解决共点力平衡问题的八种方法

Solve total points force balance problem eight kinds of methods

李庆林

（山东泰安 肥城一中 271600）

纵观近几年高考，无论是课标卷还是全国及其他省市非课标卷，共点力平衡问题始终是高考考查的重点和热点，因此也必然引起了大家在高考备考中的重视。笔者最近几年一直从事高三教学和指导，就此问题做一归纳和梳理，以期对正在迎考的莘莘学子有所助益。

一、正交分解法：

将各力分解到 轴上和 轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件 多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。值得注意的是，对、方向选择时，尽可能使落在 、 轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力

【例题】（广东2010-13）.图2为节日里悬挂灯笼的一种方式，A、B点等高，O为结点，轻绳AO、BO长度相等，拉力分别为F_A 、F_B，灯笼受到的重力为 G．下列表述正确的是  

   A．F_A一定小于G

   B．F_A与F_B大小相等

   C．F_A与F_B是一对平衡力

   D．F_A与F_B大小之和等于G

 

 

 

 

解析：三力平衡问题，用正交分解法，设∠AOB=2θ，O点受到F_A、Ｆ_Ｂ、F三力作用，其中F=G，建立如图所示的坐标系，列平衡方程得：

 

FA

FB

G

θ

θ

 

 

解出：  当θ=120⁰时：；当θ<120⁰时：；当θ>120⁰时：故选B

 

二、整体法：

当系统有多个物体时，选取研究对象一般先整体考虑，若不能解答问题时，再隔离考虑

【例题】（山东2010-17）如图所示，质量分别为 、 的两个物体通过轻弹簧连接，在力 的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动（ 在地面， 在这保），力 与水平方向成 角。则 所受支持力N 和摩擦力 正确的是（   A C  ）

A.

B.

C.

D.

【例题】（2008年海南）如图，质量为M的楔形物块静置在水平地面上，其斜面的倾角为θ．斜面上有一质量为m的小物块，小物块与斜面之间存在摩擦．用恒力F沿斜面向上拉小物块，使之匀速上滑．在小物块运动的过程中，楔形物块始终保持静止．地面对楔形物块的支持力为（ D ）

 

M

m

θ

F

 

A．（M+m）g         B．（M+m）g－F

C．（M+m）g +Fsinθ   D．（M+m）g－Fsinθ 

【例题】有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F_N和摩擦力f的变化情况是（ B ）

 

O

A

B

P

Q

 

A．F_N不变，f变大   B．F_N不变，f变小

C．F_N变大，f变大   D．F_N变大，f变小

 

三、合成分解法

利用力的合成与分解能解决三力平衡的问题，具体求解时有两种思路：一是将某力沿另两力的反方向进行分解，将三力转化为四力，构成两对平衡力。二是某二力进行合成，将三力转化为二力，构成一对平衡力

【例题】（江苏2009-2）用一根长1m的轻质细绳将一副质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为，为使绳不断裂，画框上两个

   挂钉的间距最大为（取）www.ks5u.com

       A．            B．

       C．             D．

 【解析】熟练应用力的合成和分解以及合成与分解中的一些规律，是解决本题的根本；一个大小方向确定的力分解为两个等大的力时，合力在分力的角平分线上，且两分力的夹角越大，分力越大。题中当绳子拉力达到F=10N的时候，绳子间的张角最大，即两个挂钉间的距离最大；画框受到重力和绳子的拉力，三个力为共点力，受力如图。绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子长为L0=1m,则有，两个挂钉的间距离，解得 m，A项正确。

 

【例题】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m₁和m₂的小球．当它们处于平衡状态时，质量为m₁的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°两小球的质量比为（  ）

 

m1

m2

o

 

A．    B．   C．   D．

解析：本题有多种解法，正弦定理、相似三角形、正交分解等，此处用正弦定理．受力分析如图，等腰三角OAB中，α=60°故∠OAB=∠OBA=60°则有几何关系得：三角形DCA中，∠CDA=30°，∠DCA=120°由正弦定理有：

m1

m2

O

N

T

B

m1g

D

A

 

      

所以：    正确选项为A

四、三角形相似法

“相似三角形”的主要性质是对应边成比例，对应角相等。在物理中，一般地，当涉及到矢量运算，又构建了三角形时，可考虑用相似三角形。

【例题】如图所示，光滑大球固定不动，它的正上方有一个定滑轮，放在大球上的光滑小球（可视为质点）用细绳连接，并绕过定滑轮，当人用力F缓慢拉动细绳时，小球所受支持力为N，则N，F的变化情况是（ B ）

 

O

F

 

A．都变大；   B．N不变，F变小；

C．都变小；   D．N变小， F不变。

【例题】如图所示竖直绝缘墙壁上的Q处有一固定的质点A，Q正上方的P点用丝线悬挂另一质点B， A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角，由于漏电使A、B两质点的带电量逐渐减小。在电荷漏完之前悬线对悬点P的拉力大小（ A ）

 

A

B

θ

P

Q

 

A．保持不变；  B．先变大后变小；

C．逐渐减小；  D．逐渐增大。

【例题】如图所示，小圆环重G，固定的竖直大环的半径为R。轻弹簧原长为L（L<2R）其倔强系数为K，接触面光滑，求小环静止弹簧与竖直方向的夹角θ？

 

解析：小球受力如图所示，有竖直向下的重力G，弹簧的弹力F

圆环的弹力N，N沿半径方向背离圆心O．

利用合成法，将重力G和弹力N合成，合力F合应与弹簧弹力F平衡，由几何知识图中力的三角形△BCD与△AOB相似，设AB长度为l由三角形相似有：

=  = ，即得F =

另外由胡克定律有F = k（l-L），而l = 2Rcosφ

联立上述各式可得：cosφ = ，φ = arcos

 

五、图解法

【例题】（94全国高考题）重为G的物体系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形的支架BAD上，如图所示，若固定A端的位置，将OB绳子的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置C的过程中，则以下说法正确的是（ BD ）

 

G

A

C

B

O

D

 

A．OB绳上的拉力先增大后减小

B．OB绳上的拉力先减小后增大

C．OA绳上的拉力先减小后增大

D．OA绳上的拉力一直逐渐减小

【例题】重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F₁、F₂各如何变化？

 

F1

F2

G

 

解析：F₁逐渐变小，F₂先变小后变大。

 

G

F2

F1

F1

F2

G

 

【例题】（湖北重点中学2008 届联考）半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN．在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图．现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止．则在此过程中，下列说法中正确的是（ BC ）

 

N

M

Q

P

 

A．MN对Q的弹力逐渐减小　　　

B．P对Q的弹力逐渐增大

C．地面对P的摩擦力逐渐增大　　

D．Q所受的合力逐渐增大

六、正弦定理法：

三力平衡时，三个力可构成一封闭三角形，若由题设条件寻找到角度关系，则可用正弦定理列式求解

【例题】（安徽省皖南八校2008届第一次联考）质点m在F₁、F₂、F₃三个力作用下处于平衡状态，各力的方向所在直线如图所示，图上表示各力的矢量起点均为O点，终点未画，则各力大小关系可能为（ C ）

 

F1

F3

F2

135°

45°

60°

 

A．F₁>F₂>F₃        B．F₁>F₃>F₂

C．F₃>F₁>F₂        D．F₂>F₁>F₃

七、三力汇交原理：

物体受三个不平行外力作用而平衡，这三个力的作用线必在同一平面上，而且必为共点力。

【例题】如图所示，一梯（不计重力）斜靠在光滑墙壁上，今有一重为G的人从地面沿梯上爬，设地面的摩擦力足够大，在人上爬过程中，墙对梯的支持力N和地面对梯的作用力F的变化是（ B ）

 

A．N由小变大，F由大变小

B．N由小变大，F由小变大

C．N由大变小，F由大变小

D．N由大变小，F由小变大

解析：

 

答案：B

【例题】重力为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上，另一端系在一条水平绳上，杆与水平面成α角，如图所示，已知水平绳中的张力大小为F₁，求地面对杆下端的作用力大小和方向？

 

解析：地面对杆的作用力是地面对杆的弹力和擦力的两个力的合力，这样杆共受三个彼此不平行的作用力，根据三力汇交原理知三力必为共点力，如图所示，设F与水平方向夹角为β，根据平衡条件有：

 

G

F1

F

 

Fsinβ=G，Fcosβ=F₁，

解得F= ，β=arctan

八、临界状态处理方法——假设法

某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态，平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要破坏、而尚未破坏的状态。解答平衡物体的临界问题时可用假设法。运用假设法解题的基本步骤是：1明确研究对象；2画受力图；3假设可发生的临界现象；4列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解。

【例题】（2005·天津卷）如图所示，表面粗糙的固定斜面顶端安有滑轮，两物块P、Q用轻绳连接并跨过滑轮（不计滑轮的质量和摩擦），P悬于空中，Q放在斜面上，均处于静止状态。当用水平向左的恒力推Q时，P、Q仍静止不动，则（  ）

 

P

Q

 

A．Q受到的摩擦力一定变小

B．Q受到的摩擦力一定变大

C．轻绳上拉力一定变小 

D．轻绳上拉力一定不变

解析：本题是一个静态平衡问题，由于不知物体P和Q的质量关系，所以放置在斜面上的Q物体在没有水平向左的恒力推Q时可能受到斜面对它的静摩擦力作用，也可能不受斜面对它的摩擦力作用。设斜面倾角为，P的质量为，Q的质量为 。在没有水平向左的恒力推Q时分别有以下几种可能情况：

①当 时，斜面对物体Q的摩擦力为零；

②当 时，斜面对物体Q的静摩擦力沿斜面向下；

③当 时，斜面对物体Q的静摩擦力沿斜面向上。

在①这种情况下，当用水平向左的恒力推Q时，Q受到的摩擦力一定变大；在②这种情况下，当用水平向左的恒力推Q时，Q受到的摩擦力一定变大；在③这种情况下，当用水平向左的恒力推Q时，Q受到的摩擦力可能是减小，也可能反向不变、减小或增大；由以上分析可知Q受到的摩擦力从大小来看：①不变；②变小；③变大；这三种情况都有可能。故选项A、B不正确。而轻绳上的拉力可确定P物体为研究对象，由于P物体处于静止状态，所以P物体受力平衡，即轻绳的拉力等于P物体的重力。故轻绳的拉力不变。答案：D

【例题】（宿迁市2008届第一次调研）如图所示，物体的质量为2kg，两根轻绳AB和AC（L_AB=2L_AC）的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60⁰的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。

 

A

B

C

F

θ

θ

 

解析： 。

 

 

附：

【作者简介：李庆林，大学本科 、中学物理一级教师，市级优秀教师、学科骨干教师。从教十年来多年连续送毕业班，教学成绩优异，在省级以上刊物发表教研论文数十篇。】