正态分布曲线反映了随机变量的分布规律。理论上的正态分布曲线是一条中间高，两端逐渐下降且完全对称的钟形曲线

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及project等领域都很重要的概率分布，在统计学的很多方面有着重大的影响力。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ²的高斯分布，记为：

X∼N(μ,σ²),

则其概率密度函数为

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正态分布中一些值得注意的量：

• 密度函数关于平均值对称
• 平均值是它的众数（statistical mode）以及中位数（median）
• 函数曲线下68.268949%的面积在平均值左右的一个标准差范围内
• 95.449974%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内
• 99.730020%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内
• 99.993666%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内
• 反曲点（inflection point）在离平均值的距离为标准差之处

标准偏差

http://www.360doc.com/content/17/0306/13/32342759_634411464.shtml什么是正态分布

正态概率分布是连续型随机变量概率分布中最重要的形式，它在实践中有着广泛的应用。在生活中有许多现象的分布都服从正态分布，如人的身高、体重、智商分数；某种产品的尺寸和质量；降雨量；学习成绩，特别是，在统计推断时，当样本的数量足够大时，许多统计数据都服从正态分布。下面以人的身高为例，通俗解释一下什么是正态分布？

随机抽取200位同等年龄上下的男性，测量好他们的身高之后计算出平均身高，通过将平均身高和他们各自的身高对比，我们可以轻松发现这一现象：大多数男性的身高都集中在平均身高上下浮动，有极少数男性身高很矮，也有极少数男性身高很高。这200为男性身高的概率密度函数可能如下图所示：

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实际上，这种形状十分常见，应用很广泛，它叫做正态分布。

正态分布的概率密度函数

正态分布之所以被称为正态，是因为它的形态看起来合乎理性。在现实生活中，遇到测量值之类的大量连续数据时，正常情况下都会期望看到这种形态。正态分布的概率密度函数的计算公式如下：

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其中μ＝均值，σ＝标准差，π＝3.14159，e＝2.71828。如果随机变量X符合上述概率密度函数的分布，则称X是服从参数为μ，σ2的正态分布，记为X～N(μ，σ2)。

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正态分布的概率密度函数具有下列性质；

1. 以x＝μ为对称轴的对称分布；

2. σ2指分散性，σ2值越大，正态分布的曲线越扁平、越宽；

3. 1. 以x轴为渐近线；

   2. 若随机变量X1,X2…,Xn皆服从正态分布，且相互独立，则对任意几个常数a1,a2,…,an(不全为0)，Z=a1X1+a2x2+……+anXn也服从正态分布。

   3. 正态分布求概率

      在《每天一点统计学——概率密度函数》中，我们已经知道如何使用概率密度函数求概率的方法。但是在正态分布中求概率是非常困难的，提供包括所有不同的μ和σ的正态分布表也是不可能的。所以统计学家通过一种简单的方法来解决这一问题。对于一个随机变量X～N(μ，σ2)，如果令Z=(x-μ)/σ（标准分），则随机变量Z服从μ=0,σ2=1的正态分布，记为Z～N(0,1)，称为标准正态分布。

      标准正态分布的概率密度函数为：

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   4. 例子：已知研究生完成一篇硕士论文的时间服从正态分布，平均花费2500h，标准差为400h，现随机找到一个已完成论文的学生，求：

      （1）他完成论文的时间超过2700h的概率；

      （2）他完成论文的时间低于2000h的概率；

      （3）他完成论文的时间在2400h～2600h之间的概率。

      解：用X表示完成论文的时间，则X～N(2500，400*400)。这是非标准的正态分布，如果直接计算概率是非常麻烦的，我们首先将其转化为标准正态分布，然后通过标准正态分布表查出变量的概率值。

      （1）求P(X>2700)

      Z=(x-μ)/σ=(2700-2500)/400=0.5