“盲人摸象”的启示

    从前有个国王，叫大臣牵一头大象，让六个盲人去摸，然后谈感受。摸到大象牙齿的盲人说大象像一根长长的萝卜。另一个摸大象耳朵的说大象就像一只簸箕。“不对。”摸过大象脚的盲人说：“它像一根大柱子，又圆又粗。”其余三个盲人认为他们说的都不对。摸过大象脊背的盲人说：“你们都没有说准，依我看，  大象犹如一张床，平平坦坦。”第五个摸到大象肚皮的盲人说：“大象分明是一只很大的坛子。”最后一个摸到了大象的尾巴的盲人说：“大象又长又细，仿佛一根绳子。”国王和大臣们听了哈哈大笑……

    1．盲人的判断存在合理性，儿童数学学习犹如盲人摸象

    站在旁观者的角度看，盲人的判断是错的。但是从盲人的自身角度来看，盲人因看不见大象，而只摸到大象身体的一部分，由此调动自己已有的认知经验，去判断大象像什么。他们的判断依据他们动手摸的大象身体的一部分(直接经验)。由盲人摸象迁移到儿童学习，我们的儿童又何尝不是“盲人” 呢?儿童在学习知识的过程中，因经验不足和已有知识基础的薄弱，他们在学习的过程中，难免会顾此失彼、以偏概全。作为教师，理应慎重对待。尊重“盲人”的看法，这是教师应该具备的一种品质。

    2．尊重盲人的判断就应以儿童的数学图式作为学习起点

儿童已有的经验方式对现实的学习有着直接的影响，而一旦习得的经验方式又为后继的学习作充分的准备，儿童的这种经验方式即为图式。对于上述寓言故事中，摸到大象牙齿的盲人来说，他已有的图式(萝卜)对所摸的物体(大象的牙齿)有着直接的影响，决定着对大象的判断。儿童在数学学习活动中，形成的一种用以解决数学问题的所特有的认知方式即为数学图式。可以说，数学图式是众多图式的一种类别，但数学图式又有别于一般图式，具有数学本身的特性(数学中“垂”，即“垂直”，是指两条直线相交，有一个角是直角；而生活中的“垂”一般是指竖着的意思，如：永垂不朽)。在儿童成长过程中，生活现象不断进入他们的认知领域，完善他们的图式，而这些图式正是儿童数学学习的重要资源。在教学中，教师应把数学知识与技能、数学思想与方法按照儿童观察事物的方式、用儿童的已有数学图式表现出来。

一节课的教学到底从哪里开始?作为教师，我们首先应该想到“我们的学生已经知道了什么?我们的学生需要学些什么?在学习之前，他们已经有了什么样的基础?我们如何面对本来就不是一张白纸的学生?……”等一系列的问题。教学的起点，就要充分尊重儿童已经具备的数学图式，教学的起点要适合发展儿童的数学图式，只有这样才能促进学生主动学习、自主学习，忽视儿童数学学习的起点，将影响教学目标的达成。

在课堂教学中如何合理有效地运用学生的数学图式

《数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应该激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握最基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学经验。

建构主义理论认为，学生学习数学不是由教师或其他人传授给他的，而是他本人主动根据已有的数学经验、认知结构进行的一种主动建构的过程，任何学习者在学习之前并不是像一张白纸一样空着脑袋进入教室的，而是带着他独特的数学现实开始新的学习。对新知识进行同化或顺应，需要经历一个由“平衡——不平衡——平衡”的螺旋上升的认知结构重组的过程。

学生的数学图式决定着我们数学教学的起点。全面了解学生的学习起点，可以使我们准确地定位教学目标，合理设计教学流程，引导学生进行有效的数学学习活动。

一、利用数学图式重组教学内容，给数学学习一个更高的起点

教材的课时安排有它的科学性和合理性，教材内容的呈现更多地关注知识的逻辑起点，这涉及到教材本身知识体系的完整性，这也是教材编写的局限性之一。当学生的学习起点高于逻辑起点或与教学内容发生冲突时，我们有必要对教材顺序进行适度重组。

如在教学“6以内的乘法口诀”时，一位老师把课本的主题图放大，精心制作成6张小鱼图，准备以这些图片为学习材料，引导学生探究每一句口诀。课上，当这位老师张贴出第一张图并宣布课题时，学生立即出现了一个声音“老师，我已经会了。”随后，又有七八个这样的声音：“老师，我也会了。”并背起来：“一六得六，二六十二，……”教师一时不知所措，愣在讲台上……后来，这位老师只好生拉硬拽地把学生拉回来，完成她的预设。学生也只有老实地跟着老师重复那个过程。

出现以上现象的主要原因，一是教师课前忽视对学生的分析，所设定的教学起点与学生已有的数学图式不吻合，二是没有根据学生的课堂表现及时调整重组教学内容。因此，将学生已有的数学图式作为教师的教学起点，应该成为数学课堂中的一种教学行为。

 基于此，上述案例可以这样设计：

 (1)出示几道6以内的乘法算式(计算时学生可以用加法的方法计算)，从算式的得数引出6以内的乘法口诀，让学生体会乘法口诀为计算带来的便捷性；

 (2)通过实践操作理解乘法口诀的内在意义；

 (3)沟通口诀与乘法算式的联系，体会口诀的基本结构，进一步掌握口诀。

 教师创造性地使用教材，运用学生已有的数学图式作为基础对教材进行合理、适度、准确的开发，有利于学生举一反三、触类旁通，在更广阔的知识领域内，在更高的层次上学得更活、更好。

 二、利用数学图式突破教材局限，还数学学习一个真实的起点

学生不是一张白纸进入教室。在信息社会，学生的学习资源具有多样性，家庭的教育，课外阅读材料的增加，各种媒体普及……，给学生带来了生动丰富的数学知识，导致一些学生的数学图式远远超过教材的知识点。这就要求我们要深入研究学生已有的数学图式，深入研究学生的知识储备，灵活捕捉学生真实的学习起点，进而有效组织教学。

如在教学“多位数的读法”一课时，老师首先让学生举出生活中比一万大的数的例子。(生试写)然后展示学生所写的数：100002、千万位、25000、5万、98496879651、100000000、百万位、20000、8、5645……最后让学生评议哪些符合要求并试着读出所写的数……   

一般的教师在教学这一课时，往往把“万以内数的读法”作为复习铺垫的内容，目的是抓住新旧知识的联接点进行教学，而上述教学突破了这一常规，通过让学生试写“比一万大”的数，试读这些数并介绍读法，从而展开新课的教学。事实证明这样的课更能捕捉教学的起点，因为新课学习前的学生已能根据已有的知识背景试着读出一些“比一万大”的数，只是找不到规律，或是读得不够流畅。

教师只要在这个起点上再给予适当引导、点拨，就能顺利完成本节课的教学任务。

三、利用数学图式调整教学策略，给数学学习一个合适的起点

教师对学生已有的数学图式的发掘与利用是提高教学效率的希望所在。这就要求教师在教学过程中，必须在研究学生已有数学图式的基础上，充分预设学生课堂生成的情况，把学生现场生成的学习资源转化为引出新知的背景，让学生在观察、思考、分析、讨论中，最终获取新知。

 如在教学“圆的周长”时，有位老师首先出示长方形、正方形、三角形等图形，引导学生这些图形的边框就是它们的周长，接着出示一个圆形的实物，让学生动手摸摸，圆的周长指的是哪部分的长度?如果让你测量圆的周长，你会采取什么方法?此时，一学生的回答脱离了老师的预设(圆的周长=直径×圆周率)，这时教师改变了教学的策略，而是继续提问，把教学的重点转到理解计算公式，验证、探究可以这样计算的原因上来。为学生提供更多的空间和时间，让学生积极探索，提高课堂教学效率，激发学生学习数学的兴趣。

教育的技巧并不在于能预见到课堂上发生的所有细节，而在于教师根据具体情况巧妙地在学生中做出相应的变动。在课堂教学过程中肯定会遇到很多我们课前没有想到的“可能”，寻找到学生的已有的数学图式和预设的教学过程有所偏差，这时教师不能照搬教材所提供的内容，不能按照自己事先设计好的教案进行教学，而应该在学生所占有或提供的学习资源的基础上改造教材提供的学习材料，调整自己的预设方案。

 四、利用数学图式强化意义建构，让数学学习起点向更深处漫溯

强化数学知识的意义建构的过程，促进知识的理解和内化是数学课堂探究的主要内容。学习活动不是由教师向学生传递知识，而是由学生自己建构知识的过程，学生不是被动接受信息，而是主动建构信息的意义。为了能使学生更积极主动的参与学习，教师应从学生已有的数学图式和内在需要出发，从知识的发生、发展过程出发，让学生亲身经历学习的过程。

如在教学“比的基本性质”时，我们可以引导学生利用除法中商不变的规律、分数的基本性质、除法、分数和比的关系等这些已有数学图式，猜想到“比”也有基本性质，然后让学生举例验证、总结规律，整个过程让学生自主探究，自己“创造”出“比”的基本性质。上述案例所提供丰富典型的学习材料，让学生自觉建立已有的数学图式与新知的链接点，有效地巩固原有的知识和掌握新知识。帮助学生实现同化和迁移，建立新的数学图式。这一过程不仅能拓宽学生的视野，而且能帮助学生建立比较完整、准确的概念，同时更有利于学生思维能力的培养。

总之，我们的数学教学应从学生已有的数学图式出发，只有讲学生看得见摸得着的东西，学生的眼睛才会充满渴望，学生的心灵才会在数学世界中获得愉悦，才能敢于冲向思维的高级阶段，才能为学生提供更多的空间和时间，让学生积极探索，然而，数学教学中的学习起点应以哪类学生为起点?如何针对不同起点的学生，合理设计教学?如何既照顾到起点低的学生，也让起点高的学生有更多的发展?这是值得我们每个数学教师继续关注的问题。(昆明官渡区杨艳芬)