4．探索规律

（1）尾数问题

〖老师告诉你〗

在整数的各种问题中，我们常常遇到求一个整数的尾数问题，关于这个问题可以引出许多有趣的问题，而且研究自然数的个位数字也很有意义的。

一个整数的尾数，就是指这个数的个位数字，也就是这个数除以10所得的余数。零和一位数的尾数就是这个数本身。下面我们介绍一下尾数的一些规律：

（1）和的尾数。两个数的和的尾数，等于这两个加数的尾数之和的尾数。

例如：546的尾数是6，375的尾数是5。6＋5＝11，所以546与375的和的尾数就是其和11的尾数。

（2）积的尾数。两个自然数之积的尾数，等于这两个因数的尾数之积的尾数。

例如：42与396的积的尾数，就是这两个数的尾数2与6的积2×6＝12的尾数2。

下面，我们把积的尾数的各种可能情况列式如下。

积的尾数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
两个因数尾数的可能情况	0×0	1×1	1×2	1×3	1×4	1×5	1×6	1×7	1×8	1×9
	1×0	3×7	2×6	7×9	2×2	3×5	2×3	3×9	2×4	3×3
	2×0	9×9	3×4		2×7	5×5	2×8		2×9	7×7
	3×0		4×8		3×8	7×5	4×4		3×6
	4×0		6×7		4×6	9×5	4×9		4×7
	5×0		8×9		6×9		6×6		6×8
	6×0				8×8		7×8
	7×0
	8×0
	9×0
	2×5
	4×5
	6×5
	8×5

从表中,我们可看出积的尾数是0的，除0乘以任何数外，偶数与5的乘积尾数都为0，而奇数与5的乘积尾数都为5，此外，积的尾数为2、4、6、8的两因数积的尾数的可能情况均超过5种，而积的尾数是1、3或7的不超过3种。那么，对于相邻的两个自然数的乘积的个位数字又有什么特点呢？

不妨我们列示如下：由于仅考虑它们的个位数字，所以相邻的自然数之积有：

1×2=2,2×3=6,3×4=12,4×5=20,5×6=30,

6×7=42, 7×8×56,8×9×72, 9×10=90,10×11=110

我们不难看出，相邻两个自然数的乘积的个位数字只可能是0，2，6三种，因此，若一个自然数的个位数字不是0，2，6那么，这个自然则不可能为两个连续自然的乘积。

（3）幂的尾数。一个自然数的n次幂（即自乘n次的积）的尾数等于它的尾数的n次幂的尾数。

　例如：673的尾数就是的尾数目、46115的尾数就等于115的尾数。

　那么自然数的幂的尾数都有哪此情况呢？我们知道，整数的个位数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十种可能，我们把这十个数字列出表格，看它们经过若干次方后的尾数有什么变化规律：

　一次方：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

　二次方：0，1，4，9，6，5，6，9，4，1

　三次方：0，1，8，7，4，5，6，3，2，9

　四次方：0，1，6，1，6，5，6，1，6，1

　五次方：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9

　六次方：0，1，4，9，6，5，6，9，4，1

从表中我们不难看出：

（1）尾数是，1，5，6的数的任何次幂的尾数都与原数的尾数相同。

（2）尾数是非曲直，3，4，7，8，9的自然的尾数随着这个数自乘次数的增加按一定规律循环出现。如五次方的个位数字与一次方的个位数字完全相同；六次方的个位数字与二次方的个位数字完全相同；七次方的个位数字与三次方的个位数字完全相同；八次方的个位数字与四次方的个位数字完全相同。列示如下：

a¹，a⁵， a⁹……的个位数字相同；

a²， a⁶， a¹⁰……的个位数字相同；

a³， a⁷， a¹¹……的个位数字相同；

a⁴， a⁸， a¹²……的个位数字相同。

我们发现2，3，4，7，8，9的若干次方的尾数变化规律为个一循环，如477ⁿ 的尾数规律：当n依次取1，2，3，4，5……时，477ⁿ的尾数依次为，9，3，1，7，9，3，1。以7，9，3，1为一循环节，也就是说，如果指数除以4余r(r为，1，2，3)则aⁿ的个位数与a⁴,a,a²,a³的个位数相同。

（3）平方数的个平数字只可能是0，1，4，5，6，9而不可能是2，3，7，8。

那么，当我们遇到判断一个整数是否是完全平方数时，如果这个整数的个位是2，3，7，8当中的任何一个数字，则这个整数就不是一个完全平方数。但这里，我们需注意,如果这个整数的个位为0，1，4，5，9当中的任意一个，也不可能肯定这个整数就一定为一个完全平方数。这时，我们判断这个整数是否为完全平方数就可以应用其它的方法。

首先我们可将完全平方数逐个列出：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144……1000……这里，很容易知道，在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。即如果n²<a<(n+1)ⁿ，那么a不是完全平方数，那么完全平方数应具备哪些条件呢？

其一：任何偶数的平方必为4的倍数，可用心4k的形式表示，任何奇数的平方必为4的倍数加1，可用4k＋1的形式表示，任何整数被4除，只可能有四种情况：即余数为0，1，2，3或者说，整数只有4k,4k+1,4k+2,4k+3这四种形式。由前面的分析可知，4k和4k+1均有可能是一个数的平方，但形如4k+2,4k+3的整数不是一个完全平方数。

其二：任何整数被3除只可能有三种情况，即余数为0，1，2或者说整数只有3,3k+1,3k+2三种形式(k为整数)，形如3k的整数平方后仍是3的倍数，形如3k+2的整数平方后必是3的倍数加1。即任何整数平方后只可能是3k或3k+1的形式。因此形如3k+2和的数不可能是完全平方数。

其三：任何整数被5除的余数只有0，1，2，3，4五种情况。形如5k的整数平方后仍是5的倍数，形如5 k＋1，5 k＋4r 的整体平方后也必为5的倍数加1，形如任何整数平方后只可能是5 k，5 k＋1，5 k＋4的形式，那么形如5 k＋2，5 k＋3的数，不可能是完全平方数（即完全平方数的个位数字不可能是2，3，7，8，）。同理，我们不难推出，形如8 k＋2，8 k＋3，8 k＋5，8 k＋6 ，8 k＋7的数不是完全平方数，形如9 k＋3，9 k＋5，9 k＋6，9 k＋8的数也不完全平方数。

其四：我们考察一下完全平方数的个位和十位上的数字各有什么特征，观察这些完全平方数的个位和十位，不难发现：完全平方数个位是奇数的，其十位上数字必为偶数，完全平方数的个位数字为6时，其十位上的数字必为奇数。

（4）三次方的个位数字从0－9都有可能。

（5）四次方的个位数字只可能是0，1，6，5，不可能是2，3，4，7，8，9。而3，7，9的四次方的积的尾数是1。4，6和8的四次方的积的尾数为6。

（6）个位是4的整数的奇次方个位仍为4，偶次方个位为6，个位是9的整数的奇次方个位仍是9，偶次方个位为1。

应用这些规律，我们在解题时会更方便、快捷。

 

〖请你读一读〗

例1．1998 的个位数是多少？

【分析与解答】1998 表示1999个1998相乘之积，如果你想通过计算先求出1999个1998相乘的积，再得出要求的个位数是几，那几乎是不可能的。因为这个积是一个非常大的数，要把它准确地计算出十分困难。怎么办？这就需要去研究自然数的n次方的个位数的规律。

为了叙述方便，我们把一个整数的个位数叫做它的尾数。这样，小于10的整数的尾数就是它本身。一般地，一个整数的尾数就等于它除以10所得的余数。因此可以知道：

1、两个整数的和的尾数，等于这两个整数尾数之和的尾数。

2、两个整数的积的尾数，等于这两个整数尾数之积的尾数。

例如，387×294的尾数，就等于两个因数的尾数7与4的积28的尾数8。由此可进一步推得：

3、一个整数的n次方的尾数，就等于它的尾数的n次方的尾数。

例如，37 的尾数就等于7 的尾数1。

根据结论3，可以把求1998 的尾数转化成求8 的尾数。

为了求出8 的尾数，我们分别求8 、8 、8 、8 ……的尾数，从中探索规律。

8 的尾数是8，8 的尾数是4，8 的尾数是2，8 的尾数是6，

8 的尾数是8，8 的尾数是4，8 的尾数是2，8 的尾数是6，

……

这表明8的n次方的尾数按8、4、2、6的顺序循环出现：8、4、2、6、8、4、2、6、……的顺序循环出现，应用这一规律，就可使问题得到解决。

1998 的尾数等8 的尾数，而8的n次方的尾数按8、4、2、6的顺序循环出现，所以根据1999÷4=499……3知8 的尾数等于8 的尾数2，从而知1998 的个位数等于2。

例2．数学家于1996年在巨型电子计算机上发现了当今世界上已确认的最大素数2  －１，这个素数有909526位数，试求它的个位数。

【分析与解答】关键是求2 的尾数。因为2的n阍人方的尾数以4个为周期循环出现，所以通过求909526除以4所得的余数r，就可把求2 的尾数转化成求2 的尾数，而2 的尾数很容易求出。

因为3021377=3021300+77，而3021300除以4所得余数是0，77除以4所得余数是1，所以3021377除以4所得的余数是1，2 的尾数是2 的尾数2。

可见2 －1的个位数是1。

例3．求25 ×26 ×27 的个位数。

【分析与解答】先分别求出25 、26 、27 的尾数，再求最后乘积的尾数。

尾数为5的自然数，它的任何次方的尾数仍为5，所以25 的尾数为5；同样的道理，26 的尾数是6，所以25 ×26 的尾数等于5×6的尾数0，从而知25 ×26 ×27 的尾数为0，即所求个位数为0。

 

例4．已知199□个199□（两个□所代表的数字相同）连乘积的个位数是4，□所代表的数字是多少？

【分析与解答】这道题是已知199□个100□的连乘积的尾数是4，要反过来求199□的尾数。由于一个整数的尾数只能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9之一，所以可根据整数n次方的尾数的循环规律，由连乘积的尾数是4，先排除部分数字，再在剩下的数字中挑选出答案。

因为199□个199□连乘积的尾数是4，而4是偶数，所以□不会代表1、3、5、7、9；同时□也不会代表0或6，因为如果□是0或6，那么连乘积的尾数也应是0或6，而不会是4。这样一来，方框所代表的数只能在2、4、8之中。

对于1992 来说，1992 的尾数等于2 尾数。因为1992÷4=498，余数为0，所以2 的尾数等于2 的尾数6，不是4，这表明□不代表2。

同理知，□不代表4。

对于1998 来说，1998 的尾数等于8 尾数。因为1998÷4=499……2，所以8 的尾数等于8 的尾数4，可见□代表8。

 

例5．说明无论n代表怎样的自然数，2×（6 +1）都不能分解成两个相邻的自然数的乘积。

【分析与解答】根据尾数的运算规律，相邻两个自然数乘积的尾数由下列各式决定：0×1、1×2、2×3、3×4、4×5、5×6、6×7、7×8、8×9、9×0，这十个乘积的尾数只有三种可能：0、2、6之一。

根据这一结论，只要说明2×（6 +1）的尾数不在0、2、6之中，就证实了它不能分解成两个相邻自然数的乘积。

不管n是什么自然数，6 的尾数始终为6，6 +1的尾数为7，2×（6 +1）的尾数等于4，不是0、2、6中任何一个，所以2×（6 +1）一定不是两个相邻自然数的乘积。

 

例6．求3¹¹⁵除以5的余数。

【分析与解答】一个数的个位数字小于5时，这个数除以5的余数就等于它的个位数字；一个的个位数字大于或等于5时，这个数除以5的余数就等于其个位数字与5的差。所以，求3¹¹⁵除以5的余数，我们关键是求3¹¹⁵的个位数字。

经上面介绍的个位为3的经过不同次数的乘方之后，个们数字变化规律可知，115除以4的余数为3。所以3¹¹⁵的个位数字与3³的个位数字相同，即为7。进而可知3¹¹⁵的个位数字与3³的个位数字相同，即为7，7－5＝2。

例7．求3¹⁹⁹⁸×5¹⁹⁹⁹×7²⁰⁰⁰的尾数是几？

【分析与解答】4个3相乘的积（3⁴）的尾数为1，而1998个3相乘可以记为3^4×499×3²（1998＝4×499＋2）所以

3¹⁹⁹⁸＝3^4×499×3²=（3⁴）⁴⁹⁹×3²

同理，5¹⁹⁹⁸可记为：

5¹⁹⁹⁹＝5^4×499×5³=（5⁴）⁴⁹⁹×5³

7²⁰⁰⁰=7^4×500=（7⁴）⁵⁰⁰

把它们经过如引改写之后，再利用尾数规律便可求得了。

3⁴的尾数为1，5⁴的尾数为5，7⁴的尾数为1。由规律可知（3⁴）⁴⁹⁹的尾数也为1，3²的尾数为9，所以3¹⁹⁹⁸的尾为1×9＝9，又5⁴的尾数为5，可知（5⁴）⁴⁹⁹的尾数也为5，而5³的尾数为5，所以5¹⁹⁹⁹的尾数为5（5×5＝25）。由7⁴的尾数为1，可知（7⁴）⁵⁰⁰的尾数为1。

那么3¹⁹⁹⁸×5¹⁹⁹⁹7²⁰⁰⁰的尾数为5（9×5×1＝45）

答：3¹⁹⁹⁸×5¹⁹⁹⁹×7²⁰⁰⁰的尾数为5。

如果从另外的角度考虑本题就更简单：奇数的任何次方的尾数仍是奇数，特别地，5的任何次方析尾数为5，3¹⁹⁹⁸×5¹⁹⁹⁹×7²⁰⁰⁰中3¹⁹⁹⁸×7²⁰⁰⁰的尾数为奇数，5¹⁹⁹⁹的尾数为5，因此3¹⁹⁹⁸×5¹⁹⁹⁹×7²⁰⁰⁰的尾数为5。

〖请你试一试〗

1．求1¹⁹⁹⁸＋2¹⁹⁹⁸＋3¹⁹⁹⁸……＋1997¹⁹⁹⁸＋1998¹⁹⁹⁸个位数字是多少？

2．若a不能被5整数，则a⁴－1能被5整数。

3．一箱水果糖，分给若干个小朋友，每个小朋友9块，最后还剩下8块。问这箱水果糖的总数是否有可能为完全平方数？

4．是否存在自然数n，使n²+n+1是5的倍数？

5．乘积1256×750×625的末尾有多少零？

6．已知478¹⁵⁶□的个位数字是2，□内填什么数字？

7．目前发现的最大质数是2⁷⁵⁶⁸³⁹－1，它是一个227832位数。这个数的个位数字是几？

8．我们把从1开始若干个自然数的连乘积用简单的符号表示，如：1×2×3记作3！读作3的阶乘；

1×2×3×4×……×100记作100！读作100的阶乘；

1×2×3×……×n记作n！，读作n的阶乘。

求n=1!+2!+3!+……＋1997！＋1998！的尾数是多少？

9．求4¹⁹⁹⁷＋5¹⁹⁹⁸－7¹⁹⁹⁹的个位数字是多少？

10．求1997¹⁰⁰×1998¹⁰⁰×1999¹⁰⁰的个位数字是多少？

11．有一列数列1，3，5，5，3，1，3，5，5，3，1……即1，3，5，5，3，1循环排列，求：

（1）第1998个数是什么数字？

（2）前1998个数的和的个位数字是多少？

12．从1，1，3，3，5，5，7，7，9，9中取出5个数，其中至少有三个数不重复，且它们的乘积的个位数字是1，问这5个数的和应是多少？

13．按下列规则连续写下去：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15……

从前往后看，第34788个位置上的数字是多少？

14．先把分数11／13化成小数，再求这个小数的小数点后第1998位数字是几？

15．有0，1，4，7，9五个数字，从中选出四个组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是多少？

 

 

 

〖参考答案〗

1．解：由前面预备知识介绍的规律我们可知，若求aⁿ的个位数字，只需求a^r(n=4k+r)的个位数字即可，而1998＝4×499＋2即题转化为求1²＋2²＋3²＋4²＋……＋1997²＋1998²，这些数的平方的个数依次为：1，4，9，6，5，6，9，4，1，0……十个一循环，我们可以从第一个数起，十个为一组，共有199个，还余8个。我们可先求出一个组的和的个位数字。也就是求（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4）的和的个位数字。把两部分的个位数字相加，便可求出原题的个位数字。

这些数的个位数字依次为1，4，9，6，5，6，9，4，1，0……前十个数字和为（1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0）＝45。个位数字为5，每十项为一组。

（1¹⁹⁹⁸＋2¹⁹⁹⁸＋……＋10¹⁹⁹⁸）＋（11¹⁹⁹⁸＋……＋20¹⁹⁹⁸）＋……＋（1981¹⁹⁹⁸＋……＋1990¹⁹⁹⁸）＋1991¹⁹⁹⁸……＋1998¹⁹⁹⁸前1990项的和的个位数字为5×199的积的个位数字即5，而从1991¹⁹⁹⁸到1998¹⁹⁹⁸的个位数字依次为：1，4，9，6，5，6，9，4，其和为44，即个位数字为4，1＋4＝5。

答：这些数的和的个位数字为5。

2．分析：因为a⁴的个位数字只可能为0，1，6，5，但因为a不能被5整除，即个位不是0，5，所以a⁴r 个位也不可能为0，5，那么再证明a⁴－1能被5整除也不难了。

证明：5xa,a⁴的个位数只能为1，6，而a⁴－1的差必为0或5，所以a⁴-1的差必为5的倍数。

3．分析：由刚才在基础知识中介绍的，一个整数将它改写成形如：9k+r的形式，当r等于2，3，5，6，8 时，这个整数均不是完全平方数（r为－8的整数），此题中每个小朋友9块，最后还剩下8块，那么说明水果糖总个数为9的若干倍余8（即被9除后余8）。

证明：水果糖总个数可写成：9k+8的形式。而9k+8不可能为某数的平方数，所以这箱水果糖的总个数不可能为一个完全平方数。

4．解：我们可以先试验一下，令n分析为1，2，3，4，5，则依次得到n²+n+1的值分别为3，7，13，21，31，显然它们都不是5的倍数，如此再试验几个，n²+n+1的值仍然不能是5的倍数，但我们不能说不存在自然数n，使n²+n+1为5的倍数，因为自然数有无穷多个。我们并没有都试验过，也不可能都试验到。

但我们可发现，如果将n²+n改写成n×（n+1）的形式，便知n²+n的实际上两个相邻自然数的乘积。而相邻两个自然数的乘积的个位数字只有几种可能，再加上1后相对应的也就有几种，再看它的个位是不是0或5便可以了。

解n²+n＝n×（n+1）1它的个位数字只可能是0，2，6，所以n²+n+1的个位数只可能是1，2，7。

由于n²+n+1的个位数字是1，3，7的自然数，所以它不可能是5的倍数。

5．解：我们从整数特征可知，末尾有多少个零，就看有多少个2和多少个5相乘。所以应先把1256，750，625分解质因数，看它们所有质因数中有多少个2和多少个5，这二个数取最小者，即为末尾0的个数。

1256＝2×2×2×157

750＝2×5×5×5×3

625＝5×5×5×5

从而我们发现2共出现了4个，5共出现了7个，4和7中最小数为4，故在所给的乘积中的末尾共有4个零。

答：乘积1256×750×625的末尾中共有4个零。

6．解：因为478¹⁵⁶　的个位数字是2，个位是8，只有83个位数字为3，所以156　除以4的作数必须为3，所以　内数字为3或7。

7．解：2¹、2²、2³、2⁴的个位数字依次为2，4，8，6，而756839＝4×189209＋3，所以2756839的个位数字与2³的个位数字相同，而2³的个位数字为8，8－1＝7，所以2⁷⁵⁶⁸³⁹－1的个位数字为7。

8．解：因为1！＝1，2！＝1×2＝2，3！＝1×2×2＝6，4！＝1×2×3×4＝24，5！＝1×2×3×4×5＝120

可以看出6！直至1998！的个位数字都是0。因此，N=1!+2!+3!+4!+5!+……＋1997！＋1998！的个位数字是1＋2＋6＋24＋0＋0＋……＋0的个位数字，即N的个位数字为3。

9．解：因为1997＝4×499＋1，所以外¹⁹⁹⁷的个位数字与4¹的个位数字相同，为4。

同理，1999＝4×⁴⁹⁹＋3，所以7¹⁹⁹⁹的个位数字相同，为3；而5的任何次方均为5，4＋5－3＝6，所以4¹⁹⁹⁷＋5¹⁹⁹⁸－7¹⁹⁹⁹的个位数字为6

10．解：1997¹⁰⁰与7⁴的个位数字相同（100＝4×25），1998¹⁰⁰的个位数字与8⁴的个位数字相同，1999¹⁰⁰的个位数字与9⁴的个位数字相同，而7⁴、8⁴、9⁴的个位数字分别为1，6，1，所以1×6×1＝6，1997¹⁰⁰×1998¹⁰⁰×1999¹⁰⁰的个位数字为6

11．解：（1）6个数为一循环，1998÷6＝333，所以第1998个数是1

（2）前1998个数字包括333组，每一组的和为（1＋3＋3＋5＋5）＝18，所以1998个数的和的个位数字为4（8×3＝24）

12．解：要求取出的5个数乘积的个位数字是1，所以5个数中不能有5，只能从1，3，7，9中取，由于要求至少有三个数不重复，只能有一个数重复取两次。

即只可能有1×1×3×7×9，1×3×3×7×9，1×3×7×7×9，1×3×7×9×9四种情况，四个乘积的个位数字分别为9，7，3，1，故所取的五个数为1，3，7，9，9，这五个数的和为29（＝1＋3＋7＋9＋9）

13．解：写出全部“一位”，“两位”，“三位”，数的数字后，共写了9＋2×90＋3×900＝2889个数字，写出全部“一位”，“两位”，“三位”，“四位”数的数字后，则要写出（9＋2×90＋3×900＋4×9000）38889个数字，因为2889＜34788＜38889，所以第34788个数字是某个“四位数”中的数字，由34788－2889＝31899知道，所求的数字是写“四位数”时的第31899个数字，由31899＝4×7974＋3知道，所求的数字是从1000开始的第7975个“四位数”的第三个数字，可见这个“四位数”是999＋7975＝8974，所以所求的数字是7。

14．解：11／13＝0.846153，而后1998÷6＝333，所以这个数的小数点后第1998位数字是3。

15．解：从0，1，4，7，9中选出四个数字，便它们的和是3的倍数，这样的四位数只能由0，1，4，7或1，4，7，9组成，按从小到大的顺序排列为1047，1074，1407，1470，1479，1749……所以第五个四位数个位应是9。