高观点下的小学数学教学

——访数学家 数学教育家 华东师范大学教授张奠宙

唐彩斌

专家简介：

张奠宙 数学家、数学教育家。华东师范大学数学系教授，博士生导师。国家义务教育数学课程标准研制组顾问。专长算子谱论、现代数学史以及数学教育研究。1995年-1998年间担任国际数学教育委员会（ICMI）执行委员。1999年当选为国际欧亚科学院院士。《数学教学》主编，著有《二十世纪数学史话》《陈省身传》《数学教育研究导引》《20世纪数学经纬》,《数学教育经纬》《数学教育概论》《中国数学双基教学》等。

（一）

问题解决与小学数学教学

访谈背景：

    问题解决的重要性，毋庸置疑。20世纪80年代以来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。然而，回到现实的小学教学中，有很多相近的数学名词盘绕其中，错综繁杂：“什么是问题”“问题与习题什么关系？”“什么是问题解决”“问题解决与解决问题什么关系”“国际倡导的问题解决与我国传统的应用题什么关系”……只有明晰这些概念，我们的教学才更富有效性，我们的研究才更具实用性。带着这些问题，我们访谈了著名数学家、数学教育家张奠宙教授。

一、关于什么是“问题”和“问题解决”的含义

唐彩斌（以下简称唐）： 张老师，您觉得什么是问题？

    张奠宙（以下简称张）：“问题”是我们话语系统中常出现的一个词。广义而言，人的一切活动都在解决问题。说句笑话， 如何把饭放进嘴里也是问题。但是这样宽泛地理解，与数学学习中所提的“问题”，相去甚远。数学问题，要求在某种情景中，探究特定的、未知的数量关系和空间形式，并作出论证。

唐：您曾主编过一本《数学问题集》，在取名的时候，想必您一定想到过另一个书名《数学习题集》，他们的区别是什么？

张：我们编写《数学问题集》，目的是想区别数学问题和数学习题。 习题， 英文是exercise； 至于问题，英文则是Problem。一般来说， 问题的范围要大些。 数学问题分两类： 一类是常规的，即背景简单、条件明确、答案唯一、解法常见的问题，习题和考题中多半是这类题目。

唐：这样说来，教科书上的习题大都属于常规问题。

张：是的。另一类是非常规的问题， 这类问题设置的情景相对复杂、 条件隐含答案开放，没有现成的解法可以套用，常称之为“具有挑战性”的问题。那本《数学问题集》就专收此类非常规问题。

唐：什么又是问题解决呢？在数学教育界有着多种不同的解释，有专家做过综述，大致分为以下几种：（1）问题解决是心理活动。问题解决“指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动”。（2）问题解决是一种教学过程。问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中去的过程。（3）问题解决是教学类型。问题解决的活动形式看作教或学的类型，应将问题解决作为课程论的重要组成部分。（4）问题解决是教学目的。“学习数学的主要目的在于问题解决”。（5）问题解决是能力.把数学用于各种情况的能力，叫做问题解决。张教授，您认为什么是问题解决？

张：我觉得不要把事情弄得太复杂。实际上，数学是问题驱动的， 问题是数学的心脏，解题教学是数学教学的基本组成部分，学生要解题练习， 考试用考题呈现，这些本来都是常识，上述种种解释，都有一定道理，但是说得太玄，并不能给我们多少帮助。

说起来很简单，所谓“问题解决”， 专指解决“非常规问题”。在学生的认知水平上，要解决非常规问题，没有现成数学问题求解模式可以模仿，需要独立思考，通过自己的探索获得解决问题的途径。这是具有一定创新意义的数学思维过程。

唐：常规题适合于学生学习数学事实，训练数学技能和技巧．其内容通常是一些常规算法或方法的运用，或简单的组合．在题型的模式上，比较规范化、纯数学化，多半形如“已知”、“求证”的固有模式．在教育功能上，它主要用于巩固所学的数学知识和训练技能、技巧。

张：常规问题也是重要的。 打基础， 要多次重复一些看起来简单的问题。所有的学问都有基本功。例如学英文， 要背单词；弹钢琴， 要先学练习曲；学舞蹈，要练功；要当兵。 先得会立正、稍息、走步。 轻视常规问题， 想一步登天，是不切实际的幻想。

    唐：作为主编，在选择问题入编的时候，您一定是主张选择“好”的数学问题。记得美国有位学者这样认定“好问题”的标准：（1）问题的解答中包含着明显的数学概念或技巧；(2)问题能够推广或扩充到各种情形；(3)问题有多种解法。

张：我认为，一个好的问题，首先要容易懂， 不要说了一大篇， 还没有把问题说清楚。有些题目离学生的实际太远，专业名词太多，也是不好的。 其次， 要引人入胜，激起学习者的思考欲望，很快能够入手，却又有向纵深发展的余地。第三， 要体现数学本质， 具有数学价值， 能够启发学生进行深度的数学思考。最后， 好的数学题， 还要能够评价， 分出数学思维的层次和水平。

唐：您能举一个例子吗？

张：弗赖登塔尔有一个经典的问题：“昨夜外星人访问我校， 留下了一个巨大的手印（图），今夜他还要来，试问：我们给他坐的椅子应该有多高？他用的新铅笔应该要多长？

这个题目符合我提出的几点要求， 易懂、有趣自不必言， 尤其是体现比例的思想， 通过测量两只手大小的比值，将比值用于设计椅子高度和铅笔长度， 这是比、比例、相似等数学本质的体现。最后，我们可以通过学生思考的过程，评价他们的解题水平。

2．问题解决的教学

唐：对于问题解决的教学，也有专家给了一些建议：（1）给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的环境；（2）从学生的已有经验出发提出问题，引起学生对结论的迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置；（3）大胆鼓励学生运用直觉去探求解题策略，必要时可给一些提示，并适当延长时间；（4）讨论各种成功的解法，如果可能的话，和以前的问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。您从数学的高端角度看来，对小学问题解决的教学有什么建议？

张：我想再次强调，求解常规问题和非常规问题， 要同样重视。 以为解常规题的教学可以不必花力气的想法是不对的。没有常规， 哪里来非常规， 不会解常规题，怎会解非常规题？

其次，教师选题和自己编题的能力， 是做好问题解决教学的关键。 国内外都有许多好的题目，而教科书上的题目未见得都好。一个好的教师需要有自己的题目仓库，随时加以挑选和改编。 近来我国发射“嫦娥一号”探月卫星， 许多大的数目出现，对于“认识大数目”的教学很有帮助。也可以利用这些数据编出很多四则运算的题目来。这样的题目，与“一万粒米有多大”之类的无意义问题相比， 要有价值得多。

至于如何组织教学，大家比我有经验。 我只想提醒，数学活动要有数学味， 切不可热闹一阵， 什么数学知识也没有留下来[LU1] 。 例如， 学习坐标， 老是第几排第几座， 搞得很热闹， 却始终停留在原生态的生活经验上。其实，学习坐标，除了确定位置的功能之外，关注坐标原点的设置以及坐标轴的架设，也许更加重要。

唐：现在小学数学教学中，常常探讨数学与现实生活之间的联系问题，作为问题解决，如果所要解决的问题与现实生活密切相关，一定能驱动学生积极参与解决，但是从数学本身看来，有些数学问题难免是抽象的，那么怎样对待与现实生活之间的联系？您怎么看问题与现实之间的联系？

张：学生的生活实际极其有限，凡是能够联系的当然要尽量联系。 例如， 小数学习与“元、角、分”，必须紧密联系。 没有“元、角、分”，小数概念无法生根。

但是， 应该看到， 小学数学中“整、小、分”的运算规则，必须在抽象的数字上进行。它们可以联系原生态的生活经验，却不能仅限于此。据说许多小学生认为：“0.1就是一角”， 那就联系得太紧， 抽象不出来了，也应该防止。

与学生原生态的生活现实相联系的机会，不可能很多。更多的是联系学生的“数学现实”。比如，学生已经学习了整数的四则运算， 那么在学习分数时， 就成了学生的一种“数学现实”。联系数学现实， 也是联系实际。

至于一些应用题的情景， 不是越现实越好。适当的模型， 有时更说明问题。 例如鸡兔同笼，现实中不会有这样的问题， 但它是很好的整数不定方程的模型。即使换成三条腿的凳子和四条腿的椅子，其实还是脱离现实的：数一数不就完了，有谁会去解这样的题目呢？这类题目的本意是训练数学思维，不在乎联系生活实际。至于联系生产实际， 小学里不宜多涉及。 儿童的生产经验十分有限。

此外，数学上有许多问题是超经验的。 例如，循环小数，在现实中是不存在的。

唐：有人认为：问题解决的过程，实际上是数学语言与自然语言之间的互译过程。您能帮我们解读一下这样的说法吗？

    张：学习数学，就是学习数学语言。所有的语言文字都要用符号加以表达。例如，方块字是符号，用方块字串接起来的中文可以表示人们的思想感情。数学也是使用符号，但是和语文课学习的方块字符号不同， 数学符号和数字可以进行运算。解决应用性问题， 就是把一个用自然语言描述的实际情景， 转换为可以进行运算的数字和符号表示的数学模型。数学模型中的符号经过运算得出的结果，再翻译回去， 就是我们所要求的结果了。

3．问题解决与数学建模

唐：如您所说，问题解决的过程实际上也是一个数学建模的过程。怎样理解数学建模？

张：模型是将客观事物(原型)的某些性态进行复制或模拟。如船模、飞机模型，它和原型的大小不同，内部的设备不同，功能也不同，但是它和原型的外观相同。 同样，数学模型与其原型可以有许多的差别。它可能舍去了原来客观事物的许多特性，但是保留或模拟了原型所具有的特定数量关系，并且用数学符号构成的数学语言加以表示，抽象为一种数学结构。诸如人口增长问题、选举问题、灌溉问题、存贷款利息等等非数学领域内的实际应用问题，都能抽象成数学模型．

唐：数学建模，可能对于高等数学来说内容更为丰富，就小学数学教育来说，由于学生的年龄特点与生活经验，现有的基础与经验会不会影响学生数学建模能力的培养？怎样编拟一些适合培养小学生数学建模能力的问题？

张：小学数学从一开始就在运用数学模型。加法是两堆苹果（两个不相交集合）合并以后元素个数增加的模型。小数是“元、角、分”、“米、分米、厘米、毫米”的模型。分数是多个人分一个大饼的模型。 班级组织野餐购买食品， 是一个比较复杂的数学模型。 此外行程问题、工程问题表示为一个算式，其实也是一个模型。 所以， 数学模型并不神秘。

唐：数学建模的工作流程有如下的图。小学数学用得上吗？

张： 尽管复杂程度不同， 道理是一样的。做一道应用题，就是建立一个模型。 漏掉了条件，或者计算错误，那就不符合实际， 需要检查纠正。 至于上面提到的组织野餐的活动来说， 模型就相当复杂。 例如在交通问题上， 你可以假设路途不远，全部步行， 也可以假设都坐巴士，也可以一部分同学骑自行车等等。在购买食品上， 要有一个概算， 比如假定男生和女生的食量一样大， 饮料多种选择还是全体统一……方案经过设计之后，是否符合实际也要进行检验，不合理的还得进行修改。

唐：数学模型的分类与问题本身的分类有什么联系与区别吗？

张：做任何事， 都要对处理的对象分类， 分别研究， 才能深入下去，获得最佳效果。在微积分里，有极限问题、微分问题、积分问题等数学模型的分类， 也有切线问题、瞬时速度问题，曲边梯形面积等应用问题的分类， 二者并行不悖。

小学里数学模型的分类， 实际上就是各种数量关系的分类， 这是一定要掌握的， 大家都赞成。至于应用题分类，出现了行程问题、工程问题等等。 这也没有什么不好，只是不要僵化、 矫揉造作、生搬硬套就是了。

4．问题解决的反思

唐：记得，早年您经常举一个例子“船长的年龄”——“有一条船，船上有75头牛，32头羊，那么船长是几岁？”中国被测对象中有92％的学生得出：75－32＝43岁（1997年）。十年过去了，近期我们对1029名被试进行检测，发现情况依然不容乐观，还是有将近62％的学生用75和32直接相加减。

张：把不是问题的问题也解决了。这是学校把学生越教越笨的表现。其实每个学生都闪过念头：“这道题不能做吧！” 但是， 最终还是相信老师出的题目都是能做的，求个答案交上去。在真理面前，没有自信，就很不好。这是值得我们所有教育者深思和研究的。

（注：未完待续）