1857年英国学者朗肯（Rankine）从研究弹性半空间体内的应力状态，根据土的极限平衡理论，得出计算土压力的方法，又称极限应力法。

一、基本原理

朗肯理论的基本假设：

1.墙本身是刚性的，不考虑墙身的变形；

2.墙后填土延伸到无限远处，填土表面水平（β=0）；

3.墙背垂直光滑（墙与垂向夹角ε=0，墙与土的摩擦角δ=0）。

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考察挡土墙后土体表面下深度z处的微小单元体的应力状态变化过程：

（1）当用挡土墙代替半空间的土体，且不发生位移时，作用在微分土体上的应力为自重应力，此时，挡土墙土压力即为静止土压力，大小等于水平向自重应力σ_h。

（2）当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力σ_v保持不变，而水平向应力σ_h逐渐减小，直至达到土体处于极限平衡状态，此时水平向应力（σ₃）即为主动土压力强度p_a 。观看动画演示

（3）当挡土墙在土压力的作用下向着土体方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力σ_v保持不变，而水平向应力σ_h逐渐增大，由小主应力变为大主应力，直至达到土体处于极限平衡状态，此时水平向应力（σ₁）即为被动土压力强度p_p。观看动画演示

二、主动土压力计算

根据土的极限平衡理论。当土内某点达到主动极限平衡状态时，该点的主动土压力强度p_a的表达式如下：

式中：K_a为主动土压力系数，有

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对于无粘性土，主动土压力强度与深度z成正比，土压力分布图呈三角形（图6－5b）。据此可以求出墙单位长度总主动土压力为

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作用点位置在墙高的H/3处。

粘性土的土压力强度由二部分组成，一部分为由土的自重引起的土压力γzK_a ，随深度z呈三角形变化；另一部分为由粘聚力c引起的土压力http://course.cug.edu.cn/cug/soil_mechanics/COURSE/CHAPTER6/figure/eq6_6_1.gif ，为一负值，不随深度变化。叠加的结果如图6－5c所示。图中ade部分为负侧压力。由于墙面光滑，土对墙面产生的拉力会使土脱离墙，出现深度为z₀的裂隙。因此，略去这部分土压力后，实际土压力分布为abc部分。

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a点至填土表面的高度z₀称为临界深度，可由p_a=0求得，

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则总主动土压为：

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作用点位置在墙底往上(H-z₀)/3 处。

朗肯主动土压力的计算方法可参阅例题6-1。

三、被动土压力计算

计算被动土压力时可取σ_h为最大主应力 ，σ_v为最小主应力 。根据极限平衡理论，当墙移向土体的位移达到朗肯被动土压力状态时，在深度z处任意一点的被动土压力强度p_p的表达式为：

式中：K_p为被动土压力系数，有

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由式（6-9）和（6-10）可知，无粘性土被动土压力分布呈三角形（图6－6b），粘性土的土压力的分布为梯形（图6－6c）。单位墙长度总被动土压力为

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朗肯被动土压力的计算方法可参阅例题6-2。

一）填土表面倾斜时土压力计算

当填土表面与水平面夹角β≠0时，如果假设土压力作用方向与填土倾斜表面平行，则也符合朗肯土压力条件（图6－7），应用朗肯理论和莫尔应力圆可导出土压力计算公式，又称为应力圆法，其无粘性土主动、被动土压力强度计算公式如下：

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总主动、被动土压力计算公式为：

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图6－7　填土表面倾斜时朗肯土压力计算图式

（二）墙后填土表面上有无限均布荷载作用时的土压力计算

当墙背垂直，墙后填土表面水平并有无限均布荷载q作用时（图6－8），深度z处微分体的水平面上受有垂直应力

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垂直墙面上的土压力强度为

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总主动土压力为

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土压力分布如图6－8所示，合力作用方向通过梯形形心。

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图6－8　填土表面有无限均布荷载作用时的朗肯土压力计算图式

（三）墙后填土成层时的土压力计算

当墙后填土由几层不同物理力学性质的水平土层组成时，应先求出计算点的垂直应力σ_z，然后用该点所处土层的φ值求出土压力系数，并用土压力公式计算土压力强度和总土压力。计算时可能出现以下三种情况：

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图6－9　成层填土土压力计算

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此时在土层的分界面处将出现一转折点，土压力强度沿墙高的分布如图6－9a所示。

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此时在土层的分界面处出现一突变点。该计算点之上采用进行计算，计算点之下采用 计算，土压力强度沿墙高的分布如图6－9b所示。

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此时在土层分界面处也将出现突变点。计算方法与第二种情况相同。土压力的分布如图6－9c所示。

（四）墙后填土中有地下水时的土压力计算

当填土中有地下水时，计算挡土墙的土压力应考虑水位及其变化的影响。此时作用于墙背的土压力由土的自重压力和静水压力两者叠加而成。计算由自重应力产生的土压力时，水下土层的容重用浮容重γ′，φ值取水下值。水压力按静水压力计算。土压力和水压力的矢量和为作用于墙背上的侧压力。地下水位对土压力的影响见图6－10。

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