微积分与相对论的危机

李子  李晓露

摘要  本文介绍微积分的第一次危机，即第二次数学危机。证明了黎曼几何能导致第二次微积分危机，并从微积分的危机，推导出相对论的危机。

关键词    微积分  第二次数学危机  代数  黎曼几何  广义相对论

1．       前言

英国的牛顿和德国的莱布尼兹各自独立的研究,诞生了微积分理论。

微积分是数学分析的基础，由于其运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具，同时关于微积分基础的问题也越来越严重。

在微分法和求导数的过程中，无穷小量究竟是不是零，引起了极大的争论。

以求速度为例，瞬时速度是△s/△t，当△t变成零时的值。△t既等于零又不等于零。

这种包含逻辑矛盾的无穷小量，从一发表就一直遭到一些人的批判和攻击。特别有名的是贝克莱主教（G.Berkeley，1685-1753）在1734年的攻击。^[1]

这些攻击笔者认为很正常，是一种学术辩论。因为微积分的基础确实不严密，△t既等于零又不等于零,显然存在逻辑矛盾,它关系到微积分的存亡。如果微积分的自相矛盾没有消除，在元数学，根据希尔伯特规划^{[1] [2]}，即可判定为谬论。则微积分理论不成立，则广义相对论的引力场方程（偏微分方程）和狭义相对论力学的基本方程^[3]（微分方程）也不可能成立。

到了十九世纪二十年代，由波尔查诺B.Bolano、阿贝尔N.Abel、柯西A.Cauchy及狄里赫利P.G.Dirichlet等人的工作，将微积分严格地建立在极限的基础上。由百度百科“极限”可得：“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”。

无穷小△t是无限接近0的值，并不等于0,才化解了第二次数学危机。不自相矛盾的微积分才被数学界广泛接受。

2.黎曼几何与代数的矛盾

由百度百科“广义相对论”可得：按照广义相对论，在局部惯性系内，不存在引力，一维时间和三维空间组成四维平坦的欧几里得空间；在任意参考系内，存在引力，引力引起时空弯曲，因而宇宙时空是四维弯曲的非欧黎曼时空。

在李子、李晓露《欧几里得与相对论（2）》^[4]一文，证明了黎曼几何与代数不相容。

黎曼平面几何是“二维”平面。然而当建立黎曼几何二维平面坐标系X、Y数轴后，其任何一维数轴都存在自相矛盾，这是导致广义相对论自相矛盾的根源。

二维平面X，Y数轴的单位长，是测量二维物体长度（距离）、高度的尺。通常以纳米、厘米、米、千米、光年、100亿光年等为单位。而单位长在数轴的均匀分布可用数值1、2、3、…标示在数轴上。在实际测量宇宙星球与地球的距离时，通常以光年作为单位长，最远的类星体与地球的距离达到150亿光年，即150亿个单位长之和。

2．1 定理一：黎曼几何的数轴与代数存在矛盾。

证明：（用反证法）

假设黎曼几何的数轴与代数不矛盾。

以黎曼几何直线(测地线)X数轴为例，根据该假设可得：黎曼几何数轴上的数1，2，3，…，符合代数（数论）的定理。则在“直线”X数轴上有：1＋1=2，1＋1＋1=3，…。n个1相加，其长度x=1×n。等于n。如类星体与地球的距离是150亿光年，根据广义相对论，宇宙时空是四维弯曲的非欧黎曼时空。则该距离是黎曼几何（直线距离）数轴上的数，即150亿个单位长之和。即x=1光年×150亿，符合代数加法和乘法定理。

然而，当n趋向无穷大，即n→∝时，计算X数轴的长度x，在代数有极限定理 ：lim x=∝。而黎曼几何有公设：直线（X数轴）可以无限延长，但总的长度是有限的。由此可得：lim x≠∝。二者互相矛盾。代数理论否定黎曼几何公设，且黎曼几何公设也否定代数的定理。因此，黎曼几何的数轴与代数不矛盾的假设不可能成立。

本定理证毕。

根据定理2.1可得：黎曼几何公设：“直线（X数轴）可以无限延长，但总的长度是有限的。”由此可得：当n→∝时，lim x≠∝。如果在宇宙空间黎曼几何符合事实，是正确的，则在宇宙空间代数的极限定理 ：lim x=∝则不可能正确，代数的乘法定理：长度x=1×n，加法定理：长度1＋1=2，1＋1＋1=3，…。n个1相加其和为n都是错误的。由此可得：在宇宙空间的广义相对论引力场代数方程必然是错误的。狭义相对论的所有代数方程必然都是错误的。

3.黎曼几何与微积分的第二次危机

由百度百科“微积分”可得：微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

根据定理2.1可得：如果黎曼几何正确，则代数的定理必然错误。而微积分全部都是对代数函数的微积分，如三角函数的微积分、代数直线方程的斜率求导等。微分后的方程依然属于代数的内容。如在三角函数中，sinx的导数为cosx，而在直角边长为1的等腰直角三角形求解内角之和时，根据三角函数的定理可得：tanx=1，则x=45度，该直角三角形内角之和必然为180度。而黎曼几何有定理：任何三角形内角之和大于180度。因此，如果黎曼几何正确，则微积分的三角函数公式必然都是错误的，则广义相对论的引力场方程（偏微分方程）和狭义相对论力学的基本方程^[3]（微分方程）都是错误的。

如果抛弃代数，则在代数基础上的微积分也必须抛弃。必导致微积分出现第二次危机。从而也引起包含微积分的狭义相对论和广义相对论的危机。

由百度百科“中国未来科学大奖”可得：2017年9月9日，中国未来科学大奖之一数学与计算机科学奖的获奖人是许晨阳。给他的获奖评语是：在双有理代数几何学上作出的极其深刻的贡献。

如果许晨阳用的代数几何学正确，则代数的定理必然正确，根据定理2.1可得：黎曼几何不可能正确。由此还可得：在黎曼几何基础上的广义相对论不可能正确。

由定理2.1可得：如果代数几何学是一致的，则一定不包含黎曼几何。否则，该理论不一致。因此，代数几何学与广义相对论的引力场代数方程是不相容的。

当然，如果非要认为广义相对论中的黎曼几何正确，则由定理2.1可得：代数的定理必然不正确，许晨阳用的代数几何学也必然不正确，许晨阳的学术论文必然不正确，中国未来科学大奖的决策则存在错误。

但由此也可得：广义相对论的引力场代数方程也是错误的。则广义相对论是错误的。

请问：宇宙空间的星球与地球的距离，究竟是黎曼几何公设的距离，还是单位长代数之和的距离呢？

参考文献　

[1] 第三次数学危机，胡作玄著，四川：四川人民出版社，1985年。

[2]百度百科“希尔伯特计划”

[3] 百度百科“狭义相对论”

[4] 欧几里得与相对论（2），李子、李晓露