i-1]}
  367. 99        动态规划
  368. -----Travel
  369. A) 费用最少的旅行计划。
  370. 设f表示从起点到第i个旅店住宿一天的最小费用；g表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小费用的前提下所需要的最少天数。那么：
  371. f=f[x]+v, g=g[x]+1
  372. x满足：
  373. 1、        x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。
  374. 2、        对于所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必须满足：
  375. A. g[x] < g[t](f[x] = f[t]时)     B. f[x] < f[t]   (其他情况)
  376. f[0] = 0，g[0] = 0。 Ans:=f[n + 1]，g[n+1]。
  377. B). 天数最少的旅行计划。
  378. 方法其实和第一问十分类似。
  379. 设g’表示从起点到第i个旅店住宿一天的最少天数；f’表示从起点到第i个旅店住宿一天，在满足最小天数前提下所需要的最少费用。那么：
  380. g’ = g’[x] + 1, f’ = f’[x] + v
  381. x满足：
  382. 1、        x<i，且d – d[x] <= 800（一天的最大行程）。
  383. 2、        对于所有的t < i, d – d[t] <= 800，都必须满足：
  384. f’[x] < f’[t]    g’[x] = g’[t]时
  385. g’[x] < g’[t]        其他情况
  386. f’[0] = 0，g’[0] = 0。 Ans:=f’[n + 1]，g’[n+1]。
  387. 100        动态规划
  388. -----NOI 2007 cash
  389. y:=f[j]/(a[j]*c[j]+b[j]);
  390. g:=c[j]*y*a+y*b;
  391. f:=max(f,g)

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