非欧几何学的错误

——物理学的大统一问题（2）

李子  李晓露

摘要 本文证明黎曼几何和罗氏几何的公设是假命题，其理论违反了形式逻辑学论证规则，论据虚假，不合逻辑；几何学的平面曲率自相矛盾；黎曼几何与代数的矛盾；黎曼几何不一致定理；自洽的大统一理论不存在；黎曼几何与事实不符；以黎曼几何和广义相对论为依据的虚假科研成果。

关键词  欧几里得几何学  黎曼几何   罗氏几何   绝对几何  平面曲率  广义相对论

1．黎曼几何

由百度百科“黎曼几何”可得：“黎曼几何(riemannian geometry)是非欧几何的一种，亦称“椭圆几何”。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。

在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。

人们终于认识到存在一种不同于欧氏几何的新几何，称其为非欧几何。不久之后，德国的黎曼采用另一条新公理取代第五公设，创建了另一种非欧几何。黎曼的新公理认为，“过直线外的一点，一条平行线也得不出来”。数学界很快认识到这三种几何都是正确的，它们反映不同曲率空间的性质。人们把罗巴切夫斯基和鲍耶创建的几何称为罗氏几何，把黎曼创建的几何称为黎氏几何。欧氏几何是平直空间中的几何，黎氏几何是正曲率空间中的几何，罗氏几何则是负曲率空间中的几何。

1845年，黎曼在哥廷根大学发表了题为《论作为几何基础的假设》的就职演讲，标志着黎曼几何的诞生。黎曼把这三种几何统一起来，统称为黎曼几何，并用这一工作，在哥廷根大学的数学系作报告，谋求一个讲师的位置。

后经E．B．Christoffel，L．Bianohi及C．G．Ricci等人进一步完善和拓广，成为A．Einstein创立广义相对论(1915年)的有力数学工具。此后黎曼几何得到了蓬勃发展，特别是E．Cartan，他建立的外微分形式和活动标架法，沟通了Lie群与黎曼几何的联系，为黎曼几何的深入发展开辟了广阔的前景，影响极为深远。近半个世纪来，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的并在其他数学分支(如代数拓扑学，偏微分方程，多复交函数论等)及现代物理学中有重要作用的结果。

黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的，在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：

曲率恒等于零；

曲率为负常数；

曲率为正常数．

黎曼指出：前两种情形分别对应于欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学，而第三种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。黎曼的这第三种几何就是用命题“过直线外一点所作任何直线都与该直线相交”代替第五公设作为前提，保留欧氏几何学的其他公理与公设，经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系。这种几何否认“平行线”的存在，是另一种全新的非欧几何，这就是如今狭义意义下的黎曼几何，它是曲率为正常数的几何，也就是普通球面上的几何，又叫球面几何。该文于黎曼去世两年后的1868年发表

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。

此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础。也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。”

以上是百度作者的观点，下文证明黎曼几何是不正确的。

2.欧几里得几何学^[1]

欧几里得几何学的五条公设：

(1)从任何一点到另一点可以引一条直线。

(2)每条直线都可以无限延长。

(3)以任意点为中心，以任意长为半径可以作圆周。

(4)凡直角都相等。

(5)平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于截线的这一侧。

3.非欧几何学的公设^[1]

近2000年数学界用欧几里得几何学前四个公设证明第五公设的失败，使数学家相信第五公设是独立的。通过修改第五公设，诞生了罗氏几何和黎曼几何。

欧几里得几何学，若去掉第五公设，则是绝对几何。

在绝对几何基础上增加另一个第五公设：“过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交”。则是罗氏几何学。

黎曼几何修改了欧几里得几何学公设中的第二公设和第五公设。

黎曼几何的公设：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

黎曼几何中的另一条基本规定（实质上的公设）：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。

由欧几里得几何学可得到定理p：“三角形内角之和为180度”。

由黎曼几何学可得到定理r：“三角形内角之和大于180度”。

由罗氏几何学可得到定理q：“三角形内角之和小于180度”。

究竟三角形内角之和为多少呢？

为了证实三角形内角之和究竟是多少，黎曼的老师数学家高斯，曾在地球上找三点，具体进行了测量，可能误差小未有答案。显然，如果有确定的结果，则三个几何学只会有一个与事实相符，另外两个必然是与事实不符的假理论。

数学家高斯最早发现非欧几何，但他至死都不发表，一定有他不发表的道理。即他认为正确的理论，就发表。他认为错误的理论，就坚决不发表。这是科学家对科学真理负责任的一种高尚品德。

4.非欧几何学的错误^[3]

4.1公设是假命题

公设(公理)是证明定理的依据。在形式逻辑学^[2]称为论

据。

形式逻辑学的论证规则^[2]：论据应是已确定为真的判断。

黎曼几何，其公设中表达的“平面”，根据黎曼几何的说法是曲率大于0的曲面。公设中的“直线”是曲率大于0的曲线，是该曲面上两点之间的最短曲线(又称测地线)。

因黎曼几何在公设中，将客观事实上三维空间中的曲面、曲线，违反事实地主观表达为“平面”、“直线”，则两个公设主观表达的内容与事实都不相符。所以，黎曼几何的公设不真实，是假命题。

一条确定在三维空间的曲线，无论其向X轴弯曲，还是向Z轴弯曲，都存在曲率，并且其曲率不会改变。在罗氏几何学第五公设中的平面“直线”向Z轴弯曲，曲率小于0，而在欧几里得几何、绝对几何的第一公设和第二公设的平面“直线”在Z轴曲率等于0。这三个公设的“直线”在Z轴的曲率并不相同，为什么绝对几何仅增加罗氏几何学第五公设后，能将第一公设和第二公设的平面“直线”在Z轴的曲率，能由0改变为小于0，却不是反过来呢？

因罗氏几何5个公设直线曲率互相矛盾，与罗氏几何平面曲率全部小于0的事实不相符，也是假命题。

既然说黎曼几何的平面是真实三维空间曲率大于0的曲面，而黎曼几何的公设在理论中是证明定理的论据。根据形式逻辑学论证规则：“论据应该是已确知为真的判断”。则真实的黎曼几何公设必须严格按符合事实的方法表达为：

黎曼几何的公设1：在曲率大于0的曲面上，最短的曲线(测地线)可以无限延长，但总的长度是有限的。

黎曼几何中的另一条基本规定（实质上的公设2）：在曲率大于0的同一曲面上，任何两条最短的曲线(测地线)都有公共点(交点)。

上面才是符合逻辑论证规则的表达。

将曲率大于或小于0的曲面、最短曲线(测地线)概念，歪曲事实地表达为平面、直线，在逻辑上犯了偷换概念的逻辑错误。并导致了非欧几何学的公设(论据)虚假。

4.2平面曲率自相矛盾

4.2.1绝对几何学的平面曲率a=？

罗氏几何学的平面是曲率小于0的曲面，其平面上每个点的曲率都小于0。因绝对几何学是罗氏几何学的子系统，则绝对几何学的平面每个点的曲率必然都小于0。

而欧几里得几何学的平面上的每个点曲率都为0。因绝对几何学是欧几里得几何学的子系统，则绝对几何学的平面每个点的曲率都等于0。

由此可得，绝对几何学的平面的曲率既等于0又小于0，自相矛盾，这在事实上是不可能事件。

欧几里得几何学，是在绝对几何学基础上，仅增加了第五公设，其平面曲率为何又改变为0呢？

为什么绝对几何4个公理中的直线曲率，不能决定欧几里得和罗氏几何的平面曲率，而只有第五公设中的直线曲率才能决定欧几里得几何和罗氏几何的平面曲率呢？

这是证明非欧几何学是错误的理论，理由之二。

4.2.2其他几学何学的平面的曲率a=？

非欧几何学是通过修改欧几里得几何学公设而产生的。因欧几里得几何5个公设都是独立的，用这种方法可以产生几十种几何学，但平面曲率的观点存在必然的逻辑矛盾。

如设绝对几何公理系统为A，增加黎曼几何的一个公设p，组成了新的几何公理系统B。B=A＋p。

公设p：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。

B=A＋p不包含黎曼几何另一个公设。

B包含欧几里得几何第二公设：每条直线都可以无限延长。因欧几里得几何平面曲率为0，则每条直线的总长是无限长。因此，B的平面曲率不可能大于0。而p属于黎曼几何，B的平面曲率应大于0。导致自相矛盾。

问B几何学的平面曲率是多少？

因此，以单一公设的不同，来判断几何学平面曲率的不同，是完全错误的。

4.3黎曼几何的不一致证明^[4]

4．3.1黎曼几何与三角函数的矛盾，导致黎曼几何不一致

对于真实世界一个确定的、真实的直角边为1的等腰直角三角形，其内角之和究竟是多少？

根据欧几里得几何学定理p：“该三角形内角之和为180度”。

根据黎曼几何学定理r：“该三角形内角之和大于180度”。

而根据锐角三角函数的定理：

正切函数tan∠BAC=BC÷AC=1，则∠BAC=45°。同理，∠ABC=45°，则此直角三角形内角之和为180°。

由百度百科“黎曼度规”可得：度量张量的矩阵形式G中，极坐标(r，Q)到直角坐标(x，y)的坐标变换，包含有三角函数的计算。黎曼几何本身包含有三角函数。根据三角函数定理，必然可得：直角边为1的等腰直角三角形，内角之和为180度。则黎曼几何学自相矛盾，不一致。

如果三角函数的定理在黎曼几何不成立，则必然可得：黎曼几何度量张量的矩阵形式G中的极坐标(r，Q)到直角坐标(x，y)的坐标变换不成立，黎曼几何的黎曼度规也不成立。

在黎曼几何中，究竟有没有内角之和大于180度，且直角边为1的等腰直角三角形呢？

4．3.2黎曼几何与代数的矛盾

4．3.2.1黎曼几何公设与代数直线方程的矛盾

在代数与解析几何理论中，代数的直线方程表示为：y=kx＋b，该方程与黎曼几何公设矛盾。

（1）黎曼几何的公设：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

而代数的直线方程为：y=kx＋b。当x→∝，其直线的总长度L=2×(x^2＋(y－b)^2)的极限linL=∝，不可能是有限的。

（2）黎曼几何的一条基本规定：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点) 。

而2条代数的直线方程：y1=k1x＋b，y2=k2x＋c，若斜率k1=k2，b≠c，则两条直线平行，且该二元一次方程组无解，两条直线不可能有交点（相同的解）。但黎曼几何的基本规定：任何两条直线必相交。二者存在逻辑矛盾。

如果代数正确，则黎曼几何必然是错误的。

4．3.2.2黎曼几何数轴自相矛盾

宇宙学既使黎曼空间，只要讲宇宙星球之间的距离x，就涉及到距离的数轴X(直线)的单位长和距离(单位长代数和)的代数计算。

单位长是人为设定的。如微观量子的空间可取单位长为飞米、纳米，宏观宇宙的空间可取单位长为光年、亿光年。这都不会改变数轴的总长L和代数和的计算关系。而不是在微观量子的空间要用罗氏几何，宏观宇宙的空间要用黎曼几何。微观量子的空间，中观、宏观宇宙的空间，在欧几里得三维立体几何的一个坐标系K(x，y，z)内同时存在。

数轴X(直线)的总长L和距离的单位长代数和的计算，是黎曼几何数轴自相矛盾的根源。

在黎曼几何弧线长度的微积分方程中，其中的微分dx，是在一维X数轴上的极小增量值。

黎曼平面几何是“二维”平面几何。所谓“二维”是以二维数轴为基础的。没有二维数轴，就不存在黎曼几何。

然而一旦你通过实践，建立黎曼几何二维平面坐标系X、Y数轴后，其任何一维数轴都存在自相矛盾，这是导致黎曼几何、广义相对论自相矛盾的根源。

二维平面X，Y数轴的单位长，是测量二维物体长度、高度、三角形的边长、宇宙空间任意两点距离的尺。通常以1厘米、1米、1千米等为单位长。对于宇宙宏观世界，通常用1光年、1亿光年为单位长。而单位长在数轴的均匀分布可用数值1、2、3、…标示在数轴上。

 定理三：黎曼几何的一维数轴与代数存在矛盾。

证明：（用反证法）

假设黎曼几何的数轴与代数不矛盾。

以黎曼几何测地线X数轴为例，其X数轴测地线，相当于是在球面上的软尺，可以测量球面上任意两点的距离L。 

根据假设可得：黎曼几何数轴上的数1，2，3，…，符合代数（数论）的定理。则在“直线”X数轴上有：1＋1=2，1＋1＋1=3，…。n个1相加，其长度x=1×n。等于n。符合代数加法和乘法定理。如测量太阳与地球的距离L，取单位长为1km，就可以应用光速、时间和代数的乘法定理计算出L的值。又如在球面上的直角边边长为1cm的等腰直角三角形，在单位长为1mm时，其边长符合代数加法和乘法定理。该三角形内角之和大于180度。

然而，当n趋向无穷大，即n→∝时，用单位长测量、计算X数轴的长度时，在代数有极限定理：lim x=∝。而黎曼几何有公设：直线（X数轴）可以无限延长，但总的长度是有限的。由此可得：lim x≠∝。二者互相矛盾。代数理论否定黎曼几何公设，且黎曼几何公设也否定代数的定理。因此，黎曼几何的数轴与代数不矛盾的假设不可能成立。

本定理证毕。

本文证明了黎曼几何与代数存在矛盾。

5．黎曼几何不一致定理^[4]

由百度百科“黎曼度规”可得：在黎曼几何，度量张量（英语：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理学译为度规张量，是指用来衡量度量空间中距离，面积及角度的二阶张量。

在黎曼几何宇宙空间任意两点a、b的距离L，a到b的弧线长度L的定义中的dx及dx/dt(速度)的定积分，两个切矢量的夹角的定义中矢量求(代数)和、导出度量张量的矩阵形式G的方程中极坐标(r，Q)到直角坐标(x，y)的坐标变换(三角函数)及其推导等都包含有代数的内容。

定理四：黎曼几何是不一致的。

证明：根据本文定理三可得：如果代数理论正确，则黎曼几何的公设：“直线可以无限延长，但总的长度是有限的。”必然是错误的。并且，黎曼几何的另一条基本规定：“在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)”也必然是错误的。

由此可得：黎曼几何必然是错误的。

而如果代数不正确，则黎曼几何用代数、三角函数、微积分作出的定义和其推导的黎曼度规所有内容全部不正确，由此也必然可得：黎曼几何是错误的。

因黎曼几何包含有很多代数内容(若去掉黎曼几何的代数内容，则黎曼几何也不能存在)，根据本文定理三可得：黎曼几何必然自相矛盾，不一致。

本定理证毕。

判断黎曼几何是不是真理，是由元数学根据黎曼几何理论是否一致，来判定的，而不是根据物理学来判定的。

根据元数学希尔伯特计划^[1]对理论一致性的要求可得：黎曼几何绝对不是真理。

6.自洽的物理学大统一理论不存在

广义相对论的引力场方程是一个代数方程。既包含代数又包含黎曼几何内容，并且，广义相对论的四维时空中的宇宙空间是黎曼三维空间。根据本文定理三、定理四可得：广义相对论黎曼三维空间自相矛盾，不自洽。

由此可得：自洽的包含广义相对论的大统一理论不可能存在。

因此，弦理论、M理论和其它任何大统一理论，如果包含广义相对论，则不可能自洽。

7.黎曼几何与事实不相符

将三种二维平面几何都建立三维立体几何，用三维立体几何来解决三维世界的几何问题，最容易发现非欧几何学的错误，因事实上非欧几何学无法建立三维坐标系。

可以通过很简单的实验进行验证。可以在一个标准的椭圆外壳上画一个黎曼平面几何直角坐标，先确定OX轴、OY轴二维直角坐标，组成XOY直角平面，然后建立第三维坐标OZ轴，亲手做一个黎曼立体几何的三维直角坐标系数轴。事实告诉我们：在XOZ平面上，OX轴、OZ轴事实上无法互相垂直，且根本不能确定OZ轴在空间的位置。并且无法用XOY平面的二维直角坐标，套在XOZ平面上。实践的事实证实：不仅黎曼立体几何三个数轴互相垂直的事实上不存在，而且OZ轴在三维空间的固定位置根本不存在，宇宙空间任意一点(原点除外)的黎曼三维坐标(x，y，z) 都不存在。该事实清楚证明：黎曼三维立体几何与事实完全不相符，完全是错误的理论。

如果宇宙空间是黎曼几何三维空间，则3D打印机的三维直角坐标数据，只能是黎曼几何三维坐标(x，y，z)的数据。在3D打印机的电脑里，可以画任何曲率的曲线数轴，但事实上都无法建立黎曼几何三维坐标(x，y，z)。

3D打印机的三维直角坐标(x，y，z)的数据，是一个事实清楚，且确定、真实、充分的证据，足以证明宇宙的三维空间是欧几里得几何三维空间。

3D打印机产品的事实清楚，证据确定、真实、充分，足以证实以下结论：

(1)欧几里得三维立体几何与3D打印产品的数据，与事实完全相符，欧几里得三维立体几何是真理。

(2)黎曼三维立体几何与3D打印产品的事实不相符。黎曼三维立体几何事实上不存在，属于假理论。

(3)广义相对论的四维时空中的黎曼三维空间是假的理论。并且因广义相对论的引力场方程是代数方程，而黎曼几何与代数存在矛盾，则广义相对论必然不自洽。是自相矛盾的理论，属于伪科学。

(4)建立在广义相对论基础上的现代宇宙学，是假的理论，也属于伪科学。

(5)2016年2月11日美国科研人员宣布：当两个黑洞于约13亿年前碰撞，两个巨大质量结合所传送出的扰动，于2015年9月14日抵达地球，被地球上的精密仪器侦测到。证实了爱因斯坦100年前所做的预测。LIGO科研人员的发现和其用广义相对论推导的黑洞，是虚假科研成果。

(6)中国耗资150亿，依据广义相对论设计的“天琴计划”，是一个错误的决策，应该停止。

(7)因广义相对论不正确，则全世界所有以广义相对论为基础上的论文都是虚假科研成果，包括霍金的奇点定理和黑洞理论。

 

参考文献

 

[1] 第三次数学危机，胡作玄著，四川：四川人民出版社，1985年。

[2] 金岳霖主编，形式逻辑。湖北：人民出版社1997.280-357

[3] 黎曼几何的真实性，李子、李晓露

[4] 黎曼几何不一致定理，李子、李晓露

[5] ]朱德祥编，高等几何， 高等教育出版社1983