数学初高中衔接各章学习笔记（一）

第1章：因式分解

1·1基本运算公式

1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2 -2ab+b2

3、三数平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ab+2ac

4、立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

5、立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

6、和的立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

7、差的立方公式：(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

1·2因式分解运算方法

Ⅰ、提取公因式法

例题：因式分解：(a+x)m+1(b+x)n-1-(a+x)m(b+x)n

解：原式=(a+x)m(b+x)n-1[(a+x)-(b+x)]

        =(a+x)m(b+x)n-1(a-b)

Ⅱ、公式法【多适用于二项式和三项式】

例题：因式分解：x7-x

解：原式=x(x6-1)

=x(x2-1)(x4+x2+1)

Ⅲ、分组分解法【多适用于四项式及四项以上式】

例题：因式分解：2-x+2x2-x3

解①：原式=2+2x2-x-x3                              =2(1+x2)-x(1+x2) =(1+x2)(2-x)

解②：原式=2-x+ x2(2-x) =(1+ x2)(2-x)

Ⅳ、求根公式法【仅适用于二次三项式】

解题方法：①x=

②ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

例1：因式分解：2x2-7xy-4y2

解：x==

x1=，x2=4y

原式=2(x+)(x-4y)

例2：因式分解：x2+2(a+b)x-(3a2-10ab+3b2)

解：x==-(a+b)±2(a-b)

x1=a-3b，x2=b-3a

原式=(x-a+3b)(x-b+3a)

Ⅴ、十字交叉法【仅适用于二次三项式】

解题口诀：上下相乘等于首项，上下相乘等于尾项，交叉相乘的和等于中间项

解题方法：a1a2x2+bx+c1c2

若a1x·c2+a2x·c1=bx，则a1a2x2+bx+c1c2=(a1x+ c1)( a2x+ c2)

例1：因式分解：2x2-7xy-4y2

解：原式=(2x+y)(x-4y)

例2：因式分解：x2+2(a+b)x-(3a2-10ab+3b2)

解：原式= x2+2(a+b)x-[(3a-b)( a-3b)]

=(x-a+3b)(x-b+3a)

 

 

数学初高中衔接各章学习笔记（二）

第2章：不等式的基本解法

2·1一元二次不等式、简单高次不等式及分式不等式的解法

1、一元二次不等式及简单高次不等式的解法【标根法】

解题方法：①将不等号右边的数或式子移到不等号左边，从高到低进行降幂排列【二次项系数一定要大于零】

          ②进行彻底的因式分解

③令分解后的每个因式等于零

④若某个因式恒正，则除去这个因式后，不等号方向不变

⑤若某个因式恒负，则除去这个因式后，不等号方向改变

⑥在数轴上标出每个因式的根，不等式有等于零时根为实心，否则为空心

⑦奇次幂穿，偶次幂拐

⑧数轴上方为大于零，数轴下方为小于零

⑨根据不等号写出答案【答案一定要用集合或区间表示】

例1：解不等式：x2-x-2≤0

解：原式=(x-2)(x+1)≤0

 

 

由图可知，此不等式的解集为{x|-1≤x≤2}

例1：解不等式：(x-3)(x+1)2(x2+x+1)≤0

解：∵(x2+x+1)＞0

∴原式=(x-3)(x+1)2≤0

 

 

由图可知，此不等式的解集为{x|x≤3}

2、分式不等式【标根法】

解题方法：①将不等号右边的数或式子移到不等号左边，将分式进行通分【二次项系数一定要大于零】

          ②进行彻底的因式分解，相同的因式进行约分【约分必须要保证约分的数或式子不等于零，否则不能约分】

③令分解后的每个因式等于零

④若某个因式恒正，则除去这个因式后，不等号方向不变

⑤若某个因式恒负，则除去这个因式后，不等号方向改变

⑥在数轴上标出每个因式的根，不等式有等于零时根为实心，否则为空心【包括约分点】

⑦奇次幂穿，偶次幂拐【不穿约分点】

⑧数轴上方为大于零，数轴下方为小于零

⑨根据不等号写出答案【答案一定要用集合或区间表示】

例题：解不等式：≤0

解：原式==≤0

 

 

由图可知，此不等式的解集为{x|-3≤x≤2且x≠1}

2·2绝对值不等式的解法

Ⅰ、基本公式法

解题方法：对不等式进行分析讨论

①当a＞0时，

②当a=0时，

③当a＜0时，

Ⅱ、零点分段法

解题方法：①将不等号右边的数或式子移到不等号左边【绝对值前面的系数一定要大于零】

          ②零每个绝对值等于零找出零点，并且标在数轴上

③讨论原不等式在每个区间的解

④合并所有的解，写出解集【答案一定要用集合或区间表示】

例题：-|x+1|≤2

解：原式=|x+1|+2≥0

 

 

①当x＜-1时

原式=-1-x+2≥0

    ∴x≤1

②当x＞-1时

原式= x+1+2≥0

∴x≥-3

综上所述，此不等式的解集为x∈[-3，1]

 

 

数学初高中衔接各章学习笔记（三）

 

第3章：二次根式及其运算

3·1二次根式

1、定义：一般地，形如(a≥0)的代数式叫做二次根式，根号下面含有字母并且不能开得尽的式子称为无理式，否则为有理式。

2、二次根式基本运算公式：①·

②

③

3·2双层二次根式的运算技巧

1、双层二次根式的运算注意点：①根号出来必须加上绝对值

②去掉绝对值时要注意正负性，如果绝对值内有字母要进行讨论

③将讨论的结果进行合并

Ⅰ、当二次根式内为：时，则x=a2+b2、=

例题：计算：

解：或

    原式====

Ⅱ、当二次根式内为：时，令原式等于，则2x=a2+b2、=

例题：计算：

解：原式=

或

原式====

 

数学初高中衔接各章学习笔记（四）

 

第4章：二次函数

4·1二次函数的解析式

1、定义：函数y=ax2+bx+c(a≠0)叫做一元二次函数

2、任何一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)都可用配成顶点式，如果和x轴有交点：(x1，0)和(x2，0)，则可用零点式表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)

4·2二次函数的性质

1、顶点坐标：(，)

2、对称轴：

3、最值：①当a＞0时，函数图象开口向上，y有最小值，，无最大值

②当a＜0时，函数图象开口向下，y有最大值，，无最大值

4、增减性：①当a＞0且x＜时，y随x的增大而减小

②当a＞0且x＞时，y随x的增大而增大

③当a＜0且x＜时，y随x的增大而增大

④当a＜0且x＞时，y随x的增大而减小

5、零点：①当b2-4ac＞0时，函数图象有两个不同的零点，即(，0)和(，0)

②当b2-4ac=0时，函数图象有两个相同的零点，即(，0)

③当b2-4ac＜0时，函数图象没有零点

6、对于任意一个函数f(x)，当f(a+b)= f(a-b)时，函数的对称轴为

4·3一元二次方程的实根分布

1、一元二次方程实根的情况：①当Δ=b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不同的实根

②当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相同的实根

③当Δ=b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实根

2、解答此类题目应考虑判别式【Δ=b2-4ac】、韦达定理【】、对称轴【x=】、边界值

例题：已知一元二次方程x2-ax+3=0有两个不等的实根，一根大于-2，一根小于2，当x2-ax+3＞0时，求a的取值范围

解：Δ=b2-4ac=a2-12＞0，则{ a|a＜-或a＞}

，x1与x2大于零，即a＞0

x=＞-2，则a＞-4

x=＜2，则a＜4  

{ a|＜a＜4}

 

 

数学初高中衔接各章学习笔记（五）

 

第5章：几何初步

5·1三角形的重心、垂心、内心和外心

Ⅰ、重心【三条中线的交点】

如图所示，在△ABC中，AD、BE、CF是三条中线，交点为G，三角形的三条中线交于同一点，这点就是三角形的重心，三角形的重心必在三角形的内部

性质1：三角形的重心把中线都分成2∶1的两段

性质2：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍

Ⅱ、垂心【三边高线的交点】

 

 

 

 

 

 

 

如图1所示，CD、BE、AF是三条高线，交点为G，三角形的三条高线交于同一点，这点就是三角形的垂心，锐角三角形的垂心必在三角形的内部；如图2所示，AD、BE、CE是三条高线，交点为E，三角形的三条高线交于同一点，这点就是三角形的垂心，钝角三角形的垂心必在三角形的外部

性质1：锐角三角形的垂心必在三角形的内部，直角三角形的垂心必在直角三角形斜边的中点，钝角三角形的垂心必在三角形的外部

Ⅲ、内心【三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心】

性质1：到三边距离相等

性质2：无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形的内心必在三角形的内部

Ⅳ、外心【三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心】

性质1：到三个顶点距离相等

性质2：锐角三角形的外心必在三角形的内部，直角三角形的外心必在直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心必在三角形的外部

5·2特殊三角函数值

1、一级特殊三角函数值

	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0				1
cos	1				0
tan	0		1		∞
cot	∞		1		0

2、二级特殊三角函数值

	15°	75°
sin
cos
tan
cot

3、三级特殊三角函数值

	37°	53°
sin
cos
tan
cot