摩术的开普勒世界——神秘的曲率半径R

2013年高考有一道物理试题：人造地球卫星运行所受地球引力提供向心力，在远地点时有

GMm/a^2=m*VA^2/a,       在近地点时有GMm/b^2=m*VB ^2/b, 上述两式相比得

VA/VB=√b/a故VA= VB√b/a, 凡这样答题的学生均判为错误！理由是认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同.与开普勒第二定律矛盾, 因为针对卫星在近地点和远地点这一条曲线而言椭圆轨道曲率半径是相同的,设都等于R.,即在远地点时有

GMm/a^2=m* VA^2/R, 在近地点时有GMm/b^2=m* VB^2/R上述两式相比得

VA/VB=b/a故VB= VA*a/b, 凡这样答题的学生都判为正确！理由是符合开普勒第二第三定律, 我们到要细致的研究一下这个摩术的开普勒世界——神秘的曲率半径R, 因为开普勒世界中是不允许有VA/VB=√b/a和VA = VB√b/a这种关系存在的！如果存在就完全否定了开普勒第二第三定律.以哈雷慧星为例来研究,
         http://s14/mw690/001X7HTYty6WVf29bmBdd&690

        (图1)  哈雷慧星近日点拟合曲率半径与远日点拟合曲率半径

（图1）表示哈雷慧星在近日点和远日点拟合曲率半径R_B和R_A.

R_B=8.78*10^10(米) 的曲率圆与椭圆这两条曲线在近日点上一小段曲线上的拟合关系, 就是说拟合曲率半径的概念是指两条曲线拟合关系, 而不是单指一条椭圆曲线的曲率半径, 在这里我们在概念上区分了拟合曲率半径和曲率半径.因此,（图1）中哈雷慧星远日点拟合曲率半径为R_A=5.23*1^12(米),(两条曲线的拟合不分内切和外切),近日点拟合曲率半径为RB,先按开普勒设定计算,哈雷慧星椭圆轨道半长径a=2.66*10^12(米), 半短径b=6.78*10^11（米），近日点距q=(a-c)=8.78*10^10(米),c=2.572*10^12(米),远日点距Q=a+c=5.23*10^12(米), 按万有引力定律哈雷慧星近日点和远日点瞬时速度为:

VB=√GM/R_B=38878.46(米/秒),  VA =√GM/R_A=5037.38(米/秒) VB/VA=√R_A/R_B

如果按开普勒第二定律, 则有

VB=√GM *(a+c)/a(a-c)=54526.85127(米/秒)          (1)

VA =√GM *(a-c)/a(a+c)=914.993818(米/秒)          (2)

按万有引力定律计算, 开普勒引入了神秘的曲率半径R=b^2/a=(a+c)(a-c)/a=1.728*10^11(米), 我们将近日点和远日点向心加速度写成:

 g1= VB^2/R=[GM*(a+c)/a(a-c)]/[(a+c)(a-c)/a] 

  = GM/(a-c)^2       (3)
 
g2= VA^2/R=[GM *(a-c)/a(a+c)]/[(a+c)(a-c)/a]

= GM/(a+c)^2        (4)

 从公式(3)和公式(4)看到计算的向心加速度g1和g2并未改变, 这个神秘的曲率半径R=b^2/a=(a+c)(a-c)/a来无影去无踪, 只是在公式(3)中分子分母偷偷同时乘了一项(a+c)/a=1.967, 在公式(4)中分子分母偷偷同时乘了一项(a-c)/a=0.033,因为 ,54526.85^2/38878.46^2=1.967, 914.99^2/5037.38^2=0.033,
而1.73*10^11/(a-c)=1.97,1.73*10^11/(a+c)=0.033,    
所以,38878^2/(a-c)=GM/(a-c)^2 =0.017(米/秒^2). 5037^2/(a+c)=GM/(a+c)^2 =4.85*10^-6(米/秒^2),即,向心加速度g1和g2并未改变.
但公式(1)近日点的速度与公式(2)远日点速度改变成VB/VA=(a+c)/(a-c), VB=VA* (a+c)/(a-c),去掉了讨厌的根号项√！ 这正是开普勒第二定律需要的！如果,将公式(3)和公式(4)中