在有心力场中星体能量守恒的计算

 

设星体椭圆轨道半长径为a, 星体到椭圆中心距离为c, 星体近日点速度为vB, 远日点速度为vA. 按开普勒第二、第三定律, 星体机械能守恒数学式可写成

 

(mvA^2/2)-[GmM/(a+c)]= (mvB^2/2)-[GmM/(a-c)]       (1)

 

vB^2=GM*(a+c)/a(a-c)   ,  vA^2=GM*(a-c)/a(a+c)          (2)

 

计算结果显示, 开普勒第二定律,在有心力场中机械能角动量守恒: mv1*R1= mv2*R2 与牛顿万有引力定律能量守恒: mv1^2*R1= mv2^2*R2=mMG发生显著矛盾。事实上,任何绕太阳以椭圆运动的行星轨道, 都可以用等效半径为R的圆轨道来研究, 对均匀圆周运动, 它在法线方向的动能应写成(mv^2/R)* ΔS, 即在有心力场中在法线方向,遵循牛顿万有引力的能量守恒方程应写成

 

(mv^2/R)* ΔS = m(GM/R^2) * ΔS  , mv^2= mGM/R          或有

 

mv^2-mGM/R=0    ,      v^2*R=GM       (3)

 

而描述椭圆近日点和远日点速度应与1/√(a-c) 、1/√(a+c) 成比例,等效圆方程有

 

vB^2*(a-c)=GM ,  vA^2*(a+c)=GM        (4)

 

或

 

[GmM/(q)] -[GmM/(2a-q)]= m vB ^2- m vA ^2    (5)

 

本文对恩克慧星的轨道参数进行计算来具体说明上述问题. 根据观测恩克彗星的近日点距为q=1.496*10^11*0.34=5.086*10^10(米),按开普勒第三定律, 偏心率e=0.847, 则半长径a与半短径b分别为：

 

    a=q /(1-e)= 5.086*10^10/(1-0.847)=3.324*10^11(米)      (6)

 

    b=a*√(1-e^2)=1.767*10^11(米)            (7)

 

  c=a-q=2.8154*10^11 (米) 

   

 按开普勒第三定律恩克彗星的公转周期

 

    T=√(4π^2*a^3/GM)=104524014(秒)=3.312…(年)         (8)

 

下面计算等效圆与椭圆周长： L2=2πa=6.2832*3.324*10^11=2.09*10^12(米)

 

L=2πb+4*(a-b)=6.2832*1.767*10^11+4*(3.324*10^11-1.767*10^11)

=1.733*10^12(米)

 

    L2大于L约1.2倍, 违反能量守恒定律。

 

根据牛顿万有引力公式 F=GMm/R^2 =m*V^2/R,    V^2*R=GM         (9)

 

将公式(9) 写成: V^2*V*T/2π= GM,       V^3*T/2π= GM          (10)

 

按公式（10）算出恩克慧星的平均公转速度V, 有

 

    V=(2πGM /T)^(1/3), V=19981.4(米/秒)           (11)

 

 按公式(9) 求出等效圆半径:R=GM/19981.4^2=3.324*10^11(米)

 

 将恩克慧星的偏心率调整别e=0.876，半长径a与半短径b分别为：

 

    a= q/(1- e)= 5.086*10^10/(1-0.876)=4.102*10^11(米)

 

         b= a *√(1-e^2)=1.98*10^11(米)

 

有椭圆轨道周长等于等效圆周长：

 

L=2πb +4(a -b)=2.09*10^12(米)=2πR          (12)

 

 恩克慧星公转周期为

 

2πR/V=(2*3.1416 *3.324*10^11)/19981.4=104523991.3=3.312…(年) (13)

 

按公式(9) 可以求出恩克慧星在近日点与远日点的瞬时速度为

 

    vB=√(GM/q)=51082.03021(米/秒)          (14)

 

    vA=√[GM/(2a-q)]=13132.29796(米/秒)                (15)

 

按开普勒第二、第三定律公式(2)恩克慧星在近日点和远日点速度为

 

 vB=√[GM (a+c)/a(a-c)]=69422.5572(米/秒)    (16)

 

   vA=√[GM (a-c)/a(a+c)]=5751.101507(米/秒)    (17)

 

vB和 vA值满足能量守恒方程(5), vB和vA值满足能量守恒方程(1).

对比近日点速度相差18340(米/秒), 这可以在2013年对恩克慧星的观测中验证开普勒第二、第三定律是否正确.

（本文计算取引力常数G=6.672*10^-11牛顿*米^2/千克^2, 太阳质量M=1.9891*10^30千克), 请参阅“细算恩克慧星---观测论证开普勒第二、第三定律” 一文.