和倍差倍问题 

 

 

    已知小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共88棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的3倍.小华栽了多少花？小瓜种了多少瓜？

  一篮苹果比一篮梨少21个，梨的数量是苹果的4倍.苹果和梨各多少个？象这样几个数的和，及相互间的倍数关系，分别求这几个数的问题称为和倍问题.已知几个数的差，及相互间的倍数关系.分别求这几个数的问题称为差倍问题.

 

 对应关系：种瓜的棵数？——1倍   栽花的棵数？——3倍，棵数和88棵——(3＋1)倍　解 88÷(3＋1)＝22(棵)，22×3＝66(棵).答：小华栽花66棵，小瓜种瓜22棵.对应关系：苹果的数量？——1倍，梨的数量？——4倍，数量差21个——(4—1)倍，解 21÷(4－1)＝7(个)，7×4＝28(个).答：一篮苹果7个，一篮梨28个.

  中间变换叙述方式的问题：一块长方形的地，长是宽的2倍，周长是108米，它的面积是多少平方米？周长108÷2=54，得到长与宽的和，然后在使用和倍问题解决。

两个物体的平均重量是27千克，甲物体重量是乙物体重量的2倍，两物体各重多少千克？修一条1.08千米长的隧道，甲、乙两队同时从两头向中间开凿，20天开通，甲队每天凿进的米数是乙队的2倍，甲、乙两队每天各开凿多少米？

练习：

　1.10元一张与5元一张的钱共175元，10元的张数是5元张数的3倍.求两种票面额的钱各有多少元？

 2.有两根绳子，长的比短的长1倍，现在把每根绳子都剪掉6分米，那长的一根就比短的一根长两倍.问这两根绳子原来的长各是多少？

 3.机床厂原有专用机床108台，普通机床60台，如果把专用机床数调整到普通机床的5倍，应将多少台普通机床改为专用机床？

 4.甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调24人到乙车间.这时乙车间人数是甲车间的4倍.甲、乙两个车间原来各有多少人？

 5.水果商店有5筐等重量的苹果，如果从每筐里取出30千克，5筐里剩下的苹果重量正好等于原来两筐苹果的重量.原来每个筐里苹果重多少千克？

 6.甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数是丙数的3倍少2，求三数.

 

 

 

1、和倍问题

 

【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

 

【数量关系】

 

总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数

 

总和 － 较小的数 ＝ 较大的数

 

较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数

 

【解题思路和方法】

 

1、根据题意画线段图，看图列式。

 

2、简单的题目在理解的基础上直接利用公式，复杂的题目变通（理解）（画图帮助理解）后利用公式。

 

例1 果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

 

解 （1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）

 

     （2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）

 

答：杏树有62棵，桃树有186棵。

 

例2 东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

 

解 （1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）

 

     （2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）

 

答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。

 

例3 甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

 

解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，

 

那么，几天以后甲站的车辆数减少为

 

（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）

 

所求天数为 （52－28）÷（28－24）＝6（天）

 

答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

 

例4 甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

 

解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

 

因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；

 

又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；

 

这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，

 

甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

 

乙数＝28×2－4＝52

 

丙数＝28×3＋6＝90

 

答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

 

2、差倍问题

 

【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

 

【数量关系】

 

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

 

较小的数×几倍＝较大的数

 

【解题思路和方法】

 

基本解题思想同和倍问题。

 

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

 

例1 果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

 

解 （1）杏树有多少棵？ 124÷（3－1）＝62（棵）

 

（2）桃树有多少棵？ 62×3＝186（棵）

 

答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

 

例2 爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？

 

解 （1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）

 

（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

 

答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

 

例3 商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

 

解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此

 

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）

 

本月盈利＝18＋30＝48（万元）

 

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

 

例4 粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

 

解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此

 

剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）

 

运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）

 

运粮的天数＝72÷9＝8（天）

 

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

 

 

和倍、差倍与和差问题

 

 一、趣题引入 

 

有一天，哥哥与弟弟对话说年龄。哥哥对弟弟说：“当我是你今年的岁数那一年，你刚刚4岁。”哥哥说完，弟弟想了想，也说：“当我长到你今年的岁数时，你就是19岁了。”聪明的读者，你知道哥哥、弟弟今年各几岁吗？ 

 

这是一道有关年龄的问题，不管哥哥、弟弟是在过去、现在或是将来，他们的年龄差是不变的。当哥哥是弟弟现在的岁数时，弟弟的年龄应是现有年龄减少一个年龄差；当弟弟是哥哥现在的岁数时，哥哥的年龄是现有年龄增加一个年龄差，因此19-4=15，15应是三倍年龄差。所以，哥哥弟弟的年龄差为5岁。因此弟弟今年是5 4=9岁，哥哥是19-5=14岁。 

 

二、知识点 

 

 

和倍问题是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题；差倍问题是已知两个数的差及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题；和差问题是已知两个数的和及这两个数的差而求这两个数各是多少的应用题。有时，题目的条件可能适当变化，不局限于两个数，可能是三个数或更多一些的数。 

 

 

三、例题分析 

 

 

例1: 秋收之后，红星农场把56000千克粮食分别存入两个仓库，已知往第一个仓库里存放的粮食是第二仓库的3倍，求两个仓库各存粮食多少千克？ 

 

 

分析与求解：我们可以把容量较小的第二仓库存放的粮食数看作是1份，那么第一仓库的存粮数就是3份，两个仓库粮总数是56000千克，就相当于第二仓库存粮数的4份，于是第二仓库存粮数即可求得。 

 

 

（1）第二仓库存粮数：56000÷（3 1）=14000（千克） 

 

（2）第一仓库存粮数：4000×3=42000（千克） 

 

答：第一仓库存粮42000千克，第二仓库存粮14000千克。 

 

 

例2：果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵，梨树比桃树的2倍多24棵，核桃树比桃树少18根。求梨树、桃树及核桃树各有多少棵？ 

 

 

分析与分解： 

 

已知条件中可以看出，梨树比桃树2倍多24棵，核桃树比桃树少18棵，都是同梨树相比较，可见以桃树的棵数为标准，也就是把桃树的棵数看作1份的话，便可知其他树所占份数。给核桃树增加18棵，那么就和桃树相等了，也就是核桃树也占1份了，再从梨树里减少24棵，那么就相当于桃树的2倍了，也是占有2份。如果这样做的话，总棵数就变成（526 18-24）=520棵了，恰好是4份，也就是相当于桃树颗数的4份。 

 

 

 

（526 18-24）÷（2 1 1） 

 

=520÷4 

 

=130（棵） 

 

桃树正好占一份，因此桃树有130棵 

 

梨树有：130×2 24=284（棵） 

 

核桃树有：130-18=112（棵） 

 

答：梨树、桃树及核桃树分别为284棵、130棵及112棵。 

 

 

例3：被除数除以除数商是4，余数是3。而被除数、除数、商及余数的和是155。求被除数、除数各是多少？ 

 

 

分析：先从155里减去商及余数，剩下的数就是被除数及除数的和：155-4-3=148 

 

被除数是除数的4倍，还多3，因此差将除数看作一份的话，那么被除数是4份多3，见下图。 

 

 

除数占1份，因此除数为（148-3）÷（4 1）=29 

 

被除数占4份多3，因此被除数为29×4 3=119 

 

答：被除数是119，除数是29。 

 

 

 

例4：四（1）班与四（2）班原有图书的本数一样多，后来四（1）班又买来新书118本，四（2）班从本班原有书中取出70本送给一年级同学，这时，四（1）班的图书是四（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？ 

 

 

（1）后来，四（1）班比四（2）班多的书：118 70=188本 

 

（2）多出的188本仅占2份，因此每份书为：188÷（3-1）=94本 

 

∴原来有图书本数为：94 70=164本（两班原有书一样多） 

 

答：两班原有图书均为164本。 

 

 

例5：父亲年龄现年39岁。问几年前，父亲年龄是儿子的4倍？ 

 

分析：父亲与儿子的年龄差为39-12=27。由于年龄总是不变的，因此当父亲年龄是儿 

 

子年龄的4倍时，儿子的年龄是： 

 

27÷（4-1）=9（岁） 

 

12-9=3（年） 

 

答：3年前，父亲年龄是儿子的4倍。 

 

 

例6：甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋6250箱，先从甲库运走1100箱后，这时乙库存的鸡蛋比甲库剩下的2倍还多350箱，求甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱？ 

 

 

（i） 先求出每份有多少箱？ 

 

（6250-1100-350）÷（1 2）=1600（箱） 

 

（ii） 甲库原存鸡蛋： 

 

1600 1100=2700（箱） 

 

（iii） 乙库原来存鸡蛋： 

 

1600×2 350=3550（箱） 

 

答：甲库原存鸡蛋2700箱，乙库原存鸡蛋3550箱。 

 

 

例7 一个小学生在期末考试时，语文、数学两门功课的成绩平均是91.5分，又知数 

 

学成绩比语文成绩多5分，求这两门功课各多少分？ 

 

 

解一：语文、数学一共有91.5×2=183(分) 

 

语文成绩：（183-5）÷2=89分 

 

数学成绩：（183 5）÷2=94分 

 

解二：数学比语文多5分，因此数学分比平均分高2.5分，语文分比平均分低2.5分。 

 

因此：语文分：91.5-2.5=89(分) 

 

数学分: 91.5 2.5=94分 

 

答: 语文分是89分，数学分是94分。 

 

 

 

四、习题部分 

 

 

1、甲水池有水5200立方米，乙水池有水2400立方米，如果甲水池里的水以每分钟44立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的3倍。 

 

 

2、把1296分为甲、乙、丙、丁四个数，如果甲数加上2，乙数减去2，丙数乘以2，丁数除以2，则四个数相等。求这四个数各是多少？ 

 

 

3、柳树沫村原有水田510亩，旱田230亩，今冬明春计划把一部分旱田改为水田，使全村水田的亩数是相当于旱田的3倍，求要把多少亩旱田改为水田。 

 

 

4、甲、乙两城相距135千米，小张于上午7点骑自行车从甲城出发去乙城，小李于上午8时骑摩托车从乙城出发去甲城。张、李二人于上午10点在途中相遇，如果摩托车的速度是自行车速度的3倍，那么摩托车和自行车的速度各是每小时多少千米？ 

 

 

5、甲、乙两数的和是80，甲数的5倍与乙数的3倍的和是314，求甲、乙二数各是多少？ 

 

 

6、甲、乙两仓库共存黄豆84500千克，从甲仓取出6500千克，从乙仓取出4000千克后，两仓余下的黄豆恰好相等，求甲、乙两仓原来各存黄豆多少千克？ 

 

 

7、一批石油，如果用甲种油罐车装运，需要20辆，如果用乙种油罐车装运，需要25辆。已知甲种油罐车比乙种油罐车每辆多装2吨。求这批石油共多少吨？ 

 

 

8、把161分成两个数，使两个数的和是两数之差的7倍，求这两个数各是多少？ 

 

 

9、兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁，而别人不会长大。有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍。”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大。”这时他们俩各几岁？ 

 

 

10、水果店运来的西瓜个数是哈蜜瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后还剩下70个西瓜。问：水果店运来的西瓜和哈蜜瓜共有多少个？ 

 

 

五、答案及思路分析 

 

 

 

1、解：当乙水池中水是甲水池中水的3倍时，两个水池水的总量仍是5200 2400=7600立方米，如果把甲池的看作1份的话，那么此时乙水池的水应有3份，每1份水的体积应是： 

 

7600÷（1 3）=1900（立方米） 

 

因此甲池现有水1900立方米。 

 

从甲池流走的水有：5200-1900=3300（立方米） 

 

因此时间是：3300÷44=75（分钟） 

 

答：75分钟后，乙水池中的水是甲水池的3倍。 

 

 

2、解：四个数相等时，每个数均可看成是“1”份，那么 

 

 

由图可知：甲数原来是1份少2； 

 

乙数原来是1份多2； 

 

丙数原来是0.5份； 

 

丁数原来是2份。 

 

从而可得出每份： 

 

（1296 2-2）÷（1 1 0.5 2） 

 

=1296÷4.5 

 

=288 

 

由此可知：甲数是286，乙数是290，丙数是144，丁数是576。 

 

 

3、田的总数是：510 230=740，改造后旱田看作”1”份，那么水田占3份，因此每份应是 740÷（3 1）=185（亩） 

 

因此被改造的旱田有：230-185=45（亩） 

 

 

4、将小张骑自行车每小时走的路程看作“1”份，则小李骑摩托车每小时走3份路程 

 

 

共计9份，因此每份路程是：135÷9=15（千米） 

 

因此自行车速度是每小时15千米；15×3=45千米，摩托车车速是每小时45千米。 

 

 

5、解：甲、乙两数和是80，两个数的3倍的和是：80×3=240 

 

而甲数的5倍与乙数的3倍的和是314， 

 

因此甲数的2倍是：314-240=74 

 

∴ 甲数是：74÷2=37 

 

乙数是：90-37=43 

 

 

6、略解：84500-6500-4000=74000（千克） 

 

74000÷2=37000（千克） 

 

37000 65000=43500（千克） 

 

37000 4000=41000（千克） 

 

答：甲、乙两仓原来各存黄豆分别是43500千克和41000千克。 

 

 

7、略解：20×4=40（吨） 

 

25-20=5（辆） 

 

40÷5=8（吨） 

 

8×25=100（吨） 

 

答：这批石油共有100吨。 

 

 

9、略解：从弟弟话中可以得知：弟弟比哥哥小3岁。 

 

再从哥哥的话中可以得，当哥哥年龄加3以后，是弟弟现在龄的2倍。 

 

也就是当哥哥比弟弟大6岁时，哥哥的年龄是弟弟的两倍，所以弟弟今年6岁，哥哥今年6 3=9岁。 

 

 

10、假定每天卖36个哈蜜瓜时，卖出的西瓜是36×4=144个。则哈蜜瓜和西瓜一定同时卖完。 

 

事实上每天少卖144-130=14个。 

 

当哈蜜瓜卖完时，哈蜜瓜多了70个，因此： 

 

70÷14=5（天） 一共卖了5天瓜。 

 

36×5=180个 180×4=720（个） 

 

所以，水果店运来的西瓜是720个，哈蜜瓜是180个。 

 

720 180=900（个） 

 

答：水果店共运来的西瓜和哈蜜瓜是900个。 

 

 

 

 

差倍问题

知识提要

   1、差倍问题的定义:已知两个数的差与这两个数的倍数关系，求这两个数各是多少。

  2、差倍问题的特点：已知两个数的差，两个数的倍数关系。

  3、差倍问题解题关键：找出两个数的倍数关系及其相应的差。

4、差倍问题解题方法：    采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径，

   5、差倍问题基本数量关系式：

（1）两数差  ÷（倍数-1）=1倍数（较小的数）

                （2）1倍数 × 倍数=几倍数（较大数）   或：两数差小数=大数

例题精讲

例1、小鹏又在文具店买的一支钢笔比一支圆珠笔贵8元，已知钢笔的价钱是圆珠笔的5倍，钢笔、圆珠笔各是多少钱？

分析：画线段图，从图中可以看出：如果把圆珠笔的价钱看作1份，钢笔的价钱就有这样的5份，比圆珠笔多5-1=4份，4份是8元，一份就是8÷4=2元，即圆珠笔的价钱是2元，那么钢笔的价钱也就可以求出来了。

解：一支圆珠笔：8÷（5-1）=2（元）一支钢笔：2×5=10（元）或2 8=10（元）

答：一支钢笔10元，一支圆珠笔2元。

【练习1】

1、小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。小明买了苹果和梨各多少个？

 

 

2、学校合唱组的女同学人数是男同学的4倍，女同学人数比男同学多42人。合唱组有女同学和男同学各多少人？

 

 

3、一件皮衣价钱是一件羽绒衣价钱的5倍，已知一件皮衣比一件羽绒衣贵960元。皮衣和羽绒衣各多少元？

 

 

例2、甲仓库的存粮是乙仓库的5倍，如果从甲仓库调入乙仓库42吨存粮，两个仓库的存粮就正好相等，原来两个仓库各有存粮多少吨？

分析：由“如果从甲仓库调入乙仓库42吨存粮，两个仓库的存粮就正好相等”可知，甲仓比乙仓多存粮42×2=84吨，画线段图，从图可以看出：如果把乙仓库的存粮看作1份，甲仓的存粮就有这样的5份，甲仓比乙仓多5-1=4份，4份是84吨，1份就是84÷4=21吨，即乙仓存粮21吨，那么甲仓的存粮也就可以求出来了。

解：甲与乙的差：42×2=84（吨）乙仓库存粮：  84÷（5-1）=21（吨）

       甲仓库存粮21×5=105（吨）或84 21=105（吨）

答：原来甲仓库存粮105吨，乙仓库存粮21吨。

【练习2】

1、甲筐苹果是乙筐苹果的3倍，如果从甲筐取出60千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等，两筐原来各有多少 

 

2、一个书架上层的本数是下层的倍，如果从上层拿出69本放到下层，则上、下两层书的本数正好相等。原来上、下两层各有多少本？

 

 

3、有两水桶，大桶水的重量是小桶水的3倍，如果大桶里倒掉40千克的水，则两只桶里的水的重量就同样多。两只桶里原来有水各多少千克？

 

 

例3、有两框重量相等的苹果，第一框加入20千克，第二框取出8千克，则第一筐苹果的重量是第二框的3倍。两框苹果原来各重多少千克？

       分析：根据“两框重量相等的苹果，第一框加入20千克，第二框取出8千克”可知第一框比第二框多了20 8=28千克，再根据“第一筐苹果的重量是第二框的3倍”画出线段图，从图中可以看出：如果把现在第二框的重量看作1份，现在第一框苹果的重量就是3份，多的28千克是这样的3-2=2份，2份是28千克，1份是28÷2=14千克，即第二框现在有14千克，那第一筐现在有14×3=42千克，那原来两框各有多少千克也可以求出来了。

解：现在第一框和第二框的苹果差20 8=28（千克）

       现在第二框的苹果28÷（3-1）=14（千克）

      原来两框苹果各有14 8=22（千克）或14×3-20=22（千克）

答：两框苹果原来各重22千克。

 

【练习2】

1、甲乙两人存有相同多的钱，如果甲再存入800元，乙取出200元，则甲存的钱是乙的2倍。原来两人各存钱多少元？

 

 

2、有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？

 

 

 

3、顿悟教育三(1)班与三(2)班原有图书数一样多.后来，三(1)班又买来新书74本，三(2)班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三(1)班图书是三(2)班的3倍，求两班原有图书各多少本?

 

 

 

例4、有两根铁丝，第一根长48米，第二根长36米，两根用去同样长得一段后，长的一根是短的3倍。后来两根铁丝各长多少米？

分析：画线段图，从图可以看出：原来两根铁丝相差48-36=12米，用去同样长的一段后两根铁丝还是相差12米，如果把后来第二根铁丝的长度看作1份，后来第一根铁丝的长度就有这样的3份，相差3-1=2份，2份是12米，一份就是12÷2=6米，即后来第二根铁丝长6米，那么后来第一根铁丝的长度也就可以求出来了。

解：两根铁丝长之差     48-36=12（米）  后来第二根铁丝长 12÷（3-1）=6（米）

     后来第一根铁丝长   6×3=18（米）

【练习3】

1、教室里有男生36人，女生15人，走掉相同个数的男生和女生后，教室里男生人数是女生人数的8倍，后来教室里各有男、女生多少人？

 

 

2、班级图书柜里有故事书58本，科普书34本，被同学们借走相同本数后，故事书的本数是科普书的7倍，图书馆的故事书和科普书各被借走多少本？

 

 

3、两桶油，甲桶有油26千克，乙桶有油2千克，加入相同重量的油后，甲桶的重量是乙桶的5倍，后来乙桶有油多少千克？

 

 

 

例5、有两堆煤，第一堆的重量是第二堆的3倍，第堆煤运走80吨，第二堆煤运走20吨，剩下煤的重量正好相等。这两堆煤原来各有多少吨？

   分析：画出线段图，从图中可看出：原来第二堆煤的重量看作1份，则第一堆煤的重量就有这样的3份。80吨与20吨相差的重量60吨就是第二堆煤重量的3-1=2倍，60÷2=30吨求得的是第二堆煤的重量，那么第一堆煤的重量也可以求出来了。

解：原来两堆煤的差 80-20=60（吨）

      原来第一堆煤的重量60÷（3-1）=30（吨）

      原来第二堆煤的重量  30×3=90(吨）

答：原来第一堆的重量是30吨，原来第二堆煤的重量是90吨。

【练习3】

1、菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克?

 

2、有两根钢丝，第一根的长度是第二根的4倍，第一根减去150米，第二根减去30米，剩下的长度正好相等，这两根钢丝原来各长多少米？

 

3、亚洲杯决赛中，中国记者的数量是外国记者数量的3倍.比赛结束后中国记者有180人离场，外国记者有40人离场，剩下的中、外记者数量相等.原来中、外记者各有多少人？

 

 

【 思维小结】

        和倍问题和差倍问题的特征和解题方法很相似，如果知道了两个数的差与两个数的倍数关系，要求各个数是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先求出差和相对应的倍数，然后求出1倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。

 

 

 

 

 

 

 

。求大、小二数各是多少？

 

这题中有“差”、有“倍数”，通常叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用：小数＝差÷(倍数－1)。式子中1即“1倍”数代表小数。

 

上式称为差倍公式。由此得到

 

大数＝小数＋差，或 大数＝小数×倍数。

 

根据上面公式可求得上例中大、小二数分别为：

 

小数＝152÷(5－1)＝38，

 

大数＝38＋152＝190或38×5＝190。

 

例1 、王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？

 

分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。由差倍公式可以求解。

 

解：徒弟一天生产零件

 

128÷(3－1)＝64(个)，

 

师傅一天生产零件

 

128＋64＝192(个)或64×3＝192(个)。

 

答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。

 

例2、 两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米？

 

分析与解答：这题的“差”＝30，倍数＝4，由差倍公式得

 

短的电线长

 

30÷(4－1)＝10(米)，

 

长的电线长

 

10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。

 

答：短的电线长10米，长的电线长40米。

 

解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么。上两例中，“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和“1倍”数的例子。

 

例3、 甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各有多少人？

 

分析：“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同(不影响他们二队人数之差)，所以，甲、乙两队人数之差仍是56－34＝22(人)。

 

解：由差倍公式得调动后乙队有

 

(56－34)÷(3－1)＝11(人)。

 

调动后甲队有

 

11×3＝33(人)或11＋(56－34)＝33(人)。

 

答：调动后甲队有33人，乙队有11人。

 

例4 、甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？

 

分析与解答：当甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”数是甲桶里剩下的油，差是26＋14＝40(千克)。由差倍公式知，

 

“1倍”数＝(26＋14)÷(3－1)＝20(千克)。

 

故甲、乙桶原来各有油

 

20＋26＝46(千克)，

 

或 20×3－14＝46(千克)。

 

答：原来各有46千克。

 

例5 、小云比小雨少20本书，后来小云丢了5本书，小雨新买了11本书，这时小雨的书比小云的书多2倍。问：原来两人各有多少本书？

 

分析与解：“小雨的书比小云的书多2倍”，即小雨的书是小云的书的3倍。这个“倍数”是变化后的，所以“1倍”数应是小云变化后的书。“差”是 20＋5＋11＝36(本)。

 

根据差倍公式得：

 

小云现有书

 

(20＋5＋11)÷(3－1)＝18(本)。

 

小云原来有书18＋5＝23(本)，

 

小雨原来有书23＋20＝43(本)。

 

答：原来小云有23本书，小雨有43本书。

 

通过上面的例子分析，你会解答下面的问题吗？试试看。

 

        1.  哥哥的图书本数比弟弟多60本，哥哥的图书本数是弟弟的3倍，哥哥和弟弟各图书多少本？

 

        2.  菜场运来的西红柿是黄瓜的3倍，卖出西红柿950千克，黄瓜120千克后，剩下的两种蔬菜重量相等，菜场运来西红柿和黄瓜各多少千克？

 

        3.  两袋盐的重量相等，甲袋取出24千克，乙袋装入28千克，这时乙袋的重量是甲袋的3倍 ，甲乙两袋原来各有盐多少千克？

 

        4.  甲筐有梨400个，乙筐有梨240个，现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐是乙筐的5倍，两筐所剩的梨各有多少个?