加载中…数学问题解决的教学设计
(2012-06-13 13:14:48)
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杂谈 |
第六章 数学问题解决教学
第四节 数学问题解决的教学设计
一、情境的设计
创设情境是数学问题解决教学过程的重要环节，情境的设计要有利于激发学生的求知欲 ,有利于培养学生的探索精神 ,有利于培养学生的自信心，有利于培养学生的合作精神。常见的有以下几种情境 :
1．问题情境
教师要为学生创造一个适合自己寻找知识的意境 ,使学生经常处于“愤”和“悱”的状态 ,引导学生 ,自己去做力所能及的事。教学过程中，先与学生一起对问题进行观察和磋商，逐渐造成这种情况——这个问题学生急于解决 ,但仅利用已有的知识和技能却又无法解决 ,形成认知冲突，这就激发了他们的求知欲。这个“问题”可以来自数学知识内部 ,也可以来自数学知识外部 ,尤其可以来自现实生活。在设计时 ,可根据所教的知识内容和学生的实际情况来拟定问题 ,要比较多地关注发生在学生身边的问题 ,融生活趣味和知识趣味于一体的问题。
问题情境必须与学生在数学上和文化上的成熟程度和经验相适应。在设计时 ,要让学生去体验真正的问题，真正的问题是一种情境 ,它是比较复杂，具有一定的挑战性的尚未解决的问题；同时，还要注意层次性 ,使对简单情境下的探究会推广到另一个情境 ,或可用多种水平加以处理。问题情境还可以用口头、文字、事物、图画、图像形式以及计算机方法进行模拟。
2．情绪情境
创设情绪情境能培养学生的意志和自信心。当学生不能解决所提问题时，可 -先设计一些他们当时能解的问题让他们做 ,并在他们取得初步成功时积极鼓励他们 ,这时体验到的喜悦 ,可以激励学生为取得即将到来的胜利喜悦而克服新的困难。当一些学生不想解题 ,甚至不愿正确理解这个问题时，教师要设法激之起学生的好奇心，给他某种解题愿望，同时应当给学生一些时间 ,使他下定决心来解决问题；当学生求解那些对他来讲并不太容易的问题时 ,要让他学会败而不馁 ,学会赞赏微小的进展 ,学会开拓思路并积极进取。
3．教室环境
教师应当创设教室环境以利于培养学生的数学才能，这样的教室环境应该是：尊重和重视学生的想法和观念 ,为探索和掌握数学思想和数学知识提供必要的时间；为数学技能的培养提供必要的相关资料；鼓励学生每一个微小的进步 ,而切忌责怪学生；鼓励学生独立地学习；鼓励学生积极参与小组或班级学习活动 ,使班级形成一个彼此合作的智力团体。在课堂教学中 ,教师应当扮演成顾问、辩论会主席和对话人等的角色 ,而不只是讲授者和权威；教师应当鼓励学生用口头或书面的形式表达他们自己的想法，学会以合作的方式解决问题。
二、问题的设计
问题的设计是数学问题解决教学过程设计的关键 ,必须设计一些“好问题” ,所谓“好问题”应该具有下面一些特点 :
（ 1）具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造性。这就如波利亚所指出的：“我们这里所指的问题，不仅是寻常的，他们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动力和创造精神。”这里所提出的“探索性”的要求是和学生的实际水平相适应的。
例 1： A离学校 10千米， B离 A有 3千米，试问 B离学校几千米？（荷兰）
[ 说明 ]这是荷兰弗赖登塔尔数学研究所所长德朗治 1993年在上海数学会作报告时介绍的题目之一。这道题的特点在于没有指明 A、 B、学校三者是否在一条直线上，或一个平面上，或在三维空间上。
题目的样式非常普通，简直像一年级小学生做的问题，但是深入一想，觉得内涵很深。关键在于“数学表现”能力的运用。
1 、若三点在一条直线上，答案是 7或 13。
2 、若三点在一个平面上，
学过平面几何的学生，应该用圆表示 A， B的位置，此时的答案是区间 [7， 13]中任何数字。
学过解析几何的学生，可以画直角坐标系，用坐标和距离公式来表示。
学过叁数方程、复数的，也可以用叁数方程、复数来表示。
也可用余弦定理来求解
3 、若三点在三维空间，则需要用球面来表示
（ 2）具有一定的现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，有趣味和魅力。从而，使学生能逐步认识数学的价值和数学美，感到数学学习是一种有意义的活动，而这对于调动学生学习数学的积极性是十分重要的。
（ 3）具有多种不同的解法或多种可能的解答，即开放性。一个好问题常常可以用许多种不同的方法来解决，问题解决的过程可以在代数解答中、几何解答中、甚至可以在三角函数中寻求到解答。这样的问题可以使学生明白通常有许多途径去解剖一只“数学麻雀”，使学生明白解题不仅仅是简单地得到一个答案，而是发现数学的关联和思想。对于问题解决过程来说，用三种方法解答一个问题，比解答三个问题而每个问题只用一种方法更有价值。
所以，不等式成立。
从这道题，我们看到这虽是一道代数题，但我们用几何方法、复数方法却解决的这个问题，而且方法简洁，使我们发现了数学之间的关联，开阔了视野。对于问题解决过程来说，用三种方法解答一个问题，比解答三个问题而每个问题只用一种方法更有价值
（ 4）具有一定的发展余地，可以推广或扩充到各种情形。也就是说，希望给学生的问题能够引出新的问题和进一步的思考，成为丰富的数学探索活动的起点，给学生提供“做数学”的机会。一个好问题并不一定在找到满意的解答时就结束，所求的答案可能暗示着可以对原问题的各部分作种种变化。如把问题从二维平面几何的问题变为三维空间的问题；固定一个变量而改变另一个；将问题的特殊情形推广到较一般的情形等。
事实上（ 2）是成立的，且证明方法与相同。
进一步思考，对（ 2）式我们发现左边各项的分母具有一种特殊的顺序。在分母不具备这种顺序是否也有同样的结论？
从这道题不难看出，从问题到问题，使问题层层深入，思维不断深化。给学生提供“做数学”的机会，使学生学会思考，学会发现问题。将问题的特殊情形推广到较一般的情形，使学生学会从特殊到一般、归纳、抽象的思考方法，加深对数学思想方法的理解。
（ 5）具有一定的启示意义，蕴涵重要的数学思想方法。也就是说，不仅问题本身是有价值，而且解决问题所涉及的思维模式也同样有价值。它有利于学生获得有关的数学知识和思想方法，也能为问题解决策略的具体运用提供良好的素材。从而，这就不应是所谓的“偏题”“怪题”。目的是希望这些问题能够把学生引向真正的、诚实的、有价值的数学。
例 4：新学校恰有 1000把锁和 1000名学生。开学那天，学生们在教学大楼外集合，并一致同意下述计划：第一名学生进入学校后打开所有的锁。然后，第二名学生进入学校并且锁上编号为偶数的锁，第三名学生改变所有编号为 3的倍数的锁的状态（即把锁着的打开，把开着的锁上），然后第四名学生又改变所有编号为 4的倍数的锁的状态，如此下去。直到 1000学生都进入学校，并且改变了相应的锁的状态为止，试问哪些锁最后还开着？
讨论：试图就 1000把锁来进行试验，看来是无结果的，因而让我们分析 10把锁和 10名学生的情形，并且尝试一下能否找到一个模式。
我们看到编号为 1， 4， 9的锁仍日然开着，而其余的全锁上了。于是我们得出，当 1000名学生都进入学校以后，只有编号为完全平方数的那些锁仍然开着。
锁的“改变”一次对应着它的编号的一个因子，要使锁仍然开着需要奇数次“改变”。什么样的数有奇数个因子呢？只有完全平方数。
解决问题所涉及的思维模式“特殊到一般”，有利于学生获得有关的数学知识和思想方法。
（ 6）问题的表述应当简单易懂，容易接近。即问题解决入口处不需要多少形式的背景、特殊的知识和方法，教师用不着去提供很多的背景信息，学生也不会被复杂的背景所限制。这就如同希尔伯特所指出的：“这里对数学理论所坚持的清晰性和易懂性，我想更应以之作为一个堪称完美的数学问题的要求。”
当然，上面所列举的各个标准并不可能在每一个问题中都得到充分的体现。事实上，所谓问题的“好”与“坏”只具有相对的意义。但是，我们教师在教学中应努力去挖掘“好”的问题，奉献给学生。比如以下的问题：
问题 1：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送的贺年卡，求四张贺年卡不同的分配方式。
容易看出本题具有以下特点：
（ 1）是一个具有真实意义的问题，即与学生的实际生活相联系。
（ 2）有多种不同的解法。
可用分类方法解。设四人 A、 B、 C、 D的贺年卡分别为 a、 b、 c、 d，若 A拿到贺卡 b时，有下面 3种分配方式：
|
A |
B |
C |
D |
|
b |
A |
D |
c |
|
b |
D |
A |
C |
|
b |
C |
A |
D |
同样， A拿贺卡 c或 d时也各有 3种分配方式，因此共有 3+3+3=9种分配方式。
本题也可用分步方法解：四人中有 1人先拿别人的贺卡，不妨设是 A的贺卡，有 http://hiphotos.baidu.com/%EF%BF%BD%EF%BF%BD%C9%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD%EF%BF%BD/pic/item/9f88fc3f5ba14a899e3d6224.jpg=9种分配方式。
（ 3）问题的情境新颖，无法直接套用公式、法则，需要对分类或分步的思想方法，以及加法原理、乘法原理等基本概念掌握的比较好才能加以解决。
（ 4）该问题可以进一步推广为：将编号为 1， 2， 3，…， n的 n个元素（ n≥ 2），放在编号为 1， 2， 3，…， n的 n个格子内，编号为 k的元素不能放在 k号格内的方法一共有多少种？
问题 2 把奇数 1， 3， 5，……， 2n+1，……排成五列，具体排法如图 8— 5则 1985在 列。（美国第 36届数学竞赛题）
分析 ：由于 1985=2× 992+1可知， 1985是第 993个奇数，每行排 4个奇数，而 993=4× 248+1，因此 1985位于第 249行第一个数。容易观察出奇数行，偶数行的排列方式相同， 249是奇数，奇数行的第一个数在第二列，所以 1985在Ⅱ列。
该问题所设计的奇数排列方式有独到之处，对解答者数学知识的要求不高，但必须有一定的观察能力和分析能力。
三、学生活动的设计
数学问题解决教学强调的是学生的自主学习活动。在整堂课中，什么时候让学生独立思考、独立操作 ,什么时候技学生讨论、交流信息，怎样组织讨论和交流等 ,教师在设计时都要做精心的安排。
1、活动的顺序
学生活动通常可以这样进行安排 :
（ 1）理解问题，可由学生自己读题和理解 ,也可以师生一起观察和磋商。
（ 2）寻找问题与已有知识的联系
（ 3）讨论和个体探究 ,可先个体探究后讨论 ,也可先讨论后个体探究 ,也可以个体
探究和讨论一起进行 .
（ 4）交流结果和心得。
探究活动可以通过听、看、读、思考、动笔、利用计算器和计算机等方式进行。
２、教学形式的选择
问题解决教学主要通过个体探究和群体交流两种活动来进行。与此相适应的教学组织形式有 :全班、个人和小组三种。
(1)全班的教学形式。上课时 ,教师在同一时间虽可以和全班所有学生进行交流，给他们讲述、解释、演示。组织他们讨论。教师在学生交流中必须能创造出最理想的条件 ,以培养学生的学习动机和创造精神 ,正确地形成他们的个性，必须能为教学创造一个良好的热烈的气氛 ,阻止心理障碍的出现 ,控制全班学生的社会心理过程 ,在教学过程中充分地利用教师的个性特征。
(2)个别的教学形式。教师可以因人而异地给每个学生布置不同的学习任务，让学生独立去探究。在个别指导时，要培养学生正确的学习方法 ,帮助他们克服因难 ,比如给他们出点主意 ,提点带有启发性的问题 ,补充点练习 (给困难学生补充些基础练习 ,给优秀学生补充一些具有挑战性的问题 )。个别的教学组织形式 ,重点要放在促进学生自学 ,培养独立钻研的精神和能力方面。
(3)小组的教学形式。把一个班暂时分为若干个小组 ,把不同程度的学生搭配开来。上课时 ,教师不包办代替 ,课题结出后 ,先让学生独立思考 ,而后在小组中交流、讨论。小组的每个成员的地位是平等的 ,气氛是民主的 ,他们互相学习、交流、协作 ,为共同完成老师给出的课题而努力 ,有的也称之为“协同性学习”。
教师在小组讨论中可引导学生做到 :
①提出问题和疑问。
②作出猜想并求解。
③对别人和教师的问题作出反应。
④使用各种手段进行推理 ,找出关联 ,解决问题并交换看法。
⑤用数学事实和论证判断正确性。
四、 问题解决教学设计案例
课题 由小到大的思考方法
设计者：华东师大一附中 吴传发
教学目标：
（ 1）获得“由小到大的思考方法”的直接经验。
（ 2）知道“由小到大的思考方法”的意义。
（ 3）初步掌握“由小到大的思考方法”的应用。
教学重点和难点：
教学重点：“由小到大的思考方法”应用。
教学难点：
（ 1）把游戏问题转化为数学问题。
（ 2）对“由小到大的思考方法”的理解。
教学过程：
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教 学 步 骤 |
教师活动 |
学生活动 |
教学形式和媒体 |
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（一）“由小到大的思考方法”的意义 1 ．提出问题 游戏 1：由 10人排成一列，自 1到 10报数，报偶数的出列；出列的人再重新报数，报偶数的出例。这样继续下去，问最后出列的人在第一次报数时是几？ 2 ．学生游戏 3 ．分析探究 如果 20人排成一列呢？ 如果 100人排成一列呢？ 从 1-10和 1-20找出规律用到 1-100中去。 4 ．总结规律 含 2的因子越多的数出列越迟。 概括“由小到大的思考方法”的意义：在解决比较大的问题时，往往先从小的问题入手，找出规律，然后将这些规律暖和到大的问题中去。 （二）“由小到大的思考方法”的应用。 1 ．提出问题 游戏 2：从围棋罐中任取 24 只棋子（其中黑子、白子的个数不 定），然后以任意的次序摆成一个圆 圈。现规定：在同色的两子中间放 入一个黑子，在异色的两子中间放 入一个白子，然后将原来 24只子取 出，新放入的棋子围成新的圆圈， 这样算一次调整。如果照此继续下 去，那么 _____。 2 ．学生操作 如何思考这个问题？能不能用刚刚学过的思考方法解决？ 重温前面“由小到大的思考方法”的意义。 先用 21、 22只子试试看。 3 ．归纳猜想 归纳、猜想：最后得到的一圈必是全部黑子。 4 ．探索证明 先探究 22只子证明方法，然后把这个方法用到 24只子的问题上。 设计下列问题进行引导： （ 1）在游戏 2中，哪些话对于证明是重要的？ （ 2）游戏中的规定与学过的哪些数学知识很相似。 （ 3）假设什么颜色的子为正数，什么颜色的子为负数？ （ 4）应该假设怎样的正数、怎样的负数？使问题简便。 （ 5）第一次， 4只子所代表的 4个数应该如何摆放？ 如可寻求一种表示方法，使它能表示所有情况呢？即它既能表示 +1，又能表示 -1。 （ 6）这种表示，与学过的哪些数学知识有关。 经过论得到共识：用字母表示。 （ 7）第二次摆放的新的一圈的数要进行怎样的运算？ （ 8）所得到的新的数是什么？ 学生继续运算。 （ 9）第四次容易得到：说明 4个数都是 a1a2a3a4，它说明什么？ 学生容易得到：说明 4个数都是 +1或都是 -1。如果都是 +1，问题就解决了；如果都是 -1，就再调整一次。 （ 10）如何把 22只子的证明方法用到 24只子的证明中？ （三）作业： （ 1）用 22只子的证明方法完成游戏 2中的证明。 （ 2）如果游戏 2中将 24推广以 2k(k∈n)，你能证明吗？ （ 3）你能在现实生活中发现一些问题可用“由小到大的思考方法”来解决吗？请写出解决过程。 |
操作媒体，显示“游戏 1”。 指导学生游戏。 提问。 操作媒体显示问题。 引导学探究。 提问。 讲解由小到大的思考方法。 操作媒体，显示“游戏 2”，并读题。 提问、指导。 概述前面“游戏 1”和“意义”，引导学生类比。 巡视、指导。 和学生一起归纳和猜想。 启发、引导重温“由小到大的思考方法”的意义。 提问。 提问。 提问、启发。 提问、启发。 提问并引导学生回到原来游戏中的条件：任取棋子（黑、白个数不定）以任意次序摆成一圈。 提问、启发。 提问、启发。 提问。 巡视、指导、提问。 作为学生课后作业。 布置作业。 |
学生在讲台前进行游戏。 先独立思考，后讨论，最后概括。 讨论、回答。 听讲、议论、归纳。 边听边思考。 讨论、交流、动手操作。把棋子摆成圆圈，按游戏要求进行调整。类比、动手操作。 动手操作。 归纳和猜想。 思考、讨论、探究。 讨论、回答。 联想、回答。 讨论、回答。 联想、讨论、交流。 动笔、探究。 联想、讨论。 运算、回答。 讨论回答。 运算。 讨论、回答。 记录。 |
电脑显示“游戏 1”。 电脑显示：把 1-20写成一列数来表示游戏过程，发现规律。 小组活动。 电脑显示“由小到大的思考方法”的意义。 电脑显示“游戏 2”。小组活动。 电脑显示“游戏 1”的过程。 电脑显示 21 22只子的游戏过程。 电脑显示猜测。 小组活动。 小组活动。 电脑显示游戏中的规定。 电脑显示： 黑黑得黑 白白得黑 黑白得白 假设黑子为正数，白子为负数。 电脑显示： 假设黑子为 +1，白子为 -1。 个别活动。 在师生得出结论的基础上，电脑显示：第一次摆放的数组： a1、 a2、 a3、 a4，它们都表示 +1或 -1。 电脑显示学生的回答：乘法运算。 小组活动。 电脑显示运算过程。小组活动。 |
[ 评析 ]
这是一堂别出心裁的好课。 吴老师设计的棋子游戏蕴涵了深刻的数学道理。通常，我们从游戏中得到启发，可以解出一道数学题，增加兴趣。这是问题解决式的教学活动模式。本教案不同，将同色棋子嵌入黑子和“负负得正”作联想，已属于数学概念数学法则等整体数学范畴的游戏，确实别开生面。它的教育价值，某种意义上会比问题解决式的活动更有教育意义。这样的活动课，一学期做一二次，所有时间不多，对学生思维培养大有益处。即使对那些“全面追求升学率”者，学生的数学思维一旦被激活，考试的成功不也在期待之中吗？（评析引自《数学素质教育教案精编》张奠宙主编
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