已知平行四边形三个顶点的坐标，如何求第四个顶点的坐标？

高陵县张卜中学     秦宇峰

【内容摘要】本文首先讲述了如何找一点，使它与已知三点构成平行四边形，通过作图找到了符合要求的三个点；其次利用中点坐标公式推导出求第四个顶点坐标的公式，进而总结出定理；最后应用定理解决了几道中考题，恰当地进行分类，巧妙地进行计算，体现了定理的价值及实用性。

【关键词】 平行四边形  第四个顶点  坐标

近几年来，全国各省市中考试题经常考的一个知识点是：已知平行四边形三个顶点的坐标，求第四个顶点的坐标。给出的参考答案往往是从几何的角度考虑问题，先尝试画出符合要求的所有点，然后通过几何推理，推导出第四个顶点的坐标。而这样做的难点是学生画不出符合要求的所有点，经常会丢掉一两种情况。由于推理能力差，不能求出点的坐标。

我想能不能建立解决这类问题的数学模型，不用画图，直接套公式计算，就能把所有符合题意的答案都求出来，省时不费力，方便好操作，使难题变成简单题。下来我把我的方法写出来，请大家参考。

（一）      已知不在同一条直线上的三个点，再找一个点，使它们构成平行四边形。

由于平行四边形的对角线互相平分，我们可以利用此性质找第四个点。

已知：点A,B,C三点不在同一条直线上。

求作：再找一点D，使以A,B,C,D为顶点的四边形使平行四边形。

 

作法：①连接AB,AC,BC.

②作AC的中垂线，交AC于点 ,则 是AC的中点.

③连接B 并延长至D₁,使O₁D₁=O₁B.

④连接AD₁，CD₁，则四边形ABCD₁是所求作的平行四边形.  

同理可作四边形AD₂BC,四边形ABD₃C，它们都是平行四边形.

证明：

（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

（二）      利用“中点坐标公式”推导新公式

    设P₁(x₁,y₁),P₂(x₁,y₂)为平面直角坐标系中的任意两点，    P（x,y）为线段P₁P₂的中点，则 这是中点坐标公式。

推理过程：

(三)总结求平行四边形第四个顶点坐标的定理

任意两个顶点横坐标之和减去第三个顶点横坐标的差就是第四个顶点的横坐标；

任意两个顶点纵坐标之和减去第三个顶点纵坐标的差就是第四个顶点的纵坐标。

符合要求的点共有3个。

（四）新定理的应用

例1：（2011年陕西省中考数学试题第24题）

如图，二次函数 的图像经过△AOC的三个顶点，其中A(-1，m),B(n,n)

(1) 求A、B的坐标

(2) 在坐标平面上找点C，使以A、O、B、C为顶点的四边形是平行四边形，这样的点C有几个？并求出点C的坐标。

 

解：（1）把A（-1，m）代入 中，解得m=1

∴A（-1,1）

把B（n,n）代入 中，解得n₁=0,n₂=2

∵B在第一象限    ∴B（2,2）

（2）A（-1,1）   B（2,2）    O（0,0）

 

∴符合要求的点有3个

例2：（2010年陕西省中考数学试题第24题）

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0），B（3,0） C（0，-1）三点。（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。

 

解：（1）用待定系数法：

设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c（a≠0）根据题意，得

a-  b+c=0                      a=

9a+3b+c=0     解之，得        b=

c=-1                          c=-1

      ∴所求抛物线的表达式为y= x²- x-1

    （2）设Q(0，q),P(p, )

例3：（2013年临沂市中考数学试题改编）

如图，抛物线经过 三点

.(1)求抛物线的解析式；(2)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

 

解：（1）设抛物线的解析式为 ，    根据题意，得 ，

解得

∴抛物线的解析式为：   

（2）    

x

y

A

O

C

B

（第26题图）

P

N

M

H

设M（m,0）,N(n, ) ∴符合条件的点N的坐标为 ，

    中考试题在命题时具有一定的传承性，注重对同一知识点不同角度的深度挖掘。陕西2011年试题是已知三点固定，在直角坐标系中寻找第四个点。陕西2010年试题是已知两点固定，另两点在限定区域内运动，四点构成平行四边形时，求第四个顶点坐标。只要我们理解了求第四个顶点坐标的公式，不用画图，直接套公式，不遗漏可能性，计算也方便。