一、样本均值是否为固定值的检验

原理：

（1）       当总体服从正态分布，则抽样样本的均值服从t分布，

即：

(样本均值-总体均值)/S/sqrt(n) ~ t(n-1)

这里的S=样本值与样本均值的平方和/(n-1)

注1：该定理不需要用到样本的方差，所以当方差未知，可以求助该定理

注2：由于当n足够大，t分布与z分布接近，所以当n足够大，直接用z分布近似，这也就是为什么通常统计书里面，对于大样本方差未知的case，即使是正态分布，还是采用z分布计算（只是没有电脑时代的一种习惯的延续）

注3：t分布比正态分布平坦和分散。

（2）       当总体服从正态分布，抽样样本的均值服从正态分布（方差与总体方差相关）

注1：z分布要求方差已知，但是现实很少有这种情况，因此z分布其实没有太大意义，但是由于t分布当n较大，接近z分布，为了方便，统一采用z分布来计算

注2：与（3）不一样的地方，这里对n是没有限制的。

（3）       当总体不服从正态分布，若抽样样本足够大（n大于30，经验值），且总体的方差有限，那么样本均值近似服从正态分布。

注1：这里均值分布的方差与总体的方差有关，当总体方差未定，怎么办？采用样本方差来近似（MARK：原理是在大样本条件下，总体方差可以用样本方差来近似，推导过程是什么？）

注2：大样本和小样本之间并不是以样本容量大小来区分的，在样本容量固定的条件下所进行的统计推断、问题分析，不管容量有多大，都成为小样本问题(MARK：不是特别理解)。而在样本容量n->无穷的条件下进行的统计推断则为大样本问题。

判断使用方法：

总结：通常我们用到的都是大样本，方差未知，所以统一采用z分布来做

R代码：

t.test()

二、样本均值是否相等的检验

原理：

（1）       两个样本来源于独立的正态总体，则样本之差服从t分布

其中用到的参数只与样本相关，与总体参数无关。

注1： 当方差未知，但是相等，s_p=[(n1-1)s1^2+(n2-1)s2^2]/(n1+n2-2)

注2： 当方差未知，但不相等，均值之差标准化后服从自由度为v的t分布，v依赖于s1，s2和n1，n2

注3：当n较大的时候，可以用样本方差替代总体方差，因此也可以采用z分布

（2）       两个样本来源于独立的正态总体，样本之差服从z分布

注1：样本之差服从z分布，其中用到了总体的方差参数

（3）       两个样本来源于独立的分布，当样本量足够大，样本之差近似服从z分布

在R中，只要总体方差不一致，就采用Welch重新计算自由度

总结：通常都是大样本，在R中，采用t.test，只要方差不相等，都使用welch检验，重新计算自由度。