在直角坐标系中如何快速求三角形面积的公式

        作者姓名：秦宇峰 通讯地址：西安市高陵区张卜中学 

            邮编：710200      电话：18509212998  

教函数知识时，很多次遇到求三角形面积的问题，经过深入研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法，同学们经过努力会掌握这种方法。

现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

注意事项：

1.找出B、C的坐标，横坐标大减小，即可求出水平宽;

2.求出直线BC的解析式，h与直线BC交于点D，A与D的横坐标相同，A与D的纵坐标大减小，即可求出铅垂高;

3.根据公式: S△= ×水平宽×铅锤高，可求出面积。

例1． (2014潍坊改编)如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E2-1-c-n-j-y

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为16，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为15，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

解：(1)由抛物线经过点C(O，4)可得c=4,①    ∵对称轴x=   =1，∴b=-2a，②，     

又抛物线过点A（一2，O）∴0=4a-2b+c，③

由①②③ 解得：a= , b=1 ,c=4．  所以抛物线的解析式是y= x²+x+4

(2)设点F的坐标为（x, x²+x+4），其中O，交直线BC于M，直线BC的解析式是y=-x+4，   M的坐标为（x, -x+4）

令x²+4x+12 =17，即x²-4x+5=0，则△=(一4)²-4×5=一4<0,

∴方程x²-4x+5=0无解，故不存在满足条件的点F．

(3) 令x²+4x+12 =16，即x²-4x+4=0，则△=(一4)²-4×4=0,

∴方程x²-4x+4=0有唯一解x=2，故存在满足条件的点F（2，4）．

(4) 令x²+4x+12 =15，即x²-4x+3=0，则△=(一4)²-4×3=4,∴方程x²-4x+3=0有两个解x₁=1，x₂=3，故存在满足条件的点F₁（1，4.5），F₂（3，2.5）。

例2（2015•武威改编）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），

把点A（0，4）代入上式得：a= ，

∴y= （x﹣1）（x﹣5）= x²﹣x+4= （x﹣3）²﹣，

∴抛物线的对称轴是：x=3；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为t，此时点N（t， t²﹣t+4）（0＜t＜5），

如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G，

由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=﹣x+4，

把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），

此时：NG= =（﹣ t+4）﹣（ t²﹣t+4）=﹣t²+4t，

= ×（﹣t²+4t）×5=﹣2t²+10t=﹣2（t﹣ ）²+ ，

∴当t= 时，△NAC面积的最大值为，

由t= ，得：y= t²﹣t+4=﹣3，

∴N（，﹣3）．