第1讲  定义新运算

知识要点：加、减、乘、除四则运算我们都很熟悉，在许多情况下还可以规定新的运算，如用某种新的符号表示，即成了定义新运算。如规定a△b=3a+2b，则5△3=3×5+2×3=21，其实就是将新运算转化成四则运算。解答这类问题关键是理解新运算的定义，并严格按照新运算的要求进行计算，也就是“按规定办事”。

例1、设 a□b = 4a -3b。

(1)  计算8□2；

(2)  计算（6□3）□1。

分析：理解□的含义，按规定的法则进行计算。

练习、a□b=a×b+4a，求（3□4）□2。

例2、对任意自然数a，b，规定“△”的运算为a△b=（a+2）×（b+1）—1，计算13△9。

  分析：运算之前，先让我们弄清“△”是怎样的一个运算程序，按规定a△b的“△”是用a 加2的和乘b加1的和，求出积之后，再减去1得出的差。

练习、对自然数a ，b，规定a※b=3a+2b­—2。求11※10 。

例3、规定a※b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+…+(a+b—1)，其中a，b表示自然数。

  分析：先弄清“※”的运算程序，从a开始加起，后面加数依次在a的基础上增加1，2，3，一直增加到b -1 时为止；再把这些加数求和，根据运算规定：

1※10=1+（1+1）+（1+2）+（1+3）+…+（1+10-1）=1+2+3+4+…+10=（1+10）
×10÷2=55。

练习、对自然数a，b，规定a△b=a÷b×2+3。

（1）求702△6的值；

（2）若256△X=19，求X的值。

例4、对于任何数a和b，有a△b=（a+b）÷2。

（1）计算2002△2003；

（2）运算“△”有交换律吗？

  分析：对于定义新运算中要说明“△”有交换律，需要证明对任何数a ,b,都有a△b= b△a。

练习、设a△b=a×b+a-b,  试求5△8。

作业

1、      已知1△3=1×2×3，6△5=6×7×8×9×10，求2△5。

2、      对于两个自然数a和b（a≠b）,较大的数除以较小的数，余数记为a▽b。求2003▽2002。

3、      规定a△b=a×b-(a+b),求（10△5）+（8△5）。

4、      规定a□b=(a×b) ÷(a+b),求4□6□2.4。

5、      规定a▽b=a÷b-b÷a，求6▽3。

6、a、b是自然数，规定a□b=a÷b×2+3×a-b，求169□13。

7、      对自然数a、b，规定a※b=a+b-1。

（1）计算：（7※8）※6；

（2）已知：（5※X）※X=85，求X。