862 科幻 数学归纳法和皮亚诺公理5——尾篇之读皮亚诺之八

新年的二月就这么随风飘去，三月来临了。时钟仿佛加快了它前行的速度，好像2021年还是刚刚到来似的，可转眼间，本年度六分之一的时光已经甩在我们身后了。

时光飞逝，读书为乐。一份介绍美国怪侠马斯克的小文告知，对马斯克影响最深的一本科幻小说是《银河系搭车客指南》。这本书现在有中译本，买来随意浏览，竟然是上个世纪70年代的作品。翻到38页，看到作者的一个科幻想象图景。

银河系漫游图片

地球变成了一台终极的声音重放系统，四声道，堪称完美，它的完美仿真，甚至让男士也热泪奔涌。这段文字之后，就是一段也许会给你恐怖的播音：

银河系超空间委员会宣布：银河系边远地区的开发规划要求建造一条穿过贵恒星系的超空间快速通道，令人遗憾的是，贵行星属于计划中预定毁灭的星球之一。毁灭过程将在略少于贵地球时间两分钟后开始。

啊，地球将在两分钟后走向毁灭！但这样的科幻并没有引起我的恐惧。我只是在想，这种对于地球的态度，是不是应该贴上一个“卖球者”的标签？这不就是在妖言惑众么？不过，从上世纪的七十年代到现在，已经过去四十多年了，地球，至少是地球表层，的确变化多多。但地球离毁灭，恐怕不会是两分钟之后吧。卖球贼的蛊惑，似乎对地球没有任何影响，只是影响了那些看过这本小说的人。也许是正面的，也许是负面的。但一点也不影响我对于学术文字的偏好，我还是继续我对于皮亚诺公理的理解。依然按照对于三的执着，用三个部分来结束对于皮亚诺公理5的感受，实际上也就是对于数学归纳法的感受。

一、皮亚诺本人对于公理5的一段评论

皮亚诺1889写出《用新方法表述的算术原理》，1891年，对于他的五个公理，他做了可看作是元数学角度的讨论。其中的皮亚诺公理5，皮亚诺有以下一段评叙：

为了形成一个实体类（class of entities），该类满足公理1，2，3，4，但不满足5，那就有必要给自然数系统N增加另一个实体系统。这个实体系统满足公理2，3，4，由此，由自然数系统N加上由形式为i+N的想象单元（imaginary unit）而形成的这个类，就是以下语句所描述的情形。该类别通过增加一个想象的单元给一个任意的正整数（自然数），这就满足了前述的公理5，但并非公理5本身。

（转摘自Gillies《弗雷格 戴德金 皮亚诺论算术基础》第70页）

皮亚诺的这个公理5解说，意在说明公理5的独立性，似乎对于公理5本身的内容没有做更多的说明。但这段解说很明显地告诉我们，他是在用“类”概念，而不是“属性”概念来说明这个有关数学归纳法的公理5。而皮亚诺使用的想象单元概念，这个带有个体心理性质的词汇，似乎在表明他对无限概念的一个心理直观。

给任意的自然数都可以增加一个想象的单元，从而构成一个无穷自然数实体类的构想，恰恰就是数学归纳法在数学中成为一种独特方法的原动力。这个动力，可以在数学归纳法的形成过程中看得很清楚。好在数学归纳法的形成过程，在数学史界，已经有了相当的共识，值得在这篇博文中略加陈述。

二、从毛罗利科、帕斯卡到德摩根

依据德国著名学者康托尔的说法，比较成熟的数学归纳法陈述应该归于意大利数学家毛罗利科，但更成熟的数学归纳法，则应归之于法国的帕斯卡（1623-1662）。文献记载，帕斯卡看过毛罗利科的《算术》一书，他在其《算术三角形》（1665）一书中，写下数学归纳法中一个著名的算术三角形实例，在这个实例的证明中，几乎就再现了今天数学归纳法的证明过程，以下图表即为帕斯卡的算术三角形。

帕斯卡相片

算术三角形图表

这个数字的三角形图表，方格外数字分别表示横排排序与竖排排序。斜向方格构成的数字为基线数字，例如第六条基线数字为1，5，10，10，5，1。横向方格构成的数字为横线数字，同是第六行，数字就是1，6，21，56，126。竖向方格的数字为竖线数字，也是第六行，数字也是1，6，21，56，126。从图中可知，因为有格外的数字编序，（1，1）代表了图表的首个格。由此，对偶（9，2）可代表第九横行，第二竖行中的方格9。

这个奇妙的算术三角形所要证明的，用自然语言可以表示为如下命题：

在算术三角形的同一条斜线上的两个相邻数中，较高的与较低的数之比等于从较高的系数 (在该基线上）向上方数起的数字个数与从较低的数(在该基线上）向下数起的系数个数之比。

两个相邻数中，较高的与较低的数之比，我们用C^r_n表示，向上方数起的数字个数与从较低的数(在该斜线上）向下数起的系数个数，则用C^r-1_n表示，由此，该命题的符号表示就是如下的等式：

C^r_n: ：C^r-1_n  = （n- r + 1):r

这个命题，帕斯卡之前的数学家曾经证明过，但天才的帕斯卡，使用了清晰明确的数学归纳法方式，证明了这个命题。简直可以说，今天数学归纳法的基本步骤，四百年前，就相当完整地体现在他的证明过程之中了。

帕斯卡基于以下两个引理，证明了上述命题，这两个引理分别是：

引理 I.显而易见，这种比例适合于第二条基线。

引理 2.如果这种比例在任一条基线上是正确的 ，那么在下一条基线上也必定是正确的 ．

（参见辽宁大学学报1999年第二期：张莉《数学归纳法的历史》）

这两个引理的证明，不就是当今数学归纳法标准的证明步骤么？就此而言，意大利的毛罗利科让我们看到了数学归纳法的雏形，再过不到100年，天才的帕斯卡，已经设定了数学归纳法的基本步骤。但是，那个时候还没有数学归纳法这个名头，这两位为数学归纳法奠定基础的数学家，还未曾想到为这种方法规定一个名号。

随后几百年，这个起名号的工作断断续续，都和逻辑的归纳相关，或简单称”归纳法“，或称“证明归纳法”，直到帕斯卡之后的两百年，为逻辑贡献过德摩根定律的英国数学家德摩根，其在伦敦出版《小百科全书》中，单立“归纳法（数学）”条目，条目之下设“后续归纳法”（successive induction）条目。这个后续successive，不就是皮亚诺的初始概念中的后继么？皮亚诺的意大利文后继，就是使用英文successor来翻译的。

德摩根使用的这个“后续归纳法”（successive induction），应该是正合这个方法的本质，但历史总有阴错阳差之时，德摩根在该条目的最后部分偶然地使用了“数学归纳法”这个词项来表示他的““后续归纳法”（successive induction）”，结果，后世之人不去使用德摩根的正解，反倒接受了他文末的这个“数学归纳法”的称呼。人们给一个对象所起的名字，你要认真的追溯起来，真有让人哭笑不得的地方。

不过，人们对于一个名称的接受，名称本身并不重要，这个名称所包含的内容才更重要。

三、彭加勒语录和递归论

        自皮亚诺公理五成为算术理论的基础性公理之后，数学归纳法就在数学中成为数学推理的一个有力工具。但数学归纳法中的归纳法早已不是逻辑归纳法的含义，彭加勒在论述数学归纳法时，有过一段有名的评论，他说：

我们必须承认，这数学归纳法和通常的归纳程序有及其相似之处，但是其中有一个根本的不同。归纳法当其用于自然科学时，常是不确定的，因为它的基础是相信宇宙中有一种普遍顺序，一种在我们以外的顺序。相反，数学归纳法，即递归证法，把自身视为必然。它不过是心灵本身的一个性质。......

彭加勒接着说，我们只能循着数学归纳法前进，只有它才能教给我们新东西。如果没有这样一种与自然普通归纳法不同，但却同样有用的归纳法的帮助，演绎法是无法创造出一种科学来的。

彭加勒的这段我还没有查明出处的评论，的确导出了数学归纳法的本质。在自然数基础上的数学归纳法，它的递归特性，把人们对于世界的认识从有限连接到无限。借助于人类心灵对于自然数的递归想象，心灵本身从这种递归中看到一种必然，看到这种想象力的不断扩展。所以，在莫绍揆先生的那本《递归论》绪论中，谈到递归论的对象时，把递归论的产生归结到人类心智对于自然数特性的基础性研究，也就是说，自戴德金以来一直到皮亚诺时代建立起的算术基础理论，促成了数学包括后来的计算机科学的诸多进展。

从自然数的递归到原始递归函数，再到1930年代哥德尔运用原始递归函数，证明他著名的不完全性定理，我们似乎在看到自然数公理中包含的数学归纳法，在数学和逻辑这两大片人类心灵花园中散发出的芬芳。

皮亚诺的五个公理之后，就是依赖公理而建立起来的各种算术运算。但我的目标是朝向哥德尔，继续读书前行，从皮亚诺跳跃到哥德尔的想象力吧。