集合论的新悖论
(2020-07-23 16:38:50)
集合论的新悖论
李子 赵云丰
摘要 本文证明集合论存在新的悖论，再次证明数学存在第四次数学危机。
关健词 可列集 基数 数学归纳法
1.可列集
由百度百科“可列集“可得：如果一个集合与正整数集合之间存在一一对应，则这个集合称为可列集（或可数集）；即存在一个从该集合到正整数集合的双射（也称可逆映射）。
自然数集、有理数、代数数集都是可列集。
2.可列集的重要性质
2.1任何可列集的无穷子集是可列集。
2.2任何无穷集都包含一个可列的真子集。
可列集还有其它重要性质，本文仅举证与论题有关的性质。
3.等势概念
定义：集合A与集合B等势（等基数），当且仅当，A与B之间存在双射（一一对应、可逆映射）。
由百度百科“可列集”可得：在整数集和偶数集之间，可以通过双射f（n）=2n，建立一一对应的关系，因此，整数集和偶数集是等势的，即基数相等。整数集元素的个数与偶数集元素的个数相等。
然而下文证明：正整数的个数大于正偶数的个数。
4.定理：正整数的个数大于正偶数的个数。
4.1数学归纳法
对于函数f（n），当n=1时，f（1）=P。
假设f（n）=P成立，证f（n十1）=P必然成立。
由此可得：f（x）=P，x∈自然数成立。
这是用有限成立推无限也成立的主要方法。
4.2 定理的证明
定理：正整数的个数大于正偶数的个数。
证明：在大于0的自然数集合内，正偶数的通项公式为2n，n∈大于0的自然数。
当n=1时，2n包含的正整数是1,2。正整数个数z=2。正偶数是2，偶数个数j=1,则z=2j。
当n=2时，z=4，j=2,z=2j。
n=3，z=6,
j=3，z=2j。
n=4，z=2j，则z>j。
…。
根据数学归纳法，设f（n）时，z>j成立，证f（n十1）时，z>j必然成立。
因n=1时，z=2j，z>j成立。
由数学归纳法设f（n）时，z>j成立，证f（n十1）时，z>j必成立。
因f（n十1）=2（n十1）=2n十2
又因f（n）=2n时，2n中z>j成立，而在此基础上十2增加的2个数中，必然一个是奇数，另一个是偶数。
f（2n十1）包含的整数个数比f（2n）包含的整数个数z增加了2个，偶数个数j增加了1个。
因f（2n）的z>j。则f（2n十1）的整数个数z十2必大于其偶数的个数j十1。
因此，对于f（x）任意x，x∈大于0的自然数，f（x）包含的整数个数z与偶数个数j，z>j都成立。
上面证明了正整数个数与正偶数的个数关系为：
z>j。
本定理证毕。
5.结束语
在集合论中，正整数与正偶数基数相等，正整数个数z与正偶数的个数j关系为：
z=j。
而在本文第4小节定理中，正整数个数z与正偶数j的个数关系为：
z>j。
由此证明可得：集合论自相矛盾，存在新的悖论。
数学再一次出现危机，即第四次数学危机。
参考文献
1.百度百科“集合论“
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