到今天为止，我们已经分析了托勒密星座体系中的47个星座，今天要讲的则是托勒密星座体系中最后的一个星座三角座Triangulum了。托勒密在其著作《至大论》中，将当时已知的恒星划分为48个星座。因为古希腊人活动范围的限制，很多只在南半球才能观察到的星座在当时是未知的，直到15世纪以后航海大时代兴起时，才开始被人们发现和记录。到了1922年，国际天文学联合会大会重新整理了托勒密星座体系中的48个星座，并加上近代发现的，特别是在南半球新发现的40个新的星座，确认了至今国际通用的88个星座的说法[①] 。

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一般认为Triangulum这一星座也是古希腊天文学家伊巴谷所增的，另一些学者则认为由托勒密所加。这两个说法有一个共同点，即Triangulum是由天文学家而定义和命名的，而不是民间传说中就有的星座。后者往往与古老的神话故事有着密切的联系，并一般为神话人物、英雄或者怪兽或者与之相关的事物（比如南船座Argo Navis虽然不是英雄或怪兽，但却是传说中阿尔戈英雄们所乘的航船），并且往往有一大堆相关的神话渊源。而三角座显然没有神话时代的任何记忆，相反，“三角形”似乎是纯粹的天文学家或几何学家的专属物品。很有趣的是，几何尤其是三角几何其本身也源自古老的天文学。这大概解释了为什么这么多学者认为Triangulum乃是由古希腊天文学家所创造的原因。

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后来伊巴谷的著作都遗失了，人们说托勒密的天文体系继承和发扬了伊巴谷的学说。托勒密在《至大论》一书中，将这个星座称为Τριγωνον【三角形】，因为这个星座由三个比较亮的星构成，其基本形状就是一个简单的三角形。Τριγωνον一词由τρεις‘三’（词干为τρι-）和γωνια‘角’（词干为γων-）构成，字面意思即【三角形】。希腊语中的τρεις和拉丁语中的tres、梵语的trayas、德语的 drei、英语的three同源，意思都表示“三”。γωνια一词与希腊语的γονυ‘膝盖’同源，因为膝盖上下构成一个活动的“角”，希腊语的γονυ和拉丁语的genu、德语的Knie、英语的knee同源，都表示“膝盖”。Τριγωνον一名被拉丁语意译为Triangulum，由tres‘三’和angulus‘角’构成，字面意思也是【三角形】。拉丁语的angulus演变为英语中的angle。Triangulum一词则变为现代英语的triangle，意思也是【三角形】。

现代意义下的“三角学”一词，亦由古希腊天文学家伊巴谷所创。他将这个学问称为τριγωνον μετρον【三角度量】[②] ，英语中的三角学trigonometry就由此而来。伊巴谷一生几乎都在地中海的罗德岛Rhodes上渡过，在那里，他建了一个天文台，并使用自己发明和改进的仪器，测量计算并确定出了一千多颗恒星在天空中的精确位置，他将这些星星都标示在一张有着经纬度的地图上，这是人类史上第一张精确的恒星图。

想要精确获知每颗星的经纬度，涉及到非常复杂的坐标转换运算，需要解三角比率，从现代数学来看，就是要解三角函数。伊巴谷因此创立了三角学。他把每一个三角形（无论是平面三角形或者球面三角形）都当做圆内的一个内接三角形，这样三角形的每一个边都变成了一个弦，为了计算三角形的各个部分，我们必须把弦长作为圆心角的函数，而这就成了三角学在接下来几个世纪中的主要任务。据说伊巴谷一共写了12本关于弦长计算的书，但是后来都失传了。而托勒密《至大论》中的正弦函数表[③] 和弦长的计算方法或许直接来自伊巴谷的著作。毕竟早在公元前二世纪时，伊巴谷就将自己所推知的正弦函数大量应用在实际计算中了。

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关于正弦函数的计算，托勒密在《至大论》中将该角内接于圆。

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于是从几何上看，这个函数就非常清楚了，半角值之函数的两倍与弦长的一半成正比，其比例系数为圆的半径，用现代三角函数表示就是：

Cord（a）=2Rsin（a/2）

或许我们把这个弧度和对应的弦单独拿出来，如下如所示。

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∠ a 即下图的∠DOE，弦长Cord（a）即图中的线段DE。从这个形象来看，弧DAE非常像一只弓，而线段DE无疑就是这弓上之弦了。此时，DC部分无疑就是半弦。如果们考虑∠DOE的正弦函数值，会发现其正好是这个弓箭之弓弦长度的一半。于是古印度数学家阿耶波多Aryabhata[④] 最初研究正弦函数时，就将该函数非常形象的命名为ardha-jya【半只弓弦】。这真是一个非常传神的定义。这个名称一般简写为jiva。阿拉伯人继承和发扬了印度的数学成就[⑤] ，并将该词转写为jiba（请不要笑）。由于早期的阿拉伯文中没有元音符号，jiba一词大致相当于拉丁拼写中的jb。当欧洲学者翻译阿拉伯数学著作时，他们将这个表示正弦的jb错认为是阿拉伯语中表示“弯曲”意义的jaib[⑥] ，于是将其意译为拉丁语的sinus【弯曲】。正弦的简写sin是英国天文学教授冈特Edmund Gunter所率先使用的，他还率先将余弦写作cosinus，后者是对拉丁语comlementi sinus【正弦的补】的简写[⑦] 。

正切函数起源于古代的日影测量，其主要作用是天文计时。早先人们用日晷的投影和晷长之比来判定时间[⑧] ，而这个比值即为正切函数的雏形。人们将直立杆在地面的投影称之为umbra recta【直立杆之投影】，将垂直于墙面的水平杆在墙面的投影称为umbra versa【倒杆之投影】，这二者分别演变成后来的余弦函数和正弦函数[⑨] 。

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现代的正弦函数是1573年丹麦数学家芬克Thomas Fincke命名的，他将这个函数称为tangens，后者是拉丁语动词tangere‘to touch’的现在分词形式，字面意思为【touching】。英语的tangent由该词演变而来。要理解这个名称，我们还需要将这个函数置于圆中来考虑。如下图所示，先做一个半径为1的单位圆 O，然后以此圆心为原心建立直角坐标系，由单位圆与任意角θ的交点D向横坐标引垂线，交OA也就是横坐标于点C。同时，我们在横坐标右侧与单位圆交点A处作圆的切线，与θ角相交于B点。

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于是我们知道， sinθ就是线段CD之长，也就是上文所说的ardha-jya【半只弓弦】。而角θ的正切值tanθ则为线段AB之长， 正切值secθ为线段OB之长。

注意到角θ的正弦值对应线段AB，而AB所在直线与这个圆正好紧紧的挨着，这形象的说明正切tangens【touching】一名的来历。而正割函数在拉丁语中称为拉丁语的secans，该词为拉丁语动词secare的现在分词形式，字母意思为【cutting】。我们看到图中正割函数所对应的线段OB正像一把刀一样，将圆O割裂成为了两部分，这不也是对正割函数secans非常形象的解释么！