以下系列文章，需要读者不仅要具备狭义相对论、广义相对论、物理学、现代宇宙学知识，而且要具备元数学、数理逻辑、形式逻辑学、几何学、代数、数论、三次数学危机知识，才可能读懂和理解文章的全部内容。

元数学与元物理学（1）

李子   李晓露

摘要   本系列文章介绍了元数学的来源、内容和元数学的一些重大科研成果，并创建了元物理学。

关键词    元数学  数理逻辑  一致性  自洽性

1.前言

由百度百科“元数学”可得：“元数学的主题之一：分析某些数学要素是否在任意的数学系统中都是可证实或者证伪。元数学与数理逻辑休戚相关，因而这两者的发展也大同小异。元数学的发端大概要追溯到弗雷格的工作：《概念文字》。大卫·希尔伯特首先引进了带有正则性的“元数学”（metamathematics with regularity）这一说法（见希尔伯特计划）。这也就是现在所说的证明论。另一个重要的现代分支是模型论。这一领域的其他重要人物有：伯特兰·罗素，斯科尔姆（Thoralf Skolem），普斯特（Emil Post），邱奇，克莱尼，蒯因，贝纳瑟拉夫（Paul Benacerraf），普特南，柴汀（Gregory Chaitin），以及最著名的塔斯基和哥德尔。特别地，哥德尔证明了：给定任意有限多条皮亚诺算术的公理，都存在一些正确的命题，无法用所给公理来证明，即所谓的哥德尔不完备定理。某种意义上来说，这一结果是迄今为止元数学与数学哲学的最高成就。”

元数学是证明某个数学理论或公理系统的一致性、独立性、完备性及其关系的理论。其中的一致性是目前公认的判断某个数学理论是否是真理的唯一标准。

在胡作玄著《第三次数学危机》一书中，介绍了元数学的部分成果，如意大利数学家贝特拉米（E.Beltrami，1835-1899）于1869年提出的常负曲率曲面模型（非欧几何学的欧氏模型），德国数学家克莱因（F.Klein，1849-1925）于1871年提出的射影平面模型和彭加勒在1882年提出的用自守函数解释的单位圆内部模型。这些模型证明了非欧几何学相对于欧几里得几何学是不矛盾的。

希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特把几何学公理的无矛盾性变成了实数算术的无矛盾性。

戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析(微积分）建立在实数理论的严格基础之上，无穷小的严格定义，化解了第二次数学危机，并且进一步把实数算术的无矛盾性归结成了自然数论的无矛盾性。

弗雷格和戴德金又把自然数论的无矛盾性归结为逻辑与集合论。至此，在一阶逻辑基础上的集合论，成为了数学这座大厦的底层建筑。

罗素在集合论发现了罗素悖论，震动了整个数学界。罗素悖论证明集合论是不一致的，表明所有数学理论的无矛盾性都未得到证明，数学这座大厦面临坍塌危险，第三次数学危机由此引发。

罗素和怀特海的《数学原理》将初等数论符号化，在一阶逻辑的基础上建立了形式数论公理系统，从而将数学建立在了形式数论公理系统上，化解了第三次数学危机。形式数论公理系统成为了承担数学这座大厦之重的最下面的一层建筑，是整个数学理论的基础。形式数论公理系统的一致性，关系到整个数学理论的一致性。

1935年起甘岑等人用新方法去证明数论的一致性，到1936年给出了证明。1940年阿克曼给出了另一个证明。1958年哥德尔用自然数域上有穷类型的可计算函数对自然数论的一致性给出了另一个证明。至此，数论的一致性已经得到了严格的证明，数学似乎已彻底的解决了矛盾问题。

1931年哥德尔证明了著名的不完全性定理。哥德尔第一不完全性定理：包含初等数论和一阶逻辑的形式系统N，如果N一致，则N是不完备的。

哥德尔第一不完全性定理表明，对于整个数论理论而言，不可能建立一个完备且一致的数论理论。在该文，是以形式数论公理系统为基础，推导出对于任何数学理论A，只要包含形式数论公理系统，则如果A一致，则A是不完备的。

然而，在李子、李晓露《第四次数学危机及其影响（2）》、《哥德尔不可证命题的真假》证明了：哥德尔不可证命题是一个悖论。并证明了在N内存在无数个悖论。即李子悖论，且由哥德尔的第二不完全性定理证明了N不一致；证明了命题演算公理系统存在悖论，导致包含一阶逻辑的形式数论公理系统、集合论不一致。数论理论一致性的基础再一次发生坍塌，数学理论整体的真理性受到质疑，第四次数学危机也由此爆发，至今未彻底解决。

大部分物理学家对元数学、数学真理的标准和几次数学危机，不太了解，不知道数学危机不仅关系到整个数学理论的生死存亡，而且直接关系到量子力学、狭义相对论（包含欧几里得几何、解析几何、洛伦兹坐标变换、代数）、广义相对论、现代宇宙学（包含黎曼几何、张量分析、微积分、代数）、超弦理论、超膜理论（包含十维坐标变换、几何学、代数）的生死存亡，还影响到任何需要数学计算的所有学科和所有计算机（包含布尔代数、数论）的运算。

由元数学可得：如果欧几里得几何不一致，则欧几里得几何就是不正确的理论，则量子力学、狭义相对论、黎曼几何也是不正确的理论；如果黎曼几何、微积分、代数不一致，则广义相对论、现代宇宙学就是不正确的理论。数学危机关系到了人类科学体系的生死存亡。

而大部分数学家对狭义相对论、广义相对论、现代宇宙学不太了解。当爱因斯坦的几个预言被实践证实获得物理学、宇宙学巨大成功后，数学家们竟然也相信黎曼几何是真实世界的一种几何，认可了非欧几何学。这种状况，到李子、李晓露的《第四次数学危机及其影响》（1）-（18）、《黎曼几何专题辩论赛》（1）-（6）系列文章的发表，证明黎曼几何是错误的理论，理该为止。

第四次数学危机的发现和证明，是继数学家欧几里得发现和证明毕达哥拉斯学派的理念：“宇宙中的一切现象都能归结为整数或整数之比。”存在自相矛盾，引起数学上的第一次危机和数学家罗素发现和证明集合论存在自相矛盾的悖论，引起数学上的第三次危机之后，元数学的又一个重大发现和证明。第四次数学危机的影响远远超过前三次数学危机。

数学的所有理论（包括欧几里得几何学、非欧几何学、代数等）的一致性都取决于数论、集合论的一致性。一阶逻辑的悖论，导致包含一阶逻辑的形式数论公理系统、集合论的不一致，从而使数学这座大厦再一次面临坍塌危险。修改、完善数学基础理论，化解第四次数学危机已刻不容缓……。

参考文献

[1] 第三次数学危机，胡作玄著，四川：四川人民出版社，1985。

[2] 第四次数学危机及其影响（1）-（18），李子、李晓露

[3]《黎曼几何专题辩论赛》（1）-（6），李子、李晓露

[4] 哥德尔不可证命题的真假，李子、李晓露