本文摘自:http://www.zdh1909.com/html/matlab/6413.html

MATLAB中所有符号函数(很少特殊例外的情况，讨论于后)作用到符号表达式和符号数组，并返回符号表达式或数组。其结果有时可能看起来象一个数字，但事实上它是一个内部用字符串表示的一个符号表达式。正如我们前面所讨论的，可以运用MATLAB函数isstr来找出像似数字的表达式是否真是一个整数或是一个字符串。

 

 提取分子和分母

 

 如果表达式是一个有理分式(两个多项式之比)，或是可以展开为有理分式(包括哪些分母为1的分式)，可利用numden来提取分子或分母。例如，给定如下的表达式：

 

 在必要时，numden将表达式合并、有理化并返回所得的分子和分母。进行这项运算的MATLAB语句是：

 

 >> m= ' x^2 '   %  create a simple expression

 

m=       x^2

 

 >> [n，d]=numden(m)  %  extract the numerator and denominator

 

n=       x^2

 

d=     1

 

 >> f= ' a*x^2/(b-x) '   %  create a rational expression

 

f=       a*x^2/(b-x)

 

 >> [n，d]=numden(f)  %  extract the numerator and denominator

 

n=       a*x^2

 

d=       b-x

 

 前二个表达式得到期望结果。

 

 >> g= ' 3/2*x^2+2/3*x-3/5 '   %  rationalize and extract the parts

 

g=       3/2*x^2+2/3*x-3/5

 

 >> [n，d]=numden(g)

 

n=       45*x^2+20*x-18

 

d=       30

 

 >> h= ' (x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1) '   %  the sum of rational polynomials

 

h=       (x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1)

 

 >> [n，d]=numden(h)  %  rationalize and extract

 

n=       x^3+5*x^2-3

 

d=       (2*x-1)*(x-1)

 

 

 

在提取各部分之前，这二个表达式g和h被有理化，并变换成具有分子和分母的一个简单表达式。

 

 

 

>> k=sym( ' [3/2，(2*x+1)/3；4/x^2，3*x+4] ' )  %   try a symbolic array

 

k=

 

       [   3/2，(2*x+1)/3]

 

       [4/x^2，     3*x+4]

 

 

 

>> [n，d]=numden(k)

 

n=

 

       [3， 2*x+1]

 

       [4， 3*x+4]

 

d=

 

       [   2，3]

 

       [x^2，1]

 

 

 

这个表达式k是符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母数组。如果采用s=numden（f)形式，numden仅把分子返回到变量s中。

 

 

高级运算

 

 

 

MATLAB7.0具有对符号表达式执行更高级运算的功能。函数compose把f(x)和g(x)复合成f(g(x))。函数finverse求表达式的函数逆，而函数symsum求表达式的符号和。

 

给定表达式

 

 

 

 

>> f= ' 1/(1+x^2) ' ； %  create the four expression

 

 

 

>> g= ' sin(x) ' ；

 

 

 

>> h= ' 1/(1+u^2) ' ；

 

 

 

>> k=' sin(v) ' ；

 

 

 

>> compose(f，g)  %  find an expression for f(g(x))

 

ans=

 

    1/(1+sin(x)^2)

 

 

 

>> compose(g，f)  %  find an expression for g(f(x))

 

ans=

 

    sin(1/(1+x^2))

 

 

 

compose也可用于含有不同独立变量的函数表达式。

 

 

 

>> compose(h，k，'u'，'v')  %  given h(u)，k(v)，find(k(v))

 

ans=

 

    1/(1+sin(v)^2)

 

 

 

表达式譬如f(x)的函数逆g(x)，满足g(f(x))=x。例如， 的函数逆是ln(x)，因为ln( )=x。sin(x)的函数逆是arcsin(x)，函数 的函数逆是arcsin 。函数fincerse返回表达式的函数逆。如果解不是唯一就给出警告。

 

 

 

>> finverse( ' 1/x)  %  the inverse of 1/x is 1/x since  ' 1/（1/x)=x '

 

ans=

 

    1/x

 

 

 

>> finverse( ' x^2 ' )  %  g(x^2)=x has more than one solution

 

Warning：  finverse(x^2) is not unique

 

ans=

 

    x^(1/2)

 

 

 

>> finverse( ' a*x+b ' )  %  find the solution to  ' g(f(x))=x '

 

ans=

 

    -(b-x)/a

 

 

 

>> finverse( ' a*b+c*d-a*z ' )， ' a ' )  %  find the solution to  ' g(f(a))=a '

 

ans=

 

    -(c*d-a)/(b-z)

 

 

 

symsun函数求表达式的符号和有四种形式：symsun(f)返回；symsum(f， ' s ' )返回，symsun(f，a，b)返回；最普通的形式symsun(f， ' s ' ，a，b)返回。

 

让我们试一试，它应返回： 。

 

 

 

>> symsum('x^2')

 

ans=

 

       1/3*x^3-1/2* x^2+1/6*x

 

 

 

又怎么样呢?它应返回 。

 

 

 

>> sym('(2*n-1)^2'，1，'n')

 

ans=

 

       11/3*n+8/3-4*(n+1)^2+4/3*(n+1)^3

 

 

 

>> factor(ans)  %  change the form ( we will revisit 'factor' later on)

 

ans=

 

       1/3*n*(2*n-1)*(2*n+1)

 

 

 

最后让我们试一试 ，其返回应是 。

 

 

 

>> symsum( ' 1/(2*n-1)^2 ' ，1，inf)

 

ans=

 

       1/8*pi^2

 

 

 

标准代数运算

 

 

 

很多标准的代数运算可以在符号表达式上执行，函数symadd、symsub、symlnul和symdiv为加、减、乘、除两个表达式，sympow将一个表达式上升为另一个表达式的幂次。例如： 给定两个函数

 

 

 

 

>> f= ' 2*x^2+3*x-5 '   %  define the symbolic expression

 

f=

 

       2*x^2+3*x-5

 

 

 

>> g= ' x^2-x+7 '

 

g=

 

       x^2-x+7

 

 

 

>> symadd(f，g)  %  find an expression for f+g

 

 ans=

 

       3*x^2+2*x+2

 

 

 

>> symsub(f，g)  %  find an expression for f-g

 

ans=

 

       x^2+4*x-12

 

 

 

>> symmul(f，g)  %  find an expression for f*g

 

ans=

 

       (2*x^2+3*x-5)*(x^2-x+7)

 

 

 

>> symdiv(f，g)  %  find an expression for f/g

 

ans=

 

       (2*x^2+3*x-5)/(x^2-x+7)

 

 

 

>> sympow(f， ' 3*x ' )  %  find an expression for

ans=

 

       (2*x^2+3*x-5)^3**

 

 

 

另一个通用函数可让用户用其它的符号变量、表达式和算子创建新的表达式。symop取由逗号隔开的、多至16个参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子(' + '、' - '、'*'、' / '、' ^ '、' ( '或' ) ')，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式.

 

 

 

>> f= ' cos(x) '   %  create an expression

 

f=

 

       cos(x)

 

 

 

>> g= ' sin(2*x) '   %  create another expression

 

g=

 

       sin(2*x)

 

 

 

>> symop(f，'/  ＇，g，'+'，3)  %  combine them

 

ans=

 

       cos(x)/sin(2*x)+3

 

 

 

所有这些运算也同样用数组参量进行。

变量替换

 

 

 

假设有一个以x为变量的符号表达式，并希望将变量转换为y。MATLAB提供一个工具称作subs，以便在符号表达式中进行变量替换。其格式为subs（f，new，old)，其中f是符号表达式，new和old是字符、字符串或其它符号表达式。‘新’字符串将代替表达式f中各个‘旧’字符串。以下有几个例子：

 

 

 

>> f= ' a*x^2+b*x+c '   %  create a function f(x)

 

f=

 

       a*x^2+b*x+c

 

 

 

>> subs(f，' s '，' x ')  %  substitute  ' s '  for  ' x '  in the expression f

 

ans=

 

       a*s^2+b*s+c

 

 

 

>> subs(f，' alpha '，' a ')  %  substitute  ' alpha '  for  ' a '  in  f

 

ans=

 

       alpha*x^2+b*x+c

 

 

 

>> g=' 3*x^2+5*x-4 '  %  create another function

 

g=

 

       3*x^2+5*x-4

 

 

 

>> h=subs(g，' 2 '，' x ')  %  substitute  ' 2 ' for  ' x '  in  g

 

h=

 

       18

 

 

 

>> isstr(h)  %  show that the result is a symbolic expression

 

ans=

 

       1

 

 

 

变换函数

 

 

 

本节提出许多工具，将符号表达式变换成数值或反之。有极少数的符号函数可返回数值。然而请注意，某些符号函数能自动地将一个数字变换成它的符号表达式，如果该数字是函数许多参量中的一个。

 

 

 

函数sym可获取一个数字参量并将其转换为符号表达式。函数numneric的功能正好相反，它把一个符号常数（无变量符号表达式）变换为一个数值。

 

 

 

>> phi=' (1+sqrt(5))/2 '  %  the  ' golden '  ratio

 

phi=

 

       (1+sqrt(5))/2  %  convert to a numeric value

 

 

 

>> numeric(phi)

 

ans=

 

       1.6180

 

 

 

正如第六章所介绍，函数eval将字符串传给MATLAB以便计算。所以eval是另一个可用于把符号常数变换为数字或计算表达式的函数。

 

 

 

>> eval_r(phi)  %  execute the string  ' (1+sqrt(5))/2

 

ans=

 

       1.6180

 

 

 

正如所期望那样，numeric和eval返回相同数值。

 

符号函数sym2poly将符号多项式变换成它的MATLAB等价系数向量。函数poly2syrn功能正好相反，并让用户指定用于所得结果表达式中的变量。

 

 

 

>> f=' 2*x^2+x^3-3*x+5 '  %   f is the symbolic polynomials

 

f=

 

       2*x^2+x^3-3*x+5

 

 

 

>> n=sym2poly(f)  %  extract eht numeric coefficient vector

 

n=

 

       1   2   -3   5

 

 

 

>> poly2sym(n)  %  recreate the polynomials in x (the default)

 

ans=

 

       2*x^2+x^3-3*x+5

 

 

 

>> poly2sym(n，' s ')  %  recreate the polynomials in s

 

ans=

 

       s^3+2*s^2-3*s+5

 

 

 

 

 

最后一个例子表明subs如何进行替换，并力图简化表达式。因为替换结果是一个符号常数，MATLLAB可以将其简化为一个符号值。注意，因为subs是一个符号函数，所以它返回一个符号表达式。尽管看似数字，实质上是一个符号常数。为了得到数字，我们需要使用函数numeric或eval来转换字符串。

 

 

 

>> numeric(h)  %  convert a symbolic expression to a number

 

ans=

 

       18

 

 

 

>> isstr(ans)  %  show that the result is a numeric value

 

ans=

 

       0