数阵问题

把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在规定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图。

传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。有一天，从河里浮出其不意一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左图）。

这幅图用现在的数字表示，即为1到9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”可“九宫图”，国外称它为“魔方”或“幻方”。我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。

数阵问题的题型主要有三种：（1）辐射型；（2）封闭型；（3）综合型。

这一讲我们学习三阶幻方和辐射型数阵图。

例题与方法

 例1．将1～9九个数字填在右图正方形的九个方格中，使得每个横行、竖列和对角线上三个数的和都相等。

例2．用7、9、11、13、15、17、19、21、23构制一个三阶幻方。

例3．下面是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请你在其他位置上填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和为30。

例4．把3、4、5、6、7这五个数分别填入下图中的五个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。

例5．将1～7分别填入右图中的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

例6．把1～9九个数填入“七一”内，使每一横行、竖行的数字和是13。

练习与思考

 1．按四个填数步骤把4～12这9个数填在右图3×3的格内，制成三阶幻方。

2．用“杨辉法”，将9～17这9个数制成三阶幻方。

3．用11，13，15…，25，27这9个数制一个三阶幻方。

4.用 4,6,8,14,16,18,24,26,28制一个三阶幻方。

5．在图中空格内填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的数的和都为27。

               第5题                           第6题

6．将图中的数重新排列，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。

7．将5，6，7，8，9五个数分别填入图中，使横行、竖行三个数的和都是21。

8．将3～9这7个数填入图中的○内，使每条线段上三个○内的数的和相等。

9．将1～13这13个数分别填入图中的○内，使每条线段上四个○内的数的和相等。

10．将1～6这六个数分别填入图中的○内，使每条直线上三个○内所填数的和相等。

11．将1～8这八个数填入方格内，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格、对角线和四角四格内四个数相加的和都是18。

12．将九个不同的自然数填入九宫图中，使得每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。