数学文化之七：斐波那契数列与黄金分割

1.  黄金分割率：

黄金律，又称黄金分割率，是指把直线段分成两部分，使其中一部分对全部之比等于其余一部分对于这部分之比，即0.618/1=0.382/0.618。0.618是   （√5-1）/2的近似值，一般称之为黄金分割数。这是在公元前6世纪由古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯提出后，又由古希腊著名美学家柏拉图称之为“黄金分割率”的。

2.斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列和黄金比例(也叫黄金分割，Φ，取三位小数是1.618)有密切关系。如果我们把第n个斐波那契数字以Fn来表示，而以Fn+1代表下一个，那么会发现当n趋近无穷大时，Fn+1/Fn趋近Φ，请看几个相邻斐波那契数字之比(计算到小数第七位)：89/55 = 1.6181818，144/89 =1.6179775，233/144 =1.6180555。这个属性是德国天文学家开普勒(JohannesKepler)于1611年首先发现的。在开普勒之后一百年，苏格兰数学家辛普孙(Robert Simpson)又予以证明。

1753年，格拉斯哥大学的数学家西摩松（R．Simson）也发现，随着数字的增大，斐波那契数列两数间的比值越来越接近黄金分割率。这提示我们，斐波那契数列是一个与黄金分割数关系异常密切的数列。其实，斐波那契数列的通项公式竟然是用黄金分割数表达的！18世纪中叶，著名数学家棣莫佛（A．de Moivre）和欧拉已经知道这个公式。

如果从中切掉一个正方形（边长等于原矩形的宽），剩下的部分仍是黄金矩形。依此继续切割，就会得到越来越小的黄金矩形。黄金矩形被这样切割后，矩形的一部分顶点恰好落在一条螺线上。斐波那契数列与此相似，你可以用边长1的正方形做反向操作。加上一个同样的正方形，得到一个新的矩形。若不断在长边上添加正方形，新产生的长边就会遵循斐波那契数列，每一个比前一个的形状更为接近黄金矩形。

把黄金矩形不断切割后，矩形的一部分顶点恰好落在一条螺线上。 据说，德国一位名叫费希纳（G．Fechner）的心理学和物理学家，曾专门召开过一个“矩形展览会”，特地邀请了592位朋友到会参观，要求每位参观者在看完之后投票选出自己认为最完美的矩形，结果下面四种规格的矩形得票最多：5×8，8×13，13×21，21×34。这些矩形的短边与长边之比均为斐波那契数列的相邻两项之比，很接近黄金分割数。费希纳还测量了数以千计的窗框、扑克、书本等矩形物体，甚至还检测了墓地十字架的分隔点位置，发现它们的平均比例均接近黄金分割数。

3. 斐波那契数列和黄金分割与达芬奇密码

在数学史上，斐波那契数列和黄金分割都是十分有名的。它们不

但有丰富的数学含义，还有深厚的文化内涵。

哈佛大学一位符号学专家兰登，在巴黎出差期间的一个午夜接到

紧急电话，赶到卢浮宫博物馆后，得知年迈的馆长在博物馆里被人杀害。人们在馆长的尸体旁，发现了一串难以捉摸的数字13-3-2-21-1-1-8-5。馆长的孙女奈芙是一位颇有天分的密码破译专家，她意识到这是祖父在向她传达信息。奈芙将数字从小到大排列，也就是1-1-2-3-5-8-13-21，她发现，这就是斐波那契数列的前几项。后来，在开启祖父的银行保险柜时，试了好多密码都不成功，但试了这串数字就打开了。

奈芙和兰登经过调查后发现，一连串的线索就隐藏在达•芬奇的

艺术作品中。这些线索被画家巧妙地隐藏起来。兰登在无意中发现，已故馆长竟然是郇山隐修会的重要成员。郇山隐修会是一个真实存在的组织，其成员包括牛顿、雨果与达•芬奇等多位历史名人。兰登的直觉告诉他，他和奈芙是在寻找一个石破天惊的历史秘密……这就是“达•芬奇密码”的来由。

    首次将这种比例冠以“黄金”美称的是达•芬奇。在“现代会计之父”帕乔利（L．Pacioli）的《神奇的比例》一书中，达•芬奇作了插图，还对各种图形中的黄金分割数作了精彩的描述。比如，将3个黄金矩形对称地互相交叉，每个都与另外两个垂直，则这三个矩形的顶点恰好是一个正二十面体的12个顶点，也是一个正十二面体的各个面的中心。稍后的德国著名科学家开普勒对黄金分割也极为着迷，他曾经说道：“几何学有两大财富：一个是毕达哥拉斯定理（勾股定理），一个是按中外比划分一条线段。第一大财富可称得上是黄金定理，第二大财富称得上是珍珠定理。”最早明确使用“黄金分割”这一名称的是德国数学家M．欧姆（M．Ohm），他是发现电学欧姆定律的欧姆（C．S．Ohm）的弟弟。在著作《纯粹初等数学》（1835年）中，他用“黄金分割”来表述中外比，后来这一称呼就逐渐流行起来。

20世纪中叶，美国数学家巴尔（M．Barr）给比率\(\frac{{\sqrt {\rm{5}} {\rm{ + 1}}}}{{\rm{2}}}\)起名为Φ（也有人写作φ，读作Phi），这是古希腊雕塑家菲迪亚斯（Phidias）名字的第一个字母。但是，这一称呼并没有像π和e一样得到数学家的公认。另外，也有不少人用τ表示黄金分割数。

在达•芬奇的名画《维特鲁威人》中，人体比例的确定也与黄金分割息息相关。画名取自古罗马杰出的建筑师维特鲁威（Marcus Vitriivius Pollio）之名。这位建筑师在他的著作《建筑十书》中曾盛赞人体比例和黄金分割。我们前面提到过的小说《达•芬奇密码》中，馆长临死前全身赤裸，把自己摆成画作《维特鲁威人》中的形象，为破案提供了线索。现代西班牙超现实主义画家达利（S．Dali）的《最后的圣餐》，也是画在一个黄金矩形（长和宽之比为黄金分割数的矩形）上的。在给人物定位时，达利还采用了另一些黄金矩形，而画作的顶端则是一个巨大的正十二面体的一部分。

4.黄金分割的美学应用

欧洲人将此比例广泛用于建筑、生产、生活各个领域，如雅典巴特农神殿巍然屹立的大理石柱，其上、下的比例，以及古埃及胡夫大金字塔的高度和底边长度之比都符合这个比例。数学家开普勒曾把黄金比值和勾股定理称之为几何学中两大宝藏。被誉为世界艺术珍品的古希腊雕塑、断臂女神“维纳斯”整个体型的比例，以肚脐为界，全身与下身高度的比值恰为1，0.618。我国成人，肩宽和臂宽的平均数均为362毫米，肩峰到臂底的高度为586毫米，躯干的宽度与长度之比为362:586，亦巧合黄金律。尽管世界各族人的形体差异很大，但他们躯干部分的长度与宽度之比却都接近比值。除此之外，一个容貌端庄、五官修整的人，其面部的长、宽比，鼻和唇的宽度与高度之比等，都符合此值，因此人体美是世界最神奇而美妙的艺术造型。

5.黄金分割在灾害科学中的应用

1）当已知一个灾害周期时，很可能还有另外一个较短的周期，它与前者之比符合黄金分割数。例如日、月引起地球的半月高潮往往触发一些灾害，该半月的0.618时段，即9天也是一个易于触发灾害的潮汐周期。这两个周期的拍是前面一个已知周期的1.618倍。

2）当已知一个灾害周期，但由谷年向峰年的上升时段与由峰年向谷年的下降时段不相等时:它们两者之比往往符合黄金分割数。例如太阳活动的周期为n年，在其峰年和谷年易产生一些灾害，但由谷年向峰年的上升时段与由峰年到谷年的下降时段是不相等的，上升时段短，约为4.2年，下降时段长，约为6.8年，其比值接近黄金分割数。

3）造成灾害的物性参数变化往往符合黄金分割数，例如给各种液体加热，其温度由绝对零度增加到临界温度为一区间，在该区间的0.618处或其附近即为沸点。它是液体状态的重要变化。脆性岩石受力由零值到大破坏时的值为一区间，在该区间的0.38处或其附近岩石内开始产生大量张性小裂缝，此时岩石体积变大，称为扩容，当应力达到该区间的0.618附近时，微破裂频度急剧增加，它是岩石大破坏的一种先兆。在大地震发生前，地壳岩石中横波速度与纵波速度之比有所变化，当它接近或达到0.618时，地震就可能要发生了。另外当岩石中裂缝向完整脆性介质中扩展时其扩展速度由慢变快，达到纵波速度的0.38时地震就发生了。这里所说的速度区间是指广义的形变传播速度，蠕裂的最低速为零，为区间下限。