数学中数的分类，实数与逻辑

    数起源于原始人类用来数数计数的记号形成自然数“数”的符号，是人类最伟大的发明之一，是人类精确描述事物的基础。

    在人类漫长的历史进程中，

    1° 通过对现实事物数数这种方式得到了数；

    2° 数可以使用一定的方式进行运算；

    3° 数同空间事物相联系时，可表明这些事物的多少。（摘自自然数原本数数论）

    现在数学，把数的分类如下：

     http://s10/mw690/001X6tbNzy79EKsGSnvb9&690


    这种分类中，局部有错误的表达。因为有违逻辑的自洽。

    什么叫实数？

    实数的定义？

    实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。

    历史

    毕达哥拉斯为首的希腊数学家们认识到有理数在几何上不能满足需要，但毕达哥拉斯本身并不承认无理数的存在。直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

    根据日常经验，有理数集在数轴上似乎是“稠密”的，于是古人一直认为用有理数即能满足测量上的实际需要。以边长为1厘米的正方形为例，其对角线有多长？在规定的精度下（比如误差小于0.001厘米），总可以用有理数来表示足够精确的测量结果（比如1.414厘米）。但是，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家发现，只使用有理数无法完全精确地表示这条对角线的长度，这彻底地打击了他们的数学理念；他们原以为：

    任何两条线段（的长度）的比，可以用自然数的比来表示。

    正因如此，毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数（1 , 2 , 3 ，...），而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击；见第一次数学危机。

    从古希腊一直到17世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至函数、极限和收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的戴德金、康托等人对实数进行了严格处理。

    几何

    从有理数构造实数

    实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开。如{3，3.1,3.14,3.141,3.1415}

    所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

    公理的方法

    设 R 是所有实数的集合，则：

    Ⅰ 集合 R 是一个域，可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。

    Ⅱ 域 R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数 x，y和z。

    Ⅲ 若 x≥y则 x+y≥y+y

    Ⅳ 若x≥0且y≥0则xy≥0

    Ⅴ 集合R满足完备性，即任意R的有非空子集S，即S∈R，S≠φ，若S在R内有上界，那么若S在R内有上确界。

    最后一条是区分实数和有理数的关键。例如对于所有平方小于 2 的有理数的集合，它在有理数集内有上界，例如1.5；但在有理数集内无上确界（因为√2不是有理数）。

    实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域R1和R2，存在从R1到R2的唯一的域同构，即结构上两者可看作是相同的。

    http://baike.baidu.com/link?url=IYRlh5pcZanGiSTinTHhUvxDBzHiCisT-RMGrCz71ILR4nW0ixj9WqEF_7TBS08J0BG7YX1Odaw9SjccpXxYWqAHHtaAoNrJ2z3smEKszOy

    那什么才是合逻辑的实数呢？

    实数和数轴上的点一一对应。说明所有实数可以有序排列。

    证明了实数可数，说明康托尔证明实数不可数是错误的。

    说明了实数可以在x数轴上有相应的点对应，那么实数是一个点吗？

    单独一个点是无大小的，所以每个点都是一样的。

    那么，怎样从点反映出不同的实数呢？

    大家想到的是x数轴上有原点0，还有方向性→，所以从原点0→，数就越大，从←0数就越小。

    由单个点是没大小的，也就没意义。

    但从原点 0→到点A，有两个点，则就形成一个线段。这个线段就是一个“整体”。

    x数轴所有的点到原点0，就得到所有不同的线段。每个线段就代表一个实数。

    得：每个实数不是一个没意义的点，而是由两点组成的实体“线段”。

    得到所有实数都是可以用大小有序的排列，故所有实数可数。

    实数的定义：[0，R]，即表示在x数轴上原点0到R点的距离，也是一个线段 0→R 长。就是任意实数R。[0，R]与数学上开间闭间不是一个意思。
     实数：必须是确定的，大小是确定的。得实数必须有明确的边界[0，R]，

     即有两个端点（下界和上界）原点0，和另一个端点R，组成一个“线段”。

     请注意：[0，R]不是指你们所说的开间和闭间。
     [0，R]有两个意义：（一）是指“线段 0→R”的两个端点，也叫界。

                          （二） 是指“线段 0→R”的两个端点所包的线段长度。

     得实数是一个“整体”。
    

    举例：在x数轴上原点0到K点的距离为单位1，则实数1就是[0，1]，实数1就是0→1的距离，是个线段长度。此线段的三分之一长就是实数1/3；此线段的二分之一长就是实数1/2。

    所有实数都有x数轴上，所有实数都有个大小值，即线段长度表示。无理数√2也能在x数轴上，也是一个线段长度。

    实数：每个实数是一个确定的常数，不是变量。

    所以实数1/3与无穷的变量 0.333.... 属两个不同的概念。

    即： 1/3 ≠ 0.333....

    那么变量是怎样得来的？就是人为的用十进位除法方式去迫近1/3得到的一个变量。

    即，0.333....不是个数，更不是个小数。

    实数只有“整体”和“线段”两种表示法。

    所有实数都是有限的，有限的才是整体的。

    能有限的，如 0.5 现在完全可以不用0.5这种有限数字表达形式，因为有1/2等价。

    那么 [0，0]就是0，0是实数吗？=== 不是！0不是一个线段长度，不是一个实体。

    空数：[0，0]就是0，0是空数。没长度，上下界重合，是一个点。常做数轴上的原点。

    由于0是空数，表示没有，所以当两个相等的数相减后就用0表示。所以0不属自然数，也不属偶数，更不属整数和实数。

    代表数x再拿掉x，即 x-x=0

证明： 0 不是实数。

证：

实数公理：每个实数的值（大小）是确定的，唯一的。

纠正人类的误区（一）：实数R，有 R＞0.===是什么逻辑？

    是实数R比0大？不是！因为0是原点，是个没大小的点。所以不可以与实数R比大小。

    是实数R在原点的右边，说明R是一个正实数。

    纠正人类的误区（二）：实数R，有 R≥0.===是什么逻辑？

    是实数R等于或比0大？不是！因为0是原点，是个没大小的点。所以不可以与实数R比大小。

    所以，R≥0是错误的表达。只能是 R＞0一种情况。即，说明R是一个正实数。

 

    所以数的表示：

     http://s1/mw690/001X6tbNzy79EKpeUqk20&690

       公理：每个实数的大小唯一性。
    解释上面，不可能数1又是数2，即1≠2，1≠1.00000...1大小值是唯一的。

    定理1：每个实数的大小是确定的（整体性），即“无穷数”不是实数。

    解释定理1，每个数是确定的，数的边界不是含糊的不是模糊的。即1/3≠0.33....

   证明：设“无穷数”为: a.a1a2a3...通俗例 5.372...或 0.333...

 那么无穷数是怎样得来的？先说一个实数1/3，这个1/3是一个确定的实数。

所有实数是一个可以整体线段表示的数。合逻辑性（公理）的。

得 1/3≠0.3≠0.33≠0.333

又，0.333...的大小是无穷尽的，总会有后一3增加，

0.333...的是没有后界即没边界，所以不是个整体。

所以0.333...的大小是动态的，是不唯一的，是不确定的。

由公理得，每个数的大小是唯一的。得 1/3≠0.333...

由反证法：假设无穷的a.a1a2a3...是一个实数，

得到这个实数[0，a.a1a2a3...]按实数公理的确定性唯一性和定义[0，Rn]，

 在x数轴上有确定的点，得a.a1a2a3...必有个封底的点an，由于a.a1a2a3...无穷无尽，在an之后必有一个点a（n+1）。

得a.a1a2a3...没一个确定的点保证其确定性和唯一性。

得a.a1a2a3...不是一个实数

故之前的假设不成立。

没确定为实数时与实数没几何关系：即 1/3≠0.333...

                                           3≯0.333...

                                            0.333...≯0.3

因为 1/3，3，0.3都属于确定实数。0.333...还不属于实数。所以无可比性。

属于两个不同体系的元素。类似 编码10与实数5 无可比性一样。

  所以，“无穷数”不是实数。证毕！