小学数学教学中渗透数学思想方法的实践与研究

数学思想是对数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼出来的一些观念，在后继研究和实践中被反复证实其正确性之后，就带有了一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。数学方法是人们在数学研究、数学学习和数学问题解决等数学活动中的步骤、程序和格式，是达到数学研究和问题解决目的的途径和手段的总和，是数学思想的具体化反映。数学方法是数学的“行为规则”，数学思想是数学的“灵魂”。在小学数学教学实践中，两者之间并不作严格的区别，许多数学思想和方法往往是一致的，一般情况下可以将数学思想与方法看作一个整体，称作“数学思想方法”。

一、小学数学教学中渗透数学思想方法的意义

《上海市中小学数学课程标准》指出：“数学思想方法，已经广泛渗入人们的日常工作和生活中，影响人们的思维方式，推进社会文化的进步；懂得有条理地思考和简明清晰地表达思考过程，运用数学的思想方法分析问题和解决问题，这对培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力具有特殊意义，对培育学生实事求是的态度、锲而不舍的精神具有深远影响”。数学教学内容始终反映着显性的数学知识（概念、法则、公式、性质等）和隐性的数学知识（数学思想方法）这两方面。数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一。数学思想方法是学生形成良好认知结构的纽带，是由知识转化能力的桥梁，是培养学生数学意识、形成优良思维品质的关键。小学阶段是学生学习知识的启蒙时期，在这一阶段有意识给学生渗透数学思想方法显得尤为重要。正如日本数学教育家米山国藏所说：“学生对作为知识的数学离开学校不到两年可能忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法等，这些随时随地发挥作用，使他们终身受益”。因此，在小学数学教学中渗透数学思想方法具有如下的意义：

1、掌握数学思想方法有利于提高教学质量。如果一位小学数学老师只理解与掌握数学知识而不掌握数学思想方法，至多只能成为一个的教书匠。教师只有掌握了数学思想方法，站在制高点看数学教学，才能明确小学数学教材的知识主线和思想方法主线。在教学中，及时渗透数学思想方法，从而把握教学内容的本质规律，科学地、灵活地进行教学，有利于提高教学课堂效益和教学质量。

2、掌握数学思想方法有利于学生数学能力的提高。学生的数学能力主要是在掌握和运用数学知识的过程中表现出来的。在小学数学教学中，培养学生的能力始终是教学目标中的一个重要方面。严密地思维，灵活地思考，善于抓事物的主要矛盾，能辩证地、全面地考虑问题以及分析综合、归纳类比、抽象概括能力，都是小学数学教学应该着力培养的。在教学中注重数学思想方法的渗透，不仅能更好地理解和掌握数学内容，而且有利于学生数学能力的提高。

3、掌握数学思想方法有利于学生后继学习。中小学是打基础的阶段，而小学又是基础的基础。小学数学思想方法在中学的学习过程中发挥着不可估量的作用。例如，类比思想方法、归纳思想方法、分类思想方法、化归思想方法、数形结合思想方法、符号思想方法、建模思想方法等，也是中学生学习数学不可缺少的数学思想方法。在小学学习时学生初步掌握了数学思想方法，有利于后继学习。

4、掌握数学思想方法有利于对学生进行辩证唯物主义的启蒙。在小学数学教学中渗透数学思想方法，从而使学生初步接触运动变化、量变到质变、有限到无限等辩证唯物主义观点。

二、小学数学教学中渗透主要的数学思想方法

1、类比思想方法。类比思想方法是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。如由加法交换律a+b=b+a的学习迁移到乘法交换律a×b=b×a的学习。由梯形的面积计算公式S=(a+b)×h÷2的学习迁移到等差数列中求和的计算公式S=(a₁+a_n)×n÷2的学习。

2、归纳思想方法。归纳思想方法分为不完全归纳思想和完全归纳思想。不完全归纳思想是指根据对某类事物中部分对象的考察，概括出关于该类事物全部对象的一般性结论。完全归纳思想是指某类事物中每一对象都具有某种属性，推出这类事物的全体对象都具有该属性。

如：1³=1

1³+2³=(1+2)²=9

1³+2³+3³=(1+2+3)²=36

1³+2³+3³+4³=(1+2+3+4)²=100

1³+2³+3³+4³+5³=(1+2+3+4+5)²=225

……

归纳得到：1³+2³+3³+4³+…+n³=(1+2+3+4+…+n)²

又如：三角形的面积计算公式推导中，

（1）直角三角形的面积计算公式=a×h÷2

（2）锐角三角形的面积计算公式=a×h÷2

（3）钝角三角形的面积计算公式=a×h÷2

归纳得到：三角形的面积计算公式=a×h÷2

3、分类思想方法。分类思想方法是一种重要的数学思想。掌握分类的方法，领会其实质，对于加深对基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的。分类思想方法要注意根据题目的条件及需要，确定分类讨论的对象，保证每次分类要按照同一个标准进行，并做到“不重复”、“不遗漏”，然后对这些对象分类讨论，最后还要对讨论的结果进行归纳与概括。它的本质是把一个复杂的问题分解成若干个较为简单的问题。如正整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；若按自然数的约数个数来分，可分为质数、合数和1。三角形按角分，可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分，可分为等腰三角形和非等腰三角形。

  4、化归思想方法。化归思想方法是常用的一种重要的数学思想，其本质就是转化，是指人们将有待解决或验证以解决的问题通过某种转化过程，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。一般情况下，将陌生的问题转化为熟悉的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将抽象问题转化为具体问题。如平行四边形的面积，通过平移，转化为长方形的面积。又如小数乘除法的计算转化为整数的乘除法。

5、数形结合思想方法。数形结合思想方法是指将数与式的代数信息和点与形的几何信息互相转换，把数量关系的精确深刻与几何图形的形象直观有机地结合起来，用代数方法去解决几何问题或用几何方法去解决代数问题，从而易于将已知条件和解题目标联系起来，使问题得到解决。如某校四年级一班共有40位学生参加科技兴趣组和文艺兴趣组，其中23人参加了科技兴趣组，25人参加文艺兴趣组。既参加科技兴趣组又参加文艺兴趣组的有多少人？可以利用数形结合思想方法，使数量关系一目了解。 (集合图）

看到这幅图，学生可以从不同角度思考：

（1）23+25-40=8(人)

（2）23-（40-25）=8(人)

（3）25-（40-23）=8(人)

最后，得到此题的正确答案。

6、符号思想方法。符号是数学的语言，是人们进行表示计算、推理、交流和解决问题的工具。符号思想方法是指用符号化的语言（包括字母、数学、图形和各种特定的符号）来描述数学内容。符号思想方法主要表现为：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。

如：有六支女排球队进行单循环赛，它们分别为中国、俄罗斯、美国、古巴、德国、多米尼加，问共要进行哪几场比赛？

策略一：中国—俄罗斯、中国—美国、中国—古巴、中国—德国、中国—多米尼加；俄罗斯—美国、俄罗斯—古巴、俄罗斯—德国、俄罗斯—多米尼加；美国—古巴、美国—德国、美国—多米尼加；古巴—德国、古巴—多米尼加；德国—多米尼加。

策略二：A表示中国、B表示俄罗斯、C表示美国、D表示古巴、E表示德国、F表示多米尼加。A—B、A—C、A—D、A—E、A—F；B—C、B—D、B—E、B—F；C—D、C—E、C—F；D—E、D—F；E—F。

策略三：1表示中国、2表示俄罗斯、3表示美国、4表示古巴、5表示德国、6表示多米尼加。1—2、1—3、1—4、1—5、1—6；2—3、2—4、2—5、2—6；3—4、3—5、3—6；4—5、4—6；5—6。

……

7、建模思想方法。数学模型是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在作了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。建模思想方法是指把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想方法。如：S=a²是计算正方形面积的数学模型。又如“哥尼斯堡七桥问题”，先建立数学模型，后转化为“一笔画问题”。

现代数学思想方法的内涵极为丰富，诸如还有集合思想方法、极值思想方法、统计思想方法等，小学数学教学中都有所涉及。

三、小学数学教学中渗透数学思想方法的策略

1、挖掘小学数学教材中所隐含的数学思想方法的内容。小学数学教材是数学教学的显性知识，而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。在教学中，不仅应重视显性的数学知识的传授，而且应重视隐性的数学思想方法的渗透。首先，更新教学观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识。其次，通过校本教研，可以通过教师的合作方式把小学数学阶段的数学知识（数与运算、方程与代数、图形与几何、数据整理与概率统计）中的数学思想方法按学期进行分类整理。同时确定渗透哪些数学思想方法？怎样渗透？渗透到什么程度？并认识到数学思想方法只有在教学中逐步、反复渗透，不断强化，才能为学生所掌握。最后每位教师可以按照每学期应渗透内容、渗透的方法、渗透的程度，在单元备课、课时备课时进行细化。把渗透数学思想方法纳入教学目标（过程与方法）中，把数学思想方法的要求融入备课的每一环节。

2、渗透数学思想方法的途径。数学教学也是数学思想方法的教学，数学教学过程实际上也是渗透数学思想方法的过程。在教学中，要把握时机，及时渗透数学思想方法。

数学思想方法渗透的途径有：

（1）准备性练习中渗透。准备性练习是为导入新知识铺平道路而组织的一种练习。在设计这组练习时，不仅要把着眼点放在激发兴趣、启发思维、促进知识顺利迁移，还要考虑数学思想方法的渗透。如：学习梯形的面积计算公式推导时，可设计准备性练习，三角形的面积、平行四边形的面积计算公式推导的方法。（拼、割补法；化归思想方法等）

（2）学习新知中渗透。数学知识都有内在逻辑结构，按一定的规则、方式形成和发展，其间隐含着数学思想方法。在数学知识形成、发展和应用的同时渗透数学思想方法。

如：学习乘法分配律时，先计算，后比较大小。

（32+15）×65○32×65+15×65

（93+28）×11○93×11+28×11

4×（25+250）○4×25+4×250

78×23+22×23○（78+22）×23

……

不仅得到：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，所得的结果不变，这叫做乘法分配律；而且渗透了归纳思想方法和符号思想方法（a+b）×c=a×c+b×c。

(3)课堂练习中渗透。习题的设计和选择不仅要体现基础性、层次性和可选择性，而且要充实具有实践性、应用性、探索性和开放性的数学习题，做到基础性练习与发展性练习协调互补，使数学练习适应不同学生发展的需要。这充分说明在课堂练习中应渗透数学思想方法。如：在学生掌握长方体、正方体的体积计算后，设计求一块不规则铁块的体积的习题，可以利用化归思想方法来计算出这块不规则铁块体积。

（4）课堂小结中渗透。在课堂小结时，不仅要对知识的产生、形成、发展和应用进行小结，更重要对课堂教学中的类比、归纳等数学思想方法进行小结，帮助学生整理出比较清晰的、常用的一些数学思想方法，使数学思想方法得以升华。

3、引导学生主动运用数学思想方法。现代数学教育强调学习数学不仅仅是获得知识与技能，而是在探究知识与技能的过程中掌握数学思想方法，用数学的方式去思考和认识客观事物。教育观念的改变要求我们在数学教学中传授知识的同时，要更加重视引导学生体会并主动运用数学思想方法。可以通过提出问题，进行猜想、探究、验证、反思和评价的学习过程，引导学生运用已有的知识和已掌握数学思想方法，进行分析、概括、对比、联系、综合等思维训练，使学生逐步养成“多疑”、“多思”的思维习惯，提高学习的思维能力。

总之，在小学数学教学中只要教师努力去挖掘数学思想方法的内容，把握时机、及时渗透数学思想方法，引导学生主动运用数学思想方法的意识，就一定能提高学生的数学素养，树立数学精神，促进学生全面发展和可持续发展。

参考文献：

（1）、《上海市中小学数学课程标准》   上海教育出版社

（2）、《数学课程标准解读》    北京师范大学出版社

（3）、《中小学数学中数学思想》  主编：严华祥   上海教育出版社