智慧解读教材，探寻数学教学的“根”

沁园路小学  范小枫

各位老师：大家中午好！

我是来自沁园路小学的范小枫。教研室的 苗老师给我和王霞老师布置的任务是“课例观摩和研讨”。那么，今天中午我和王霞老师将分别从“教材解读”和“概念课如何上”两方面和大家一起来进行课例观摩和研讨。我们的第一个环节自然就是“课例观摩”，在课例观摩之前，请大家先来看一个教学实例：

一、    不妨请‘外行’来听听数学课

这是一篇发表于《小学教学》2010年第6期上的一个教学案例。 

•教学内容：用2-6的乘法口诀求商。

•片断一：

  教师出示问题：12个桃子，每只小猴分3个，可以分给几只小猴？

  师：谁会列式？

  生：12÷3=4。

  师：（板书12÷3）12÷3你们会算吗？

  生：（整齐响亮地）会！

  师：那好，请大家用三角形摆一摆。

  学生摆，教师巡视，请一名学生往黑板上摆。

•刘：学生明明说出了12÷3=4，老师为什么视而不见，不板书得数呢？

•陪同者：老师只要求学生列式，没让学生说出得数，列式是列式，计算是计算。

•刘：全班学生都说会算，老师为什么不让学生说说他们是怎么算的，而非要按老师的要求来摆三角形？

•陪同者：可能老师认为不能这么快说出得数，而操作很重要，所以大家都来摆一摆。

•刘：这样太不自然了。 

片断二

黑板前的孩子摆成的三角形是4堆，每堆有3个

  师：他摆得对吗？分成了几堆？

  生：对！分成了4堆。

  老师在算式后面接着板书得数“4”。

师：刚才我们用摆学具的方法算出了得数。请小朋友开动脑筋想一想，“12÷3”还可以怎样想？

教室里一片沉寂。

•刘：还可以怎样想呢？我也不知道啊。

•陪同者：还可以想乘法口诀呀！因为三四十二，所以12÷3=4。

•刘：（恍然大悟）哦，没想到。

片断三

讲解完用乘法口诀求商以后，老师又进一步追问：

  师：“12÷3”还可以怎样想？

  几个孩子答了一些不着边际的想法。教室里又是一片沉寂。

•刘（疑惑地）：还能有什么方法？

•陪同者：说不准，看看教材上是怎么写的。

  我俩开始翻教材，只见教材上写着：第一只分3个，12-3=9；第二只分3个，9-3=6；第三只分3个，6-3=3；第四只分3个，正好分完。

生：还可以一只猴子一只猴子地分，分给一只猴子就减一个3，……

  师：（喜不自禁）这位小朋友真不错！……

  生（迟疑地）：老师，我还有一种方法：3+3+3+3=12。一只猴子分到3个，2只猴子分到6个，……

  师：你真聪明！也奖你一颗五角星！

•刘：（皱着眉头）怎么搞得这么复杂啊？

•陪同者：这不是复杂，这是算法多样化。现在的计算提倡算法多样化。

•刘：可我怎么觉得很牵强，把简单问题复杂化了？

片段四

师：请小朋友看黑板，现在有这么多种方法来算12÷3，你最喜欢哪种方法？

  生：我喜欢减法，因为它最特殊。

  师：不觉得它很麻烦吗？

  生：不麻烦！

  师：谁再来说说，你最喜欢哪种方法？

  生：我最喜欢加法。

  师：为什么？

  生：因为我喜欢做加法，不喜欢做乘法。

师：（无奈地指着用乘法口诀求商的方法）有没有喜欢用这种方法的？

有少部分学生响应。

师：其实，用乘法口诀求商是最简便的方法。以后我们做除法时，就用这种方法来做。

•刘（很困惑地）：老师到底想问什么？学生答了，她又不满意，也不理会。

•陪同者：这一环节是算法的优化，多样化以后一般都会优化。前面两个学生说的不是最优的方法，所以没办法理会。

•刘：那些方法不是她自己硬“掏”出来的吗？好不容易“掏”出来的东西，这会儿又瞧不上了。他的学生可真不容易当啊！

看着这个教学案例，很多老师都笑了，那么，在我们笑过之后，是否有所感悟？这位语文老师的感受很本原，很真实，也恰好击中了我们数学教学的积弊，惊醒了我们这“局中人”。

那么，在位的数学老师们，我想问大家这样一个问题：作为一名数学教师，关于数学和教学你更关注哪个词呢？数学究竟教什么呢？

那么，接下来，让我们带着对这个问题的思考，来一起观看课例。

二、《交换律》课例观摩

今天，给大家带来的是一节全国小学数学名师张齐华老师的“交换律”。这节课在人教版教材中，是四年级下册第三单元“运算定律与简便运算”中的内容，在位的老师们有的可能上过这节课，大家可以先回想一下自己是如何上这节课的？或者说如果让你来上，你会怎么上？你的目标定位在哪里？

那么，接下来，就让我们一起来看看张老师是如何上这节课的。

（观看录像课）

看完张老师这节课，此时，你对“交换律”这节课是否又有了新的认识？

三、《交换律》课例分析

    对于“交换律”，我们一贯的教学思路是：结合具体情境，得出某一具有交换律特征的实例，由此引发猜想，再借助举例验证猜想、形成结论，进而在解释和应用的过程中进一步深化认识。本课，在宏观结构上并未作太多变化。然而，在保持其整体结构的基础上，这一堂课在更多细节上所给予的突破却是十分显见。我们不妨重历课堂，去找寻这些细节，并探寻细节背后的意蕴所在。由“3+4=4+3”得出“交换两数的位置，和不变”的猜想，似乎再自然不过了。然而，教师略显突兀的介入，以“交换两数的位置，和不变？”的细微变化，却又发人于深思。正如案例中所提及的，“一个例子究竟能说明什么”，是得出结论？还是仅仅是触发猜想和验证的一根引线？这里关乎知识的习得，更关乎方法的生成，关乎学生对于如何从事数学思考的思考。

    “验证猜想，需要怎样的例子”的探讨，更是折射出了张老师独特的教学智慧。利用不完全归纳法得出交换律说简单也简单，说不简单也不简单，其中包含的学问有很多。什么是不完全归纳法？为什么要使用不完全归纳法？不完全归纳法需要举多少例子才够？例子越多就越好吗？要不要关注反例？不完全归纳法得到的是结论吗？如哥德巴赫猜想，虽然至今都还没找到反例，但它依然是猜想而不是结论。如果仅靠猜想这可靠吗？实际上，学过高等数学的老师们应该知道，不完全归纳法是不能得出结论的，无论你举出多少个例子，哪怕是一千个、一万个，只要第一万零一个是错误的，那就得不出结论。可是在很多课堂中，我们可以目睹这样的情形：学生举例三、四，教师引导学生匆匆过场，似乎也有观察、也有比较、也有提炼。然而，我们却很少琢磨：观察也好、提炼也罢，它究竟该建立在怎样的基石之上，再换言之，在“简洁”和“丰富”之间，谁才是“举例验证猜想”时应该遵循的规则。张老师的尝试与表达无疑是对传统教学的一种突破。“举例”不应只追求简约，例子的多元化、特殊性恰恰是结论准确和完整的前提。没有老师适时的点拨与引导，学生如何才能有此深度体验？无此体验，我们如何能说，学生已经历过程，并已感悟思想与方法？

    触及我深思的问题还在于，是什么原因触发了这一节课将原来的“加法交换律”置换成了“交换律”？仅仅是内容的简单扩张？还是教学结构的适度调整？随后的课堂，给了我们清晰的答复。“加法结合律”只是一个触点，“减法中是否也会有交换律？”“乘法、除法中呢？”等新问题，则是原有触点中诞生的一个个新的生长点。张老师本节课的目标定位并非我们常规的“验证和运用加法和乘法的交换律”这一事实，如果只把目标锁定于此，在孩子们举出一个、两个、几十个、几百个例子之后，就可以让孩子得出结论了，然而张老师并没有就此打住，而是重在让孩子们去体会不完全归纳法是一个怎样的完整的真实的过程。比如出示两位同学举的例子，一位同学举了好多例子，而另一位同学只举了3个例子，让学生感受举例是否越多越好？再如对“减法交换律、除法交换律”的推翻过程，让学生感受要证明一个判断不成立为什么只需要一个反例就够，等等这些，张老师实际上是希望通过这节课的学习，不只是教给学生数学知识和数学技能，更重要的是让学生感受和经历并领悟数学探讨、数学研究的完整过程，比如不完全归纳法，这对孩子们未来的学习是很有帮助的。

    在学生自己举例对减法、乘法、除法进行验证后，张老师引导学生对这节课的学习进行了回顾。我还以为这节课再练习几道题就结束了。没有想到，精彩还在继续，思维还在拓展。

首先，张老师设计了几道填空题来巩固这节课所学的加法交换律和乘法交换律，其中最后一道是(    )+(    )二(    )+(    )。学生举了几个例子后，老师问：能填得完吗?有没有什么办法表示呢?从而有机地渗透了用字母表示数。

    其次，张老师又提出一个问题，你们知道数学家是怎样去说明加法和乘法的交换律的吗?你们想去看看吗?学生带着强烈的好奇心倾听着张老师介绍数学家用集合图和点阵图的方法证明加法交换律和乘法交换律。

再次，张老师给学生讲了这样一个故事：天文学家、物理学家和数学家坐着火车在苏格兰的大地上奔驰。他们向外眺望，看到田野里有一只黑色的羊。天文学家说：“多么有趣，所有的苏格兰羊都是黑色的。”物理学家反驳道：“不!某些苏格兰羊是黑色的。”数学家慢条斯理地说：“在苏格兰，至少存在着一块田地，至少有一只羊，这只羊至少有一侧是黑色的。”一个有趣的故事让孩子们体会到数学的严谨。

多么巧妙的设计，多么引人深思的结尾!简简单单的一道填空题，让学生体会了使用字母表示数的优越性，发展了学生的符号感；用集合图和数阵图的方法来验证加法交换律和乘法交换律，让学生对刚才举例验证的担心得以消除，进一步体会到数学思维和数学方法的奇妙；一个有趣的故事让孩子们再次感受到数学的严谨与其魅力所在。这就是有“根”的课堂；“根深方能叶茂”，学生发展之“根”的深深植入，使得人人都能获得良好的数学教育。

    北师大数学科学院曹一鸣教授对这节课的评价是：一堂有价值的数学课，给予学生的影响应该是多元而立体的，不仅要有知识的丰厚、技能的纯熟，更要有方法的领悟、思想的启迪、精神的熏陶。透过张老师的课堂，我们似乎触及到了数学更为丰厚的内涵，感受到数学教学可能呈现的更为开阔的景象。

此时，再回到看课之前，我问大家的问题：数学教什么？

其实这个问题是张齐华老师在一次报告中提到的，他是这样说的：“我认为教什么比怎么教更重要，作为数学教师首先要明白自己教什么。”当时，我就在反复的问自己：数学教什么？说实话，之前，我从未思考过这个问题。既然是数学教师，教的自然是数学，课本有什么，我们就教什么呗，这似乎是无需思考的问题。闲暇里，和几位在中学任教数学的朋友聊天时，我就问了他们同样的问题，有的说：教什么？从没想过，书里有什么就教什么，课标要求教什么就教什么，偶尔再根据情况补充点课外知识。也有的说：数学就是教有关数与代数、统计与概率、空间与图形、实践与综合运用四大领域的知识呗。还有一位朋友更直白：教什么不重要，只要能让孩子们喜欢学数学，能正确运用数学知识解决问题不就行了。的确，这个回答很具有普遍性，说实话，我们很多数学教师不就是日复一日年复一年的在朝这个目标努力吗？回想去年秋天在徐州培训时，南京师范大学郑毓信教授曾提到要避免数学课“去数学化”的倾向，要努力做到“去情景化”，要还数学课以数学味。当时不是很理解，现在想来就不难理解了。

至此，我们没有理由不担心，一个“不知数学为何物”（至少是知之不多）的教师，得有多大的勇气才能自信地走上讲台并从事好手头的这份数学教学工作？一个“心中无数学”的教师，如何才能凭借数学课堂实现数学应用的教育价值与文化意义？近期，关于数学课堂中“去数学化”倾向的讨论，不正是上述顾虑的折射吗？    

无疑，什么是数学，这不是只言片语所能解释清楚的。但有一点毋庸置疑，那就是对数学的不同认识和理解必然会深刻影响数学教师的教学观，影响数学课程潜在教育价值与文化意义的实现。从这一意义上讲，对于数学本质的了解、解读以及持续的思索则显得十分必要而且迫切。

那么，下面我就结合几节课例和大家一起来解读教材，探寻数学教学的“根”：

四、    智慧解读教材，探寻数学的“根”

1、智慧解读教材，建立完整的数学知识体系

我们每每拿到一节课，更多关注的是怎么上这节课，而从未想过这节课要

教什么。曾经看过这样一个案例：一位年轻的数学老师，学校安排他做一节公开课，他定的课题是“圆锥的体积”，在精心准备之后，还觉得不够放心，于是就向一位姓张的教研员请教，见到张老师，他一上来就问：“张老师，请您给我出出点子，给我说说‘圆锥的体积’这节课该怎么上？”这也是我们司空见惯的，拿到课首先想的就是“怎么教”的问题。张教研员很特别，他没有像我们常规的那样直接回答他的问题，说，好，来我们坐下来一起来研究研究这节课该怎么怎么上，怎么怎么组织课堂教学，怎么怎么创设情境等等，而是说：“你先别忙着说这节课怎么上，我想先倒过来问你一个问题，关于‘圆锥’的内容你都知道些什么？”一听这个问题，年轻人就来劲了，这还不简单他觉得自己已经有了很充分的认识，于是，他如数家珍的说了起来。圆锥的体积么，先从它的各部分名称谈起，我们小学阶段所研究的都是直圆锥，各部分名称包括一个底面、底面的半径、直径、周长、面积，还有一条高，圆锥还有母线，它的侧面是个曲面。好了，谈完圆锥各部分名称之后，他开始谈自己对圆锥体积教学的思路，他说，通常圆锥体积公式的推导是通过实验得来的，实验有两种途径，一种是倒水，另一种是倒沙子。怎么倒呢？从圆柱往圆锥里倒得到三次才能到完，从圆锥往圆柱里倒，三次才能倒满。他怕张老师还嫌他知道的不够多，他又补充，在实验中等底等高是非常重要的，那么，我在上课时会给学生准备一些等底等高的圆锥和圆柱，还要准备一些等高不等底的和等底不等高的圆柱和圆锥，这样的话在研究中学生才能对“等底等高”有更清晰的认识。张老师就问：“还有吗？”张老师的不依不饶让年轻老师有点急了，他又想了一会儿，说，还有。通过这节课我还要让学生掌握两点，哪两点呢？第一要让学生经历猜想、实验、验证的过程，先让学生猜猜看圆锥的体积可能与圆柱有什么关系，再通过做实验得出结论；另外，在这堂课里我还要让学生感受经历转化的数学思想，圆锥是一个新的立体图形，它是转化成一个熟悉的立体图形——圆柱，然后进行研究的。到此，年轻老师对圆锥的认识算是说完了，老师们，我不知道我在描述这一过程时，大家是不是也跟着这位年轻老师的思路一起在想？当我最初看到这个案例是，我边看也自己边在想，我对圆锥有哪些了解，我不知道在位的有没有比刚才这位年轻教师知道的更多。反正最初的我觉得这位年轻老师说的已经足够多了，至少把我所知道的我认为都说完了。可是这个张老师够损的，他接下来说：“哦，很好，看来你对圆锥的认识还真不少。不过，我还有个问题要问问你，你刚才所说的这么多是不是都要通过你即将要上的这节课让你的孩子们或者去经历，或者去体验，或者是感悟？”年轻老师马上说：“是呀，除了‘母线’以外，剩下的这些都是我今天这节课三维目标中要求的内容呀。”于是，张老师语重心长的对年轻老师说：“这么说来，我只想送你一句话：既然你所知道的这一切，你们班的孩子学完以后都需要掌握，那么我想说就‘圆锥的体积’的知识这节课而言，你只比你的班的孩子快了一课时。”你说这张老师损不损？说“多一课时”吧，感觉上还好一些，他却说“快一课时”，什么是快一课时？也就是说在学这个内容之前，你比你的学生快了一步，而学完这节课，你就和你的学生站在了同一起跑线上。有这样一句话，相信在座的一定都听过，“要给孩子一碗水，你必须准备一桶水。”那么我们真的有这一桶水吗？也许从理论的角度上说，我们确实有，然而，当我们把这一桶水具体到某一个数学知识时，比如说这个“圆锥的体积”这个内容，你还敢说如果要给你的孩子一碗水，而你拥有一桶水吗？孔子教育学生有这样一句话：“取乎其上，得乎其中；取乎其中，得乎其下；取乎其下，则无所得矣”。 什么意思？道理很简单，就是说如果你能站在二百米的高度，你可能就能带领你的学生到150米的高度，因为知识和方法在传递过程中会有一些消耗，那么如果你只能站在150米的高度，你可能就只能带领你的学生到100米的高度，以此类推，这就是教师的引领，这也就是今天我要和大家研究的问题，我们在关注“怎么教”的同时，还要更好的关注一下我们对教学的内容的认识到达了哪一步。比如“圆锥体积的认识”，我们还可以知道的更多一些，比如其侧面展开图的知识，再有就是利用高等数学中对圆锥体积公式的证明等等，当然这些不是课标的要求，我们无需让学生知道，只是，作为数学教师，我们应该有所了解。   

2、智慧解读教材，挖掘潜在的数学思想方法

在我们小学数学中，哪个内容最简单？有没有比“认识1、2、3、4、5”更简单的内容？接下来，我们做个小实验，请大家仔细观察我们人教版一年级上册第三单元的这幅图，这是“1-5的认识”，仔细看图，思考五个问题：

1、              在图中1—5这五个数字上面分别有5幅图，为什么这五幅图都要用近似的长方形给框起来呢？

2、              1是有1头大象来表示的，2是用2头犀牛来表示的，为什么要用一大一小两头犀牛？而不是一样大的两头犀牛呢？是编者无意为之还是有意为之？

3、              1、2都用的是完整的动物，而3却用的是小鹿的头呢？是因为图太大画不下吗？那可以把小鹿同比例缩小一些呀？

4、              1、2、3用的都是动物，而4却用的是白云，小鸟也是4只，为什么不用小鸟来表示呢？

5、              5为什么不全部用学生，而是1位老师和4位同学？为什么不全部用女生或男生，而是有男生有女生呢？

我已经听到大家的议论了，那么，下面看看一位老师的回答，和你的想法是否一样。

其实这是五幅集合图，这五幅图不但是相互联系的，而且还蕴含着从不同角度对数进行抽象的数学思想方法。第一个集合图与第二个相比，后者虽然也是完整的两只河马的集合，但不是两只完全一样的河马，而是一大一小，从对数的抽象过程分析，在计算物体个数时是不分物体的大小的，从集合角度分析，在同一个集合中这两只河马表示为这个集合的两个元素；再看第三幅集合图，画的不是完整的长颈鹿，而是３只长颈鹿的头，这又说明确定一个集合的元素的多少时不一定需要用完整的物体来表示，可以只用物体的一部分来表示，但这个“部分”必须和物体有着一一对应的关系；再看第四幅集合图，表示的不再是地上的小动物，而是天上的云朵，这又说明对数的抽象是无处不在的，任何物体和数都有关系；再看第五个集合，无论是男生还是女生，无论是老师还是学生，在这个集合中表示的都是其中的元素，元素的多少与物体的属性没有关系。也就是说，所有这些并非编者无意而为之，而是从集合的观点出发来解释怎样从自然界中抽象出自然数，同时也渗透了自然数的特点。

说实话，最初看到这个问题时，我也没想明白，也曾教过一年一年级，我眼中所看到的就是１头大象、2只犀牛、3只长颈鹿、4朵白云、5个人。而看完这位老师的理解之后，再回过头来看教材中的主题图，我们的感触与刚才显然是不同的。原来这么简单的数学知识背后还蕴藏着这么丰富的内容。

刚才说到“集合”，让我又想起曾经看到这样一个小故事：

一个数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今天学到了什么。女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合’。”数学家觉得这样一个高度抽象的概念，对于女儿这样年龄的孩子来说实在太难理解了，因此就关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答道：“懂！一点也不难。”这么抽象的概念居然会这样容易的理解?听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放心不下，因此又追问道：“你们的老师是怎么教你们的?”女儿回答道：“老师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合、黑人孩子的集合……最后，教师问全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答复。”显然，这个教师所采用的教学方法并没有什么问题，甚至可以说相当不错。因此，父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的汤勺或土豆组成一个集合?”女儿迟疑了一会，最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”很天真的孩子，这就是她的理解！不过，我们是否会在发笑过后引发一些思考？问题出在哪里？其实还是我们教师自身对知识的认识。

说到这里，让我想起我国著名数学家张景中院士说过的这样一句话“小学数学小儿科，大学问。”这句话非常适合我们在位的每位数学教师，我们平时很多时候往往只关注了前面的三个字——小儿科，小学数学嘛，太简单了，简直小儿科。而恰恰忽视了后面的三个字，也就是其中蕴涵的“大学问”。

可能有老师要说了，知道这些和不知道这些有什么关系，我只要能让孩子们喜欢上我的课，爱上数学学习，学好数学不就行了。不是的！知道这些和不知道这些是有着本质的区别的！

就比如让我再来上“认识1——5”这节课。

当我教到“认识2”的时候，以前我会问这里有几头犀牛，学生会说两头，我可能立马会问生活中还有哪些地方能找到2呢？学生会说两只手、两只眼睛、两扇门等等，我会说，哦，生活中这么多地方都有2，那这些都可以用数“2”来表示，2的认识就到此为止了。而现在有了这些认识之后，我可能就不会这样来问了，我会问：“孩子们，不对吧？你看，这两头犀牛一个大一个小，不一样耶，你们觉得还能用2来表示吗？”老师们，问这个问题和不问这个问题对孩子们对数这个概念本身的抽象和理解是不一样的。你猜学生会怎么回答？“老师，大小没关系，不管它是大犀牛也好小犀牛也好，红犀牛也好黑犀牛也好，只要它是两只，都可以用2来表示。”经历了这样的思考的过程，学生所概括抽象出的2和不经历得出的2的内涵和意义是不一样的。我们都知道，作为数学老师，我们教学的目的不只是让学生掌握一些数学知识，如果只是一些数学知识的话，那太简单了。像认识1——5的这些知识，不要说小学数学了，孩子们在幼儿园里就已经会了，是不是，我们根本没有必要再教了，但是，我们的目的在哪里？我们的目的是在让孩子们除了能掌握一些数学知识以外，更能在学习数学的过程中，更能掌握抽象思维的过程和力量，获得抽象思维的思想和方法，这些是数学学科所能提供给我们的，也是其他学科所不能替代的。

说了这么多之后，我们再一起回到我们的一开始的问题上“数学教什么”。一开始，我们总以为自己对数学内容了解的已经足够多了，我们对教材已经足够的认识了。从前面的那位张老师所说的“你只比你的孩子们快了一课时”到“小学数学中最简单的认识1——5”，此时此刻，我们是不是感觉到我们知道并不是我们想象的那么多。那么好，那么透的话，我们在座的小学数学老师们，是不是也应该好好反思一下我们在进行教学研究、教学实践的过程中，除了关注“怎么教”之外，是不是应该对我们教材本身的内容进行深入的解读和深刻的认识一下？

只有智慧课本，找到数学教学的“根”，我们才能从真正意义上真正解决“数学教什么”的问题。刘加霞老师对数学的“根”的理解就是“把握数学学科的本质”，刘老师把数学学科本质概括为五方面： 

第一，对数学基本概念的理解。小学阶段所涉及的数学概念都是非常基本、非常重要的，“越是简单的往往越是本质的”。因此，对小学阶段的数学基本概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观，真正使“情感、态度、价值观”目标得以落实的载体。基本概念教学非常重要，学生经历不同的学习过程将导致学生对概念的理解达到不同水平。

　　小学数学的基本概念主要有：十进位制、单位 （份）、用字母表示数、四则运算，位置、变换、平面图形，统计。

　　第二，对数学思想方法的把握。

　　数学基本概念背后往往蕴涵着重要的数学思想方法。数学的思想方法极为丰富，小学阶段主要涉及哪些数学思想方法呢？这些思想方法如何在教学中落实呢？我们的基本观点是在学习数学概念和解决问题中落实。

　　小学阶段的重要思想方法有：分类思想、转化思想（叫“化归思想”可能更合适）、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。

　　第三，对数学特有思维方式的感悟。

　　每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，尤其数学又享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。

　　小学阶段的主要思维方式有：比较、类比、抽象、概括、猜想——验证，其中“概括”是数学思维方式的核心。

　　第四，对数学美的鉴赏。

　　能够领悟和欣赏数学美是一个人数学素养的基本成分，也是进行数学研究和数学学习的重要动力和方法。能够把握数学美的本质也有助于培养学生对待数学以及数学学习的态度，进而影响数学学习的进程和学习成绩。

　　数学的基本原则：求真、求简、求美。数学美的核心是：简洁、对称、奇异，其中“对称”是数学美的核心。

　　第五，对数学精神（理性精神与探究精神）的追求。

　　可以说，数学的理性精神（对“公理化思想”的信奉）与数学的探究精神（好奇心为基础，对理性的不懈追求）是支撑着数学家研究数学进而研究世界的动力，也是学生学习数学、研究世界的最原始、最永恒、最有效的动力。例如，自从古希腊时期，人们对欧氏几何的钟爱，使得古希腊人只关注数学的严谨的结构与其理性之美，而不关注现实的应用。正是在这种理性精神的支撑下。古希腊人能够探究人眼所不能看见的世界，研究遥远的天空；又是在这一精神的支撑下，在文艺复兴时期提出了惊世骇俗的转变——从“地心说”转变为“日心说”；还是在这一精神的支撑下，在19世纪上半叶提出了“非欧几何”——罗巴切夫斯基几何（简称“罗氏几何”），以及后续的黎曼几何（简称“黎氏几何”）。

老师们，小学数学的内涵是丰富的，在我们日复一日年复一年的思考和研究怎么去教呀，怎么动手实践呀，怎么小组合作呀，怎么自主探究呀等等的时候，请不要忘了，我们所教的是“数学”，请不要丢了“数学”的“根”！希望刘老师的五点概括能为我们在位的小学数学教师们带来帮助。

这里，给大家推荐几本书和几篇文章，希望大家有空不妨读一读，相信会对你深入解读小学数学有很大帮助：

•       《审视课堂：张齐华与小学数学文化》（张齐华）

•       《数学思维与小学数学》（郑毓信）

•       《开放的小学数学教学》（郑毓信）

•       《数学文化》（顾沛）

•       《数字王国》（古德基）

•       中小学数学教师素养（史宁中）

•       数学还是那个数学（曹培英）

•       感受小学数学思想的力量（张景中）

最后留给大家的思考是特级教师贲友林老师说的：

你教这么多年的书，你是越教越聪明还是越教越愚蠢？

你做老师这么多年，你是越来越幸福还是越来越痛苦？

你对于教的这门学科，你是越来越有兴趣还是越来越乏味？

希望大家在对数学的不断深入思考中越来越聪明，越来越感到幸福，越来越对我们的小学数学充满兴趣！

谢谢大家！