初等数学方法建模练习题

 

1．某人平时下班总是按预定时间到达某处，然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？

 

2．某人第一天由A地去B地，第二天由B地沿原路返回A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。

 

3. 交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。

 

4. 飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。

 

5．商人们怎样安全过河

三名商人各带一个随从乘船渡河。现此岸有一小船只能容纳两人，由他们自己划行。若在河的任一岸随从人数比商人多，他们就可能抢劫财物。不过如何乘船渡河的大权由商人们掌握。商人们怎样才能安全过河呢? 若是四名商人情形又如何？此外小船可容纳三又如何？

 

6．汽车刹车距离

   美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：

   正常驾驶条件下，车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度，实现这个规则的简便方法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。

   判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。

 

7. 搭积木问题

   将一块积木作为基础，在它上面叠放其他积木，问上下积木之间的“向右前伸”可以达到多少？

 

 

 

 

 

 

 

 

8. 蜂房结构

小小的蜜蜂能够建造出精巧的蜂房，这是自然界的奇观之一。
　 蜂房的基本结构是一个个六角形巢房，每一个巢房是一个尖顶六棱柱。它实际上是由有底的正六棱柱ABCDEF--A₁B ₁C₁D₁E₁F₁被通过上底平面的对角线截后沿对角线翻转180度所得。
　 棱形APCP₁内角为多大时，尖顶六棱柱表面积最小。等价问题：切角∠BCP₁为多大时，尖顶六棱柱的表面积最小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

为什么蜂房是这样的一种形状呢？它与材料 和体积有什么关系？

18世纪法国学者马拉尔琪曾测量过蜂窝的尺寸，发现菱形APCP1的内角分别是109°28'和70°32'。法国物理学家列奥缪拉对这个问题很感兴趣。他请教了巴黎科学院院士瑞士数学家克尼格。克尼格的计算结果令人非常震惊。假设蜂房的容积一定要使材料最省，这两个角度应分别是109°26'和70°30'，这与蜂窝的角度仅差两分。
　　后来苏格兰数学家马克劳林又重新计算一次，发现蜜蜂是对的，而克尼格反而算错了，因为他所用的对数表印错了。
　　看来，小蜜蜂建造的蜂房确实是为了使体积最大而材料最省。

 

9. 对四种赛艇 (单人，双人，四人，八人) 4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

 

 

 

10. 经试验，一盘录象带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152。

   在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？

   提示：思考：计数器读数是均匀增长的吗？

        录象机计数器的工作原理

 

 

 

 

11. 甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

   用x, y 分别表示甲(乙)占有X，Y的数量。设交换前甲占有X的数量为 x₀，乙占有Y的数量为 y₀，作图：

  

若不考虑双方对X，Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x, y) 都是一种交换方案：甲占有 (x, y)，乙占有 (x₀-x, y₀-y)。

 

12. 传送带的效率问题：

  

工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

 

13. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。

 

14．长方形椅子稳定性问题。