国培计划（徐州）之小学数学教师培训研修日志（七）

11月6日    星期六   晴

今天中午是江苏省教育科学研究院章飞老师主讲的“教会小学生数学的思维”。下午是北京师范大学数学科学学院曹一鸣教授主讲的“数学课堂教学案例研究方法与示例分析”。

一直以来每天都是在笔记本上记上一大堆然后再回去到电脑上进行半天的整理，今天，突发奇想，何不直接在电脑上做记录呢？于是，我就带着电脑来到了报告厅，起初也担心自己打字速度太慢跟不上做记录，但慢慢操作起来，感觉还行。下面，我先将今天自己的笔记和大家做一交流，然后再谈谈我今天的学习体会：

 

时   间：2010年11月6日星期六中午

地   点：徐师大云龙报告厅

报告主题：教会小学生数学的思维

主讲人：江苏省教育科学研究院    章飞（江苏教育学院数学系）

章飞简介：义务教育数学课程实验教科书副主编，江苏省教育学院数学系副教授，江苏省教育科学研究院现代教育技术研究所所长，江苏省中学数学教学专业委员会副秘书长，主要研究领域为数学课程与教学论、教师教育与教师培训。在《课程教材教法》、《数学教育学报》等刊物发表论文50余篇，编著《数学教学设计的理论与实践》等著作4部，参编教材多部，主持和参与多项省部级课题研究项目。

章老师邮箱：Zhangfei8718007@163.com

报告内容简记：

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一、     数学的思维的内涵：

数学是一门体现从无到有，从现实到数学的学科。

数学解决问题可以分三步：第一步这个问题以前见过没有？这个问题有没有类似的？第二步这个问题能不能转换成学过的问题？第三步尝试猜测，尝试猜测也是十分重要的思路。

解决问题之后要拓展延伸，使其一般化。建构知识后要注重加强新旧知识的联系。

二、完善学生数学思维的一些策略

核心的数学活动内容：抽象概括、等价转换、归纳类比、尝试猜测、拓展延伸、知识系统的建构、知识的主动适用。

（一）、关注生活素材的选取、生活问题的解决，在运用数学中发展学生的数学应用意识

1、生活问题的抽取，实际问题的解决——表示、感染。

举例：数学步道：在校园内创设各种数学氛围，让学生感悟到数学无处不在。

2、自主的提出一些数学问题：介绍提出的问题的视角和方法，教会学生提问题，让提出问题成为学习任务。

举例：带学生到操场：研究操场上的各种图形，怎样测量，怎样确信两头是半圆？测量旗杆的高度

带学生到超市：观察包装，有无误差；通道宽度设计是否合理等等。

尝试引导学生写研究报告，让学生学会有问题意识。

（二）切实参与问题解决的过程，切实感受几种不同的解决问题策略。

1、何谓问题？

解决问题过程：一般会经历一个由粗略到精细，由直观到理性的过程，是个不断优化的过程。

举例：

线段比较：姚明和同学比高低——比较不在一起的两条线段，抽象到借助中间物——借助圆规，逐步由生活上升到数学。

角的大小比较：方法雷同与线段的比较，在前面学习中一定要让学生充分理解，，这样后面学习是就可以尝试让学生自己解决。

条形统计图：先对杂乱无章的素材进行分类——分开后进行累加对比——产生条形统计图

测量客厅的高度（二年级）：用尽可能多的方法测量家里客厅的高度。父子拉尺子量——用短尺子量——用拃量——量格子——比较归纳，多样化到优化。）到四年级开始量家里所住楼的高度，让孩子思考怎样量能尽量减少误差？（数楼梯——数墙砖 ——数窗格子——量影子，最后进行比较。）

2、数学问题的解决：尝试猜测、归纳类比、转化归结，如何选择？

例：鸡兔同笼 （尝试猜测，逐步逼近，在猜测中逐步调整。——罗列分类法，长远角度，前两种方法更重要——假设法，其基础是线性关系，——方程法）

解题教学的一些思考：1、思路的自然流畅，避免假探究。2、关注解决问题方法的多样化，但不是为方法而方法。（算法多样化的核心是独立思考，不同于一题多解，形成多角度思考问题的意识，养成多样化的习惯。教师不要有意识优化。）3、关注通性通法，不要过度关注技巧，关注本质的揭示

举例：恼人的“1”：去年AB两项支出，A占30%，今年A增长了20%，B增长多少可使得总支出增长14%

40%（1+20%）+（1—60%）（1+X）=1(1+14%)

小学是否需要人为的设计单位“1”、效率等概念。

建议：设为a要好于“1”

3、          关注问题解决后的反思

让学生通过反思后形成经验。反思思路的获得：合理与逻辑，特殊与一般、具体与抽象。思路的多样：联系的观点，如数与形。反思变式：一般化、特殊化、背景化、逆句思考等。

作业量大导致的结果就是学生偷工减料或减少休息降低第二天的听课效率。同时，作业量大导致孩子缺少了反思的机会。

建议：奥数尽可能少讲，奥数只适合少量学生，高斯算法（高斯几百年才一个，我们为什么要苛刻的让我们的孩子速成呢？）

我们要让小孩儿感到数学是蛮有意思的。

（三）引领学生进行适度的推广延伸，适度的整理概括

1、获得的知识，如果没有完满的结构把它联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识，一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命（推荐：布鲁《教育过程》）

每节课、每个单元结束后，先要引导学生学会梳理知识结构，逐渐成为习惯，让学生自己有意识的梳理知识结构，这样就把书由薄读厚，再由厚读薄，使知识形成一连贯的知识体系，印象深刻。

每节课拿出框架图引出后续知识，整章学习是个整体，同时也节约了教学时间，取得较好效果。

2、系统有哪些：概念的网络系统、命题的网络系统、概念命题的研究系统

3、如何让学生感受系统，如何让学生形成建构系统的能力？

4、学习前、学习后？教师、学生？

三、对数学教学一些问题的研讨

1、对于一些学科知识的定位和理解

（1）概率：

首先理解随机观念：

次数大，频率等于概率的可能性大？——小

随着实验次数增加，频率越来越接近于概率？——摆动频率接近概率的可能性大！

频率稳定于概率如何教学？最好的理解方法：试验——交流，在争议和辩论中趋于正确

（2）几何：

空间观念、几何直观、推理能力——小学阶段要侧重于：空间观念。我们要让学生由做到想，再由想到做。

幼儿园和低年级阶段：拼图和搭积木有助于树立空间观念，可以让孩子自己拼图搭图，给爸爸妈妈介绍

如何发展空间观念、操作、想象、设计？一个学具的介绍：方格纸或钉子板，对认识图形、认识周长、认识面积等都有帮助。

（3） 算术：

定位：运算能力（运算能力的调整），适度的口算能力 的意义（保持思维的流畅性。）    

加强口算，提倡估算，计算熟练，可以使思维连贯起来。

算理问题：加的算理、乘的算理、混合运算的算理。

乘法交换率辨析：5+5+5=5×3或3×5（要说清算理：因为5+5+5和3+3+3+3+3表达的结果一样）。

计算困难问题：加法：10以内数的分解、结果在20以内的进位加法（容易错的多些练习）、两位数加减法进退位问题。

对于竖式运算的定位： 为什么教竖式？可以从较繁的竖式引入，让他明白竖式为了针对较繁难的问题有简便性，如38+26，竖式是一种拐杖，如果孩子会了有必要非得写竖式吗？还可以让学生有个过度。再如38×26

乘法：九九表、两位数乘两位数

对于算术教学的趣味性问题：如24点游戏、格子图计算连卡通图片，增加开放性和趣味性,如《happy数学》团队开发的类似书籍

（4） 应用题的教学：

不必强行归类，只要孩子能解决就行，要引导孩子画图分析，而不是机械的列式。（推荐：《怎样解题》G.波利亚）

重点不在题型的分类，重在题意的表达，在读题中画图分析。

应用题教学最好着眼于方程，重在找准等量关系。我们的说话方式和列方程方式是一致的。

（5） 度量

度量教学不仅在于会测量，更需要关注过程：直接比较、间接比较、自订单位、公用单位、简单运算和换算、进行推算、确立公式

需要关注测量与生活体验之间的关系，能建立生活的联系、对立。

如：认识100万：可以感知一百万粒大米有多少、一百万本书有多高（找参照物对比如电视塔）、一百万本书有多少（操场上能摆的下么？），这样可以对大数有充分的认识。

2、对数学的理解

（1）数学是严谨的，但需要适度的非形式化。

如倒数本质：除法——乘法，倒数的产生，使数学中不再有除法，因为乘法用起来方便。

方程：定义了解即可，但不要考诸如“下列这些算式是方程吗？”这样的试题。我们要注重它的意义，而更重要的是知道其本质。

比较2/5<3/5：不必让学生说明道理，可以让学生举例来说明，不要讲纯数学的大道理，要讲生活中的道理。

（2）数学结论多封闭，但数学教学应开放。

包括问题开放、过程开放、教学开放、评价手段开放——从而形成开放文化，如设计花坛、租船等

（3）数学是抽象的，但数学教学需要直观，直观还应经常不时地重演。

（4）数学比较刻板，但数学教学需要情趣。

如做游戏：买卖游戏、画图游戏、走迷宫、七巧板、幻方等。

结束语：

小学阶段，我们要力求做到：运算技能要过关，要发展空间观念，要经历归纳猜想过程，要激发学生学习兴趣。让我们的孩子们始终保持一颗童心、拥有持久的兴趣，然后，快快乐乐的学习！

 

时   间：2010年11月6日星期六下午

地   点：徐师大云龙报告厅

报告主题：数学课堂教学案例研究方法与示例分析

主讲人：北京师范大学数学科学学院  曹一鸣

曹一鸣简介：北京师范大学数学科学学院教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学、数学史与数学教育研究。兼任中国数学会基础教育委员会副主任，全国数学教育研究会秘书长，全国初等数学研究会副理事长，中国数学会理事，中国数学会数学史分会常务理事，数学教育学报副主编，Journal of Mathematics Education 编辑，教育部教师教育课程资源建设专家委员会专家等职。近年来多次应邀赴澳大利亚、美国、日本、巴西、马来西亚、澳门、香港等地访问、讲学。近年来一直致力数学课堂教学研究，相关研究成果应邀在第11届国际数学教育大会、美国教育学会第90届年会、第34届国际数学教育心理学大会等重大国际学术会议报告，负责承办 the 14th Asian Technology Conference in Mathematics（ACTM 2009，BNU）。

　　在教育研究、中国教育学刊、课程教材教法、数学教育学报等学术期刊发表论文100余篇。出版《中国数学课堂教学模式及其发展研究》《数学课堂教学系列实证研究》《数学教育原理》等学术专著多部，主编《数学教学论》等大学教材、中小学教师培训教材25本。目前还担任中等职业教育课程改革国家规划新教材数学(北师大版)主编。

曹老师邮箱：caoym@bun.edu.cn

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报告内容简记：

引言：教师最基本的就是做课堂案例的研究。卖假药的说自己的要包治百病，而好医生则说自己的药只治某种病。

出示一系列图片，有农民、马车、汽车、沙滩、椰子树等等，大家在猜测：农村？海南？海滩？揭示：巴西。

案例可以反映一些课堂的特征，反映课堂的一些细节，但也可能反映的就只是片面的东西，必须做进一步的深入研究。

一、     教学案例研究

1、真实发生的事件，是以真实教学状况和事件为基础的叙述性档案

2、包括特殊情景和典型问题的故事

3、有多种角度来呈现故事背景，提供足够的信息。

4、经过研究就一步引发课堂，思考

课堂观察——案例研究的一种基本手段，可以增强案例分析的说服力，课堂观察是研究者应该有目的、有计划地在课堂教学活动的自然状态下，用自己的感官借助录音录像等辅助工作，对课堂教学活动中教与学行为过程进行观察研究的一种方法。

访谈：一节观摩课后，老师觉得自己跟平常差不多，只是孩子们有些紧张；而孩子们却说自己跟平常一样，而老师有些不一样。即使是再有经验的老师，有时也很难把握好课堂，可以通过和学生的交流、回放录像，帮助自己分析课堂。

国际课堂教学研究最有影响的项目简介：TIMSS       http://www.timss.org/

课堂录像的研究；1995年参与的有德国、日本、香港、美国、台湾，1999年有澳大利亚、捷克等

首先，警惕教学简单化倾向。

美国研究者发现：教师教授概念和解题过程的方法主要分为两种：一是教师的直观描述，二是通过教师引导、适当举例、课堂讨论等形式让学生自行推论出相关概念或解题过程。

美国和我国：通过教师引导、举例、演示得出结论，让学生模仿，进行相关练习。

日本和德国：学生根据教师的引导和先前所习得的知识，先自行推导出相关解题方法，做常规运算练习的时间较少，更多的时间用于问题的分析与求证方面。

如果让学生仔细分析再解答，速度太慢，没有直接掌握规律运用规律来的快。口算速度要求又准又快，只是对小学生的要求，对成人怎会如此要求？计算并不是速度的问题，教学中让学生背会一些定理其实都是没用的，只是用于考试。

日本的课堂常留出时间，让学生解决具有挑战性的问题，鼓励一题多解，美国重视学生数学技能，而日本重视数学思维能力。

研究发现：单纯的宣传他国经验并不能带来本国教学的根本性变革。

日本很多课堂教学同美国教师协会《数学教师职业标准》（NCTM）相一致，如数学课堂强调高质量，强调数学思维能力和问题解决能力、鼓励多样的解题方法。

无论是对好学生还是对差学生都应该放慢脚步，训练学生思维，让学生去做、让学生去讲，让学生真正弄明白。

我们也明白教学目标、明白课标要求，但真正做到的却很难，甚至有人会反驳课程标准。有的表面看起来很热闹、很好，实际上并非如此。

目前很多课堂改革仍属于浅层次的，未能改变深层次的教学文化，教学模式受各国政治文化等影响，不能简单复制。

二、课堂观察编码分析

怎样进行课堂观察，课堂教学观察的基本步骤：

1、课堂观察前准备：确定观察的目的和规划

首先要确定观察的时间、地点、次数等，其次要根据研究目的确定观察的中心或焦点，再次设计和选择观察记录的方式或工具。

要确定观察什么：老师提的问题是否恰到好处？小组合作是否组织有序？对学生的评价是怎样的？等等

比如评价：可以统计评价的次数、评价的方式有哪几种、评价在什么时候等等。

对录像细致的分析可以让老师自己发现问题，然后过一段时间再录再分析，这样可以很好的促进教师的自我提高。如：课堂语言不自觉的口头禅、讨论问题的时间短交流流于形式。

举例：关注点是小组合作。往往四人一组讨论完了常常毫无收获，可以分组观察，是否每个组都在积极参与讨论，是否组内的每个成员都在发言，然后教师可以有目的的进行调控。

常常发言的人慢慢的就有了一定的组织能力，就逐渐成为一个群体的领导，而常常不发言的人就慢慢成角落里的一员。

小学里学习很好很听话的学生将来并不一定就优秀，

举例：一个学校出现过三个高考状元，校庆时邀请，没有一个人回去，其中一个毕业后在北京一个小小出版社做小编辑，就有些自卑。高考状元只是能考试，并不一定有其他能力。

一个学生考试成绩好并不一定能将自己的解题过程很准确有层次的表达出来。在加拿大口头准确有层次的表达比书面表达更重要。比如应聘时就需要自己首先能高度概括地表达。

举例：香港某大学招博士生：1、有好的成绩；2、有很好的交流表达能力；3、有很好的组织领导才能。而这些都形成于小学，课堂的合作交流就是培养的途径之一。

注意：拍录像课，应该用多台摄像机：拍老师、从前面拍学生、有针对性的拍个别学生

2、课堂观察：进入课堂及记录资料

要征得被拍者的同意，尽快在观察者和被观察者之间建立相互信任的关系，以消除被观察者的怀疑和戒备心理，消除学生的好奇心。记录观察行为的模式：行为发生的时间、师生语言或非语言活动、访谈等等。

3、          课堂观察后的工作：资料的分析和结果的呈现

分析可分为定性和定量两种。

三、课堂观察的伦理问题

原则：开诚布公、尊重自由抉择的权利；遵守承诺；避免身心伤害；尊重隐私权；澄清误解和告知结果；最好是大家都有利（达到共赢）

四、课堂观察的主要方法：

*定量课堂观察：

统称为分类的体系，特点：预先设计行为的类目，然后对在特定的时间段内出现的类目中的行为做记录。

有三种主要样式：编码体系、记号体系、项目清单、等级量表

收集数据形式：频率计数、事件发生百分比、等计量表分数。

比如：一位老师，提问只提前三排学生、直走到过

前三排、经常只提问极个别学生（有的学生连续几次没有提到，会沮丧、唉声叹气，要关注全体学生。逐渐学生就不再举手发言了，到初中、高中举手发言的越来越少。还有的老师把点名发言当作对注意力不集中的惩罚。）

（有位学生说：今天老师对我很好，不只是让我站到前面去，还让我当值日生，原来是孩子昨晚忘了写作业，也就是有时孩子并不一定能很好的理解教师的意图。）

定量研究的信度与效度

1、效度是有效而准确地描述研究者想要描述的情况的程度

2、信度是指研究的可靠性，即研究的精确性、可重复性、观察者之间的一致性程度（包括观察者之间的一致性、观察者内部的一致性。）

鉴别性标准：

效度标准：类目的不重复性、代表性、降低观察者的主观察推断

实用性标准：简洁、方便、可操作性

定量观察的优势与局限

优势：反映课堂中存在的问题，

局限性：不能全面反映课堂

基本步骤：产生编码类别、归类整理、资料解释与展示

*定性观察课堂：

优点：研究者的视角注重了整体性、情境性、开放性；研究过程的动态性和灵活性；资料分析的扎根性、观察记录的简便性。

孔子教学：不愤不启

中国学生的数学学习环境缺陷：

单一讲授的上课方式、教师灌输、学生被动接受；班级规模大，一般超过40人。低认知水平的频繁考试和高度竞争造成教师和学生负担过重。

各国课堂（图片展示）：澳大利亚、日本等。

 

以上是我在听的过程中草草记录的内容，有很多遗漏之处，望大家见谅。这是第一次这样边听边用电脑记录，相信以后练的越来越多，记录的也一定会更完整、详尽。接下来就和大家聊聊我今天的些许感受：

1、章老师的报告让我感悟最深的就是：让提出问题成为学生的一种习惯。

李政道博士在复旦大学演讲时，说过的一句很深刻的话：中国古代讲究做“学问”，而现在的学生，却是在做“学答”。──这种现象的产生，原因固然很多。但要扭转这种局面，关键还是靠我们教师。

．  在我们的课堂中，我们要逐步引导学生学会观察、学会思考、学会发现问题，更重要的是会提出问题，再想办法来解决问题。章老师在报告中提到的和儿子一起量客厅的高度，量住宅楼的高度对我们就是很好的启发。我们应该多给孩子们创造这样的机会，带孩子们走出教室，给他们更广阔的发现问题、提出问题的空间和机会。

2、听了曹老师的报告，我最想说的就是：我们要直面我国教育实情。

看到国外教育的发展，和我们的实际相比，的确非常的超前，一个班二三十个学生，两位老师上课，而我们是五六十人甚至是上百人一个老师上课，就此一点，我们就很难赶上，所以，我觉得中国教师谈“自主探究”，需要克服的困难实在太多，诸如，如何保证孩子都能主动的参与探究，如何保证探究的有效性等等，面对大班教学组织课堂纪律往往是我们关注的重点，那就必然会降低对孩子们自主探究能力的培养。当然，事实是不可能在一朝一夕得到改观，所以我们能只有学国外的时候能结合我们的教学实情，批判地学习他人，同时还要继承我们的优良传统，这样才会有助于我们今后的教学。

另外，今天曹老师今天的报告中提到最多的就是有关录像课的问题。的确，这实际上对我们的教研很有帮助，两年前，在我们学校就曾进行过“视频案例研讨”活动，也就是每个月学校给一位老师进行一次课堂视频录像，然后大家一起看、一起评，这的确很有效，自己看自己的课其感触远远比别人的评自己的人课要大得多，可以让自己真实的面对自己，认识自己的不足，从而改进和进步。但后来因为录像机出现故障，暂时搁置。其实有条件的学校可以尝试去这样做，这会更好地促进教师课堂教学的改善和优化，对教师的专业成长很有帮助的。

好了，以上使我今天的学习收获，啰哩啰唆，耽误大家时间了。