微积分的危机

李子  李晓露

摘要  本文介绍微积分的危机，即第二次数学危机。数学家们化解第二次数学危机的结果。

关键词    微积分  第二次数学危机 

1。前言

英国的牛顿和德国的莱布尼兹各自独立的研究,诞生了微积分理论。

微积分是数学分析的基础，由于其运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具，同时关于微积分基础的问题也越来越严重。

在微分法和求导数的过程中，无穷小量究竟是不是零，引起了极大的争论。

以求速度为例，瞬时速度是△s/△t，当△t变成零时的值。△t既等于零又不等于零。

这种包含逻辑矛盾的无穷小量，从一发表就一直遭到一些人的批判和攻击。特别有名的是贝克莱主教（G.Berkeley，1685-1753）在1734年的攻击。^[1]

这些攻击笔者认为很正常，是一种学术辩论。因为微积分的基础确实不严密，△t既等于零又不等于零,显然存在逻辑矛盾,它关系到微积分的存亡。

如果微积分的自相矛盾没有消除，在元数学，根据希尔伯特规划^{[1] [2]}，即可判定为谬论。则微积分理论不成立。

到了十九世纪二十年代，由波尔查诺B.Bolano、阿贝尔N.Abel、柯西A.Cauchy及狄里赫利P.G.Dirichlet等人的工作，将微积分严格地建立在极限的基础上。由百度百科“极限”可得：“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”。

无穷小△t是无限接近0的值，并不等于0,才化解了第二次数学危机。不自相矛盾的微积分才被数学界广泛接受。

如果没有波尔查诺B.Bolano、阿贝尔N.Abel、柯西A.Cauchy及狄里赫利P.G.Dirichlet等人的工作，将微积分严格地建立在极限的基础上，则微积分面临被抛弃的危机。

第二次数学危机的根源在微积分的无穷小△t既等于零又不等于零的自相矛盾，它导致了数学存在被否定的危机。  

伽利略证明了亚里士多德自由落体运动法则自相矛盾，从而推翻了亚里士多德自由落体运动法则。

欧几里得证明了毕达哥拉斯学派的“宇宙中的一切现象都能归结为整数或整数之比”的观点自相矛盾，从而推翻了“宇宙中的一切现象都能归结为整数或整数之比”的观点。

而微积分在数学家波尔查诺B.Bolano、阿贝尔N.Abel、柯西A.Cauchy及狄里赫利P.G.Dirichlet等人的工作下，将微积分严格地建立在极限的基础上，消除了微积分无穷小的自相矛盾，化解了被抛弃的危机。

以上三个事实证明：不自相矛盾，是一切理论成立的必要条件。

根据元数学希尔伯特规划，一致性也是任何理论成立的基础。

参考文献

[1] 第三次数学危机，胡作玄著，四川：四川人民出版社，1985。

[2]百度百科“希尔伯特计划”